第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识通关详解）-【单元测试】2023数学分层训练AB卷（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式知识详解精讲温故知新（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(同向可加)(4)乘法法则：；(同向同正可乘)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式例1：1．（2019·浙江·高考真题）若，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.2．（2014·四川·高考真题（文））若则一定有A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选3．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可【详解】对A，若，则，不成立，故AB错误；对C，若，则不成立，故C错误；对D，因为，故D正确；故选：D4．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可求解【详解】∵，，∴，则选项不正确；当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；∵,∴，∴，则选项正确；故选：.举一反三1．（2022·江苏南京·模拟预测）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】取特值说明判断A，B，C；作差判断D作答.【详解】对于A，取，，则，A错误；对于B，取，，则，B错误；对于C，取，，则，C错误；对于D，因，则，即，D正确．故选：D2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，求出结合条件可得结果.【详解】设，可得，解得，，因为可得，所以.故选：C.3．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断；D.作差判断.【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当时，，故错误；C.当时，故错误；D.，因为，，，所以，故正确；故选：AD4．（2013·全国·高考真题（文））设满足约束条件，则的最大值为______．【答案】3；【解析】【详解】【分析】做出可行域可知，当的时候有最大值3.【考点定位】本题考查线性规划知识，考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R例2：1．（2015·天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A2．（2019·天津·高考真题（文））设，使不等式成立的的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】，即，即，故的取值范围是．【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．举一反三1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））不等式成立是不等式成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.故选：B.2．（2015·广东·高考真题（文））不等式的解集为_________．（用区间表示）【答案】【解析】【详解】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。例3：1．（2022·天津·一模）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别解不等式和，求得它们的解集，看二者的关系，根据其逻辑推理关系，可得答案.【详解】解不等式，即得；解不等式，即或，解得，由于推不出，也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D举一反三1．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A．且 B．C． D．【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_________【答案】或【解析】【分析】将该不等式等价转化为整式不等式，利用数轴标根法可得结果.【详解】不等式等价于，利用数轴标根法解得或，即不等式的解集是或，故答案为：或.3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例4：1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式的解法求的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可.【详解】当时，有或，所以是的充分条件，但不是必要条件.故选：A举一反三1．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________【答案】【解析】【详解】由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.1．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.【详解】由，可得：；由，则，可得；∵成立的一个充分不必要条件是，∴，可得.故选：D.（二）基本不等式1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么变形：有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。例6：1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.2．（2022·全国·模拟预测（文））若实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】由条件结合基本不等式求的最小值.【详解】因为，又所以所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为2，故选：C.3．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式即可解出．【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．故答案为：．4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．【答案】【解析】【分析】将分母变为，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】（当且仅当，时取等号），的最大值为.故答案为：.举一反三1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；【详解】解：因为、均为非零实数且，所以，因为，，所以，所以，由，可得，，所以，当且仅当，即时取等号，所以不等式成立的一个充要条件为；故选：A2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知是圆上一点，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号（），要使尽可能大，则，依题意，所以，所以，当且仅当时取等号．故选：B3．（2022·湖南·金海学校高一期中）若，则的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】将式子构造成，即可利用基本不等式，最后验证取等号的情况，即可得到答案.【详解】由题，，，当即时，不等式等号成立.故答案为：4．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.5．（2017·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为直线过点，所以，因为所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题6．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.拓展提升（一）（含参一元二次不等式分类讨论） 三个两次之间的关系含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按项的系数的符号分类，即;例1解不等式：分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵解得方程两根∴当时,解集为当时，不等式为,解集为当时,解集为举一反三解不等式分析因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解当时，解集为；当时，解集为二、按判别式的符号分类，即；例2解不等式分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：∵∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；当或即,此时两根分别为，，显然,∴不等式的解集为举一反三解不等式解因所以当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为R。变式：解关于的不等式：三、按方程的根的大小来分类，即；例3解不等式分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：，令，可得：∴当或时，，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时,,解集为。举一反三例6、若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。（【解析】不等式可化为(4－a)x2－4x＋1＜0①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以，解得0＜a＜4，故由①得，又，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤拓展提升（二）（含参一元二次不等式恒成立问题）“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立;2）对恒成立例1：若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。举一反三1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.【详解】解：当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，综上，.故选：B.二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。当即：时，又所以不存在；当即：时，又当即：时，又综上所得：举一反三关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.【详解】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。例11解：令，所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。举一反三若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】.【解析】【分析】根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，借助基本不等式计算作答.【详解】对于任意的，不等式，即，因此，对于任意的，恒成立，当时，，，当且仅当，即时取“=”，即当时，取得最小值4，则，所以实数的取值范围是.四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使