海南省2022年高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

图表图表

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

2.复数z满足（l+i）z=|lT[,贝！Jz=（）

A.1-zB.1+zC.---zD.—+—z

2222

3.记M的最大值和最小值分别为"max和"min.若平面向量4、b、C＞满足,|。。=C。（4+2。一°）=2,

则（）

AI■IA/3+A/7„IIA/3-yfj

A.\a-c\=------------B.（2+c=------------------

IImax2।Imax2

I-Iy/3+V?I-IA/3—V7

C・〃A-D・a+c=---

IImin'IImin,

4.为了得到函数y=sin12x_的图象,

只需把函数y=sin2光的图象上所有的点（)

A.向左平移J个单位长度B.向右平移3个单位长度

OO

C.向左平移二个单位长度D.向右平移三个单位长度

1212

4

5.已知i是虚数单位，则复数（）

（1-0

A.2iB.-2iC.2D.-2

6.已知复数z满足匕1万=2-，（其中J”的共飘复数），则目的值为（）

1-i

A.1B.2C.6D.75

223

7.已知双曲线C:[-2=im>0,6>0）的渐近线方程为丁=?—X且其右焦点为（5,0）,则双曲线C的方程为（）

ab49

22BV，Dfy2-1

A.土-匕=1C.

9161693443

8.若a>b>0,0<c<l,则

ccab

A.l0gaC<10gbCB.logca<logcbC.a<bD.c>c

9.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球,从中任取《1=1,2）个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后

放回，此时盒中黑球的个数X,«=1,2）,贝！|（）

A.P（X1=3）>P（X2=3）,EX,>EX2B.P（X1=3）<P（X2=3）,EX,>EX2

C.P（X,=3）>P（X2=3）,EX,<EX2D.P（X1=3）<P（X2=3）,EXr<EX2

10.如果直线以+外=1与圆。：好+/=1相交，则点与圆C的位置关系是（）

A.点M在圆C上B.点M在圆C外

C.点M在圆C内D.上述三种情况都有可能

11.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球

体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80,52）,则直径在（75,90]内的概率为（）

附：若X~N(A，CT2),则尸(〃—cr<X,,〃+cr)=0.6826,P(/z-2cr<X„//+2a)=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

12.已知｛4｝为正项等比数列，S“是它的前”项和，若%=16,且％与%的等差中项为2,则S5的值是()

8

A.29B.30C.31D.32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.三棱锥S-A5C中，点P是及AABC斜边A3上一点.给出下列四个命题：

①若1sA，平面ABC,则三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形；

②若AC=4,BC=4,SC=4,SC平面ABC,则三棱锥S—ABC的外接球体积为32后；

③若AC=3,BC=4,SC=6,S在平面ABC上的射影是AABC内心，则三棱锥S—AfiC的体积为2；

④若AC=3,BC=4,SA=3,平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°.

其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

14.设/（X）=湃过点尸（。0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=/G）的交点为。，曲线C过点。的切

线交x轴于点/?,若S（1,/（1））,则△尸RS的面积的最小值是.

15.下图是一个算法流程图，则输出的左的值为.

16.已知两圆相交于两点4（。,3）,3（-1,1）,若两圆圆心都在直线x+y+b=0上，则a+5的值是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆。：上+匕=1的左顶点为A,右焦点为R,P,Q为椭圆C上两

43

点，圆。：/+/

(1)若小！_%轴，且满足直线AP与圆。相切，求圆。的方程；

(2)若圆。的半径为JL点RQ满足殳p•坛2=-3,求直线P。被圆。截得弦长的最大值.

4

2r-11

——--1k集合5=｛九|-1款k+a2｝.

Jx+1

(1)求集合A；

(2)若3口A,求实数。的取值范围.

19.(12分)已知在四棱锥P—ABCD中，平面ABC。，R4=A3,在四边形ABC。中，DA±AB,AD//BC,

AB=AD=2BC=2,E为依的中点，连接OE,尸为OE的中点，连接AF.

(1)求证：AF±PB.

(2)求二面角A—EC—。的余弦值.

2

20.(12分)已知数列｛为｝的各项均为正，S,,为数殖斯｝的前“项和，an+2an=4Sn+l.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)设瓦,=(，求数列｛瓦｝的前"项和.

21.(12分)求函数y=3+、3x+2的最大值.

22.(10分)已知数列｛4｝满足q=1,%=24_1+2〃-1(〃22),数列也｝满足a=a“+2〃+3.

(I)求证数列｛2｝是等比数列；

(II)求数列｛4｝的前几项和s”.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

2.C

【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

二(1_)四Hg

•1+i1+i(l+z)(l-z)222

故选：C

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

3.A

【解析】

设。为a、b的夹角，根据题意求得6=：,然后建立平面直角坐标系，设。=QA=(2,0),b=OB=(l,yf3),

c=OC=(x,y),根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将卜-c|和卜+。|转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【详解】

由已知可得a-b=kHWcose=2,贝!jcos9=；,QO<0<7V,:.0=^,

建立平面直角坐标系，设”=。4=（2,0）,b=OB=0网,c=OC=（x,y）,

由c-(a+2b-c)=2,可得(羽丁>(4-2%,26一2丁)=2,

即4x-2炉+2百y-2y2=2,

化简得点C的轨迹方程为（x-Ip—>贝“a-c|=J(x_2『+/,

则卜―转化为圆（》一），一上的点与点（）的距离，.〔卜―

d12+9]=]2,0d6二二也+5

耳―2~'

ax+2)2+y2

a+c|转化为圆（x—+y—孚=；上的点与点（—2,0）的距离,

故选：A.

【点睛】

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

4.D

【解析】

/JT\TT

通过变形/(x)=sin2x-不尸in2(x--),通过“左加右减”即可得到答案.

【详解】

根据题意/(x)=sin［2x-1^=sin2(x-^|),故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移个单位长度可得到函数＞=5垣］2%-彳］的图象，故答案为D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

5.A

【解析】

根据复数的基本运算求解即可.

【详解】

442i〜

-------=------------T—21.

(1)2-21-i2

故选:A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.

6.D

【解析】

按照复数的运算法则先求出W，再写出z,进而求出国.

【详解】

1+Z_(1+7)2_2i__.

口一(1-0(1+0一万一’'

/.——--z=2—ini・N=2—in^=-----=—=—l—2i,

1-ii

z=—1+2in|z|=^(—l)2+22=A/5・

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共辗复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

7.B

【解析】

I)3r2v2

试题分析：由题意得一=—,c2=a2+b2^25,所以a=4,b=3,所求双曲线方程为上—匕=1.

a4169

考点：双曲线方程.

8.B

【解析】

试题分析：对于选项A,logaC='^—,logbC=Y^,0<c<l,lgc<0,而a〉/;>(),所以lga>lgZ?,但不

能确定lga、lg人的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,log。。=默,log)=芈，Iga>Igb,两边同乘以

IgeIge

1

一个负数「改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用y=x，在第一象限内是增函数即可得到">万。，

Ige

所以C错误;对于选项D,利用y=c'在R上为减函数易得°。<犬，所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较基或对数值的大小,若暴的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

9.C

【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.

【详解】

g.Xi=2表示取出一个黑球,1

X=3表示取出的为一个白球,所以尸(X=3)=芸尸(X=2)W所以

3

C4cd8

*2=3表示取出两个球，其中一黑一白，P(X2=3)=-^=—,x?=2表示取出两个球为黑球,

1「2A

X?=4表示取出两个球为白球,尸(4=4)=清二行,所以

15

E"2)=3x3+2x/4x假=5•所以尸(乂=3)>尸化=3),%<%.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.

10.B

【解析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得。力满足的条件，利用〃(。力)与圆心的距离判断即可.

【详解】

直线以+力=1与圆=1相交,

圆心(0,0)到直线ax+by^l的距离d=<1,

即7«2+b~>1•

也就是点/)到圆C的圆心的距离大于半径.

即点M(a,b)与圆C的位置关系是点M在圆C外.

故选：B

【点睛】

本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题.

11.C

【解析】

根据服从的正态分布可得A=80,。=5,将所求概率转化为尸(〃-b<XW〃+2cr),结合正态分布曲线的性质可

求得结果.

【详解】

由题意，〃=80,。=5,贝！|尸(75<X,,85)=0.6826,P(70<X,,90)=0.9544,

所以P(85<X”90)=1x(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果实直径在(75,90］内的概率为0.8185.

故选：C

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

12.B

【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计

算即可得到所求.

【详解】

设正项等比数列的公比为q,

则a4=16q3,a?=16q6,

9

a’与a7的等差中项为

9

即有34+37=—,

4

L9

BP16q3+16q6,=—,

4

解得q=g（负值舍去），

则有暗业人引工L

l—q1-1

2

故选C.

【点睛】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.①②③

【解析】

对①，由线面平行的性质可判断正确；

对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；

对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；

对④，由动点分析可知，当尸点与A点重合时，直线PS与平面SBC所成的角最大，结合几何关系可判断错误;

【详解】

对于①，因为SAL平面ABC,所以SA±AB,SALBC,又3CJ.AC,

所以平面&4C,所以3CLSC,故四个面都是直角三角形，，①正确；

对于②，若AC=4,BC=4,SC=4,SC_L平面ABC,

.•・三棱锥S-ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球,

/.2R^742+42+42=473♦7?=23，，体积为V=g»(26)3=32岳，.•.②正确;

对于③，设AABC内心是。，则SOJ_平面ABC,连接OC,

则有SO?+OC2=SC2，又内切圆半径厂=g（3+4—5）=1,

所以OC=0，SO?=SC?—=3—2=1,故SO=1,

...三棱锥S—ABC的体积为丫=,><5枷c义SO=工x工x3><4xl=2,...③正确；

332

对于④，,•,若以=3,&4,平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A点重合,

3

在及ASC4中，tanZASC=-=l,：.ZASC=45°,即直线PS与平面S3。所成的最大角为45。，

二④不正确，

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档

题

14.

2

【解析】

111,£〃一1)

计算区(/一-，0),PR=t-Ct—)=-,△尸RS的面积为S=e导数S，=,kJ,由s，=o得f=l,根据函数

ttt2t2t2

的单调性得到最值.

【详解】

轴，P(60),：.QCt,f⑺)即Q(t,J)，

又/(x)=e,x(Z>0)的导数/(x).,.过。的切线斜率

y-021

设R(r,0),则《=------=td，•,•r=t—,

t-rt

即R(/--,0),PR=t-Ct--)=-,

ttt

又S(l,/(I))BPS(1,d),的面积为5=—，

2t

导数S=e"；1),由s，=o得f=i,

2t2

当f>l时，S，>0,当0<f<l时，S，V0,为极小值点，也为最小值点，

:APRS的面积的最小值为2.

2

故答案为：—.

2

本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15.3

【解析】

分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出结论.

【详解】

解:初始”―13,左—0,

第一次循环：〃—6,左一1；

第二次循环：n—3,k—2；

第三次循环：〃—1,左一3；

经判断〃=1,此时跳出循环，输出左=3.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是对算法语句的理解，属基础题.

16.-1

【解析】

根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线x+y+b=0垂直，且的中点在这条直线

x+y+b=0上，列出方程解得即可得到结论.

【详解】

由4(区3),5(—1,1),设的中点为今±2)

a-13-1

根据题意，可得一^+2+b=0,且左AB=——=1，

2a+1

解得，a=\,b=—2,故a+Z?=—1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x~+y~=—(2)-^6

【解析】

试题分析：(1)确定圆。的方程，就是确定半径的值，因为直线AP与圆。相切，所以先确定直线方程，即确定点产

331

坐标：因为PEU轴，所以尸(1,±5),根据对称性，可取P(l，5),则直线AP的方程为y.(x+2),根据圆心到

2

切线距离等于半径得r=亍(2)根据垂径定理，求直线PQ被圆。截得弦长的最大值，就是求圆心。到直线PQ的

\b\3

距离的最小值.设直线PQ的方程为＞=h+6,则圆心。到直线P。的距离2=^^,利用自p%o°=-巳得

W+14

=°，化简得(3+4左2居々+4必5+%)+4/=0,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达

定理得2廿=442+3,因此d=J*+32——I—,当左=0时，d取最小值，P。取最大值为遥.

2

\2(k+l)Y2(左2+1)

试题解析：解：(D

22

因为椭圆C的方程为土+乙=1,所以A(—2,0),尸(1,0).

43

3

因为尸尸，x轴，所以P(l,±a),而直线AP与圆。相切，

3

根据对称性，可取尸(1,不)，

则直线AP的方程为y=g(x+2),

即x—2y+2=0.

2

由圆。与直线AP相切，得r飞,

所以圆。的方程为/+丁=±

(2)

易知，圆。的方程为x2+y2=3.

3

①当PQ-L尤轴时，kOP-kOQ——kOP~=——,

所以%=±*

此时得直线PQ被圆。截得的弦长为辿.

7

②当PQ与x轴不垂直时，设直线R2的方程为>="+心？（%,%）,。（々,火）（再%2。0），

3

首先由kOP-kOQ=——,得3玉%2+4%%=。，

BP3九1犬2+4（g+Z?）（AX2+b）=0,

所以（3+442）%]%2+4的（玉+%2）+4Z?2=0（*）.

y=kx+b

联立{冗22,消去X,得（3+4左2）犬2+8@x+4〃—12=0,

—+—=1

43

将再+九2=——8"2="——岁代入（*）式，

123+4左2123+4左2

得2/二4妤+3・

\b\

由于圆心。到直线PQ的距离为d='1,

a+1

所以直线PQ被圆。截得的弦长为/=25不=/4+-—,故当左=0时，/有最大值为的.

Vk+1

综上，因为狗〉鼠彳，所以直线P。被圆。截得的弦长的最大值为6.

7

考点：直线与圆位置关系

18.(1)A={x|x<—1或X..2}；(2)」(3,4W).

【解析】

(1)求出函数了二栏7—1的定义域，即可求出结论；

(2)化简集合3,根据5cA确定集合3的端点位置，建立。的不等量关系，即可求解.

【详解】

2x—1x—2

(1)由=-----1..0,即:——..0得无<—1或1上2,

x+1x+1

所以集合A={x[x<-1或"2}.

(2)集合5={%]—探(k+a2}={x|—1—流出2-a],

由得2-。<一1或—1一。.2,解得。>3或a”-3,

所以实数a的取值范围为(-a),-3]1.(3,y).

【点睛】

本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题.

19.(1)见解析；(2)叵

7

【解析】

(1)连接AE,证明PBLAD,AELP5得到面ADE,得到证明.

(2)以%,AB,AD所在直线分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系A-孙z,"=(1,-1,2)为平面AEC的法

向量，平面DEC的一个法向量为m=(3,1,2),计算夹角得到答案.

【详解】

(1)连接AE,在四边形ABC。中，DA±AB,平面ABC。，

也匚面?180)，；.4£)，刈，PAiAB=A,.•.加，面

又PBu面PAB,:.PB±AD,

又在直角三角形P4B中，PA=AB,E为PB的中点，.•.AELPB,A£>cAE=A,.•./>§，面ADE,AFc

面AOE,:.AF±PB.

D

(2)以Rl，AB，AQ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-孙z,

尸(2,0,0),5(0,2,0),£(1,1,0),C(0,2,l),A(0,0,0),D(0,0,2),

n-AC=02y+z=0

设〃=(尤,y,z)为平面AEC的法向量，AC=(0,2,1),AE=(1,1,0),<，令x=1,则

n-AE=0x+y=0

y=T,z=2,/.n=(l,—1,2),

同理可得平面DEC的一个法向量为m=(3,1,2).

3—1+4V21

设向量加与〃的所成的角为氏/.cos9二

76x7147

由图形知，二面角A-EC-D为锐二面角，所以余弦值为叵.

7

本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

,、，、〃+2

20.(1)an=2n+l；(2)2------.

3"

【解析】

(1)根据题意求出首项，再