第三章 函数的概念与性质（B能力卷）（解析版）

函数的概念与性质（B能力卷）单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．函数的定义域是（）A．或 B．C．或 D．【答案】D【详解】由题意知，函数的定义域为：，解得，故选：D2．已知为一确定区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为一确定区间，则故选：A3．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，.故选：A.4．已知函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知可得，又因为，故.故选：B.5．函数在上是增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，开口向下，若在上是增函数，则，可得，所以的取值范围是，故选：A.6．定义在R上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是偶函数，且在上单调递减，所以不等式等价于，即，解得或，所以满足的x的取值范围是．故选：B．7．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（）A．或 B．或C．或 D．【答案】D【详解】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.8．已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则，对任意的、，总有，则，令，可得，可得，令时，则由，即，当时，，即，任取、且，则，即，即，所以，函数在上为增函数，且有，由，可得，即，所以，，所以，，解得.因此，不等式的解集为.多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（）A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数【答案】CD【详解】对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误．对于B选项，，，图像是：直线并且除掉点，故B选项错误．对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确．对于D选项，，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确．故选：CD10．已知偶函数满足，下列说法正确的是（）A．函数是以2为周期的周期函数B．函数是以4为周期的周期函数C．函数为偶函数D．函数为偶函数【答案】BC【详解】依题意是偶函数，且，，所以A错误.，所以B正确.，所以函数为偶函数，C正确.若是偶函数，则，则函数是周期为的周期函数，这与上述分析矛盾，所以不是偶函数.D错误.故选：BC11．定义在上的函数满足，当时，，则满足（）A． B．是奇函数C．在上有最大值 D．的解集为【答案】ABD【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；对于B选项，函数的定义域为，令，可得，则，故函数是奇函数，B对；对于C选项，任取、且，则，即，所以，所以，函数为上的减函数，所以，在上有最大值，C错；对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.故选：ABD.12．有下列几个命题，其中正确的命题是（）A．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；B．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)；C．已知f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3．【答案】CD【详解】对于A，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，令在定义域上递增，又在和是减函数，所以函数y＝在(－∞，－1)和(－1，＋∞)每个区间上递减，故A错误；对于B，由函数y＝，则，解得，令在上递增，上递减，又在定义域内是增函数，所以函数y＝在上递增，上递减，故B错误；对于C，因为f(x)在R上是增函数，若a＋b＞0，则，故；，故，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，故C正确；对于D，当时，，则当时，，则，因为为奇函数，所以，所以f(x)＝2x＋3，故D正确．三、填空题（每小题5分，共计20分）13．函数，则_________【答案】【详解】，由，可得，所以，.故答案为：.14．函数的值域为_________________.【答案】【详解】，又因为，故.因此，函数的值域为.故答案为：.15．已知函数的定义域为，则的定义域为__________.【答案】【详解】∵函数的定义域为，∴，∴，∴的定义域为.故答案为：16．已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】对任意的、，且都有成立，不妨设，则，故函数在上为增函数，由对恒成立，故，即，即，解得．四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）17．已知二次函数，满足，且的最小值是．（1）求的解析式；（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.【详解】（1）因为，所以，由二次函数的性质得，解得，所以（2）依题得：函数在区间内单调递减当时，有最大值14当时，有最小值18．函数（1）画出函数的图像（2）说出函数的单调区间（不用证明）（3）当时，求函数的值域【详解】解：（1）如图所示：（2）由图可得函数为增区间，为减区间；（3）当时，，当时，，当时，，所以当时，求函数的值域为.19．设；（1）求函数的定义域并证明函数的奇偶性；（2）证明函数在单调递增.【详解】解：（1）的定义域为，，，又，是奇函数．（2）证明：任取，，，且，则，，，且，，，即，在，单调递增．20．若函数是奇函数，且．（1）求a、b的值及；（2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．【详解】解：（1）∵函数是奇函数，又，即，，所以；（2）在上为增函数，证明如下：任取且，，，，，，，，即，所以在上为增函数．21．如图，在等腰梯形中，记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象（可不写作图过程）；并由此写出函数的值域.【详解】（1）因为，，，，当时，；当时，；当时，；当时，；所以；（2）作出的图象如下图所示：因为时，，由图象可知的值域为.22．已知函数（