2024年高考数学复习突破 零点存在的判定与证明

第5讲零点存在的判定与证明

零点问题是导函数的一个重要研究方向，也是一个重点和难点，属于一元等式问题，

其求解需要综合前面的极值、单调性和最值来考虑.而极值点本身又是导函数的零点,所

以这里会层层环绕,分析起来比较麻烦,这是零点问题的一个难点.第二个难点是结合函

数单调性和零点存在定理来赋值找零点，这里会涉及不等式放缩法,如果不太理解赋值

问题,等学习了不等式放缩法后，专门讲解赋值问题，那时再回过头来理解.下面我们先

来学习与零点相关的定义和定理.

1.函数的零点：一般的，对于函数y=/(%),我们把方程/(x)=0的实数根/叫作

函数y=/(%)的零点.

2.零点存在性定理:如果函数y=/(x)在区间［a,可上的图像是连续不断的一条曲

线，并有/(a)/(/?)<0，那么函数y=/(x)在区间(a,b)内必有零点，即

3x0使得=0.

注意:零点存在性定理使用的前提是/(%)在区间［a,可连续,如果/(%)是分段的，那么

零点不一定存在.

3.零点存在定理的推论:若/(力在［a,b］上是严格单调函数且连续，

则在(。力)的零点唯一.

4.函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系.

设函数为y=/(x),则“X)的零点即为满足方程〃力=0的根，若〃x)=g(x)—

放力，则方程可转变为g(x)=/l(x),即方程的根在坐标系中为g(x),〃(x)交点的横坐

标,其范围和个数可从图像中得到.

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化：函数

/(%)的零点=方程/("=0的根方程变形方程g(x)=h(x)的根=函数g(x)与

h(x)的交点.在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这

三者的灵活转化.

【例】对于方程lux+x=0,无法直接求出根，可以拆分构造函数lux=-x图像的交点,

画出图像可判定其零点必在中.

求无参函数零点

求解无参函数零点的一般解题步骤：

第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点，画出函数大概的趋势图（能够描述函

数性质的图像）.

第二步:在严格的单调区间［a,可上找点，使得在上存在唯

一零q八占八.

注意:若在区间［。,可，，存在唯一极大值,且极大值小于零或者存在唯一极小值,且极小

值大于零,则这个区间可上不存在零点.

【例1】已知函数/（%）=%------41nx.

⑴求“X）的单调区间.

⑵判断“X）的零点的个数，并说明理由.

【解析】⑴由题意知，“力的定义域为（0,+8）,

x~—4x+3

令/'(X)=。，得x=l或x=3,

/.当/'（九）>0,即0<%<1或%>3时,/（%）单调递增.

当了'(X)<0,即1<%<3时，/(x)单调递减.

.-./(%)的单调递增区间是(0,1)和(3,+“)，单调递减区间是(1,3).

⑵由⑴题可知，当0<%,3时，/(%)„/⑴=—2,

/(X)在(0,3］上无零点.

3312

当x>3时，y(e)=e-4->0>

又/(%)在(3,+“)上单调递增，

/(%)在(3,+“)上仅有一个零点.

综上可知，函数/(%)在(0,+“)上仅有一个零点.

【例2】已知函数/(%)=:%3一f一3x-2(xeR).

⑴求函数〃尤)的单调区间.

⑵判断函数/(%)零点的个数,并说明理由.

【解析】⑴由题意得/'(%)=>—2x—3,

令/'(x)=0得石=-1,々=3.

"%)与/'(x)在区间(-a,+“)上的情况如下表所示:

X(—8,—1)-1(-13)3（3,+8）

/'("+0—0+

/（X）单调递增单调递减单调递增

~3-11

函数在区间（-8,-1）,（3,+⑹上单调递增.

函数/（九）在区间（-1,3）上单调递减.

（2）根据（1）题，由函数单调性可知：

当x=—1时，/（%）有极大值/（—1）=-

当％=3时，/（九）有极小值/⑶=—11.

在区间（-00,-1）单调递增,在区间（-1,3）上单调递减,

可知在（-8,3）上，恒有/（X）＜0,无零点.

当％=9时，〃9）＞0.（举【例】不唯一）

函数在（3,+“）上单调递增，由零点存在定理可知，

有且只有一个实数fe（3,+“），使得/（，）=0.

函数/（x）有且只有一个零点.

讨论含参函数零点个数一一分类讨论

讨论含参函数y=/(后,％)在区间［a,可上零点个数的一般解题步骤：

第一步：利用导函数求出原函数的单调性和极值点，通常极值点/用参数表示：

%=g化).

第二步:讨论出函数在区间［a,可上的单调性,通常分为极值点％=g(。在区间［a,可的

左、中、右三种情况讨论.

第三步:结合函数单调性和极值/(%)和零点存在定理的推论来确定零点个数,我们通

常分为情况讨论：

(1)函数在区间［a,可上严格单调,若满足0n/(x)在(a,b)上存在唯一零

点.若不满足/(a)/(Z?)<0=>/(%)在(a,b)上不存在零点.

(2)若在区间［a,可上,存在唯一极大值/(%),则分为下面三种情况：

①极大值/(%)<0/(%)在(。力)上不存在零点.

②极大值/伉)=0/(x)在(a,上存在唯一零点.

③极大值〃％)>0=>若〃。)<0,f(b)<0,则外力在(a,。)上存在两个零点.若

f(a)(0,f(b))0,则〃龙)在(0力)上存在一个零点.若/(可>0,/。)>0,则“同在

(a,。)上无零点.

【例1】已知函数/(x)=e*—ax—l(aeR,e=2.71828…是自然对数的底数)，讨论

y=〃尤)在区间［0』上零点的个数.

【解析】/(x)=e¥-av-l,

/f(x)=eA-a

⑴当6,1时，/(%)在(O,+“)上单调递增且/(O)=O,

.-./(x)在［0,1］上有一个零点.

⑵当a.e时，在上单调递减，

."(X)在［0,1］上有一个零点

⑶当l<a<e时，〃尤)在(0,Ina)上单调递减,在上单调递增.

而/(l)=e-a-l,

①当e—a—L0,即1<④e—1时，/(%)在［0』上有两个零点.

②当e-a-l<0,即e-l<a<e时，”力在［0,1］上有一个零点.

综上所述,当冬,1或a>e-l时，〃尤)在［0,1］上有一个零点.

当1<6,e—1时，/(可在［0,1］上有2个零点.

［例2］已知函数g(x)=底--V其中©是自然对数的底数，。eR,讨论函数g⑴零

点的个数,并说明理由.

【解析】g［x}=XeX-a-X1=X(QX-a-X).

由g（尤）=0,得X=0或e*-a_龙=0.

设皿=。。-％,又/z(O)=e—"wO,即％=0不是力(力的零点.

只需再讨论函数可可零点的个数.

〃(%)=尸-1,

二.当三时，单调递减.

当xw(a,+8)时，〃Q)>O,/z(x)单调递增.

当％=a时，h(x)取得最小值h(a)=l-a.

①当力(〃)>0,即QV1时,无零点.

②当/z(a)=O,即a=l时，力(%)>0,/z(x)有唯一零点.

③当力(〃)<0,即时，

/z(0)=e-">0,

/z(x)在(一8,〃)上有且只有一个零点.

令x=2〃，则h(2a)=e"-2a.

设姒。)=h(2a)-ea-2a(a>1),则"(a)=e"-2>0,

0(。)在(L+8)上单调递增.

V〃£(l,+8),者R有°(a)..0(l)=e-2>0

.,./z（2a）=0（Q）=e"-2a>0.

.,./?(%)在(0,+8)上有且只有一个零点.

二当a>1时，/z(x)有两个零点.

综上所述，当。<1时，g(x)有一个零点.

当。=1时，g(x)有两个零点.

当a>l时，g(x)有三个零点.

求含参函数零点个数一一参变分离

【例1】已知函数/(x)=ex—ax(aeR)(e=2.71828是自然对数的底数)，求函数

/(%)的零点的个数.

【分析】由e=公=0,得a=2(xwO),构造函数g(x)=f，然后利用导数求出其单

X

调区间和极值,画出此函数的图像,再判断图像与直线y=a的交点情况,从而可得答案.

【解析】显然0不是函数〃力的零，点，由e=公=0得a=2(xwO).

令g("=『，贝Ug'(x)=e(；I>

%<0或0<]<1时，g'(x)VO.x>l时，g'(x)>0.

.•.g(x)在(-8,0)和(0,1)上都是减函数，在上是增函数.

x=1时g(x)取极小值e,

又当x<0时，g(x)<0,

e

0„a<e时，关于x的方程a=—无解.

x

a=e或。<0时关于x的方程a=J只有一个解.

x

a〉e时,关于x的方程a=一有两个不同解.

x

因此O,,a<e时函数八％)没有零点.

a=e或a<0时函数“X)有且只有一个零点.

a〉e时，函数/(%)有两个零点.

由零点个数求参数取值范围一一分类讨论

这里分类讨论的步骤和前面讨论零点个数的步骤类似,不再复述,不同的是需要选

取符合题设零点个数要求的参数范围，以及会用不等式放缩来赋值找零点(在后面的章

节中会有详细讲解)，我们也可以通过取极限的方式来粗糙地确定零点，在考试时，这也

是一种较快的解题方式,一般来说,判卷不严格也算对，但也可能会扣分.

【例1】已知函数/(x)=hix-ar(aeR).

⑴讨论“X)的单调性.

⑵若/(%)有两个零点,求实数。的取值范围.

【解析】⑴函数〃x)=lnx-依的定义域为(0,+力).

X

①当6,0时，由/'(x)>0,知函数y=/(x)在(0,+8)内单调递增.

②当a>0时：由f'(x)>0,即工一a>0得0<x<2.

由/'(x)<0,即，一a<0得x〉L.

xa

：.函数y=/(x)在，£|内单调递增,在(：，+”］内单调递减.

综上，当④0时，y=/(x)在(0,+oo)内单调递增.

当a>0时，y=/(x)在卜口内单调递增，在内单调递减.

⑵当④。时，则函数y=/(%)在(0,+“)上为增函数，函数y=f(x)最多一个零点,不

合乎题意,舍去.

当a>0时，由⑴题知，函数y=/(x)在，J内单调递增，在，,+力］内单调递减.

且当X—。时，-—8.当X—+8时，—8，

则/(^］=ln，一l=-Ina-1>0,即Ina<-1,解得0<a<—.

yaJae

因此,实数a的取值范围是.

【例2】已知函数/（x）=ele，一2（a+l）］+2狈，（e为自然对数的底数，且a,,l）.

（1）讨论〃龙）的单调性.

（2）若/（九）有两个零点，求。的取值范围。

【解析】（1）/'（%）=eA'［ex-2（«+1）］+ev•e"+2«

=2e2'v-2（a+l）e¥+2a

=2（er-l）（er-«）.

①当a,,0时,ex-a>0,则

当x<0时，/'（x）<0,故在（一oo,0）单调递减.

当x>0时，/'（X）>0,故/（X）在（0,+>）单调递增.

②当a>0时，由/'（尤）=0得石=lna,x2=0.

若a=l,则/'（x）..0,故〃尤）在R上单调递增.

若0<。<1,则

当x<lna或x>0时，故/（%）在（-oo,lna）和（0,+oo）单调递增.

当lna<x<0时，f'（x）<0,故/（%）在（。。,0）单调递减.

（2）①当a=1时，/（九）在R上单调递增,不可能有两个零点.

②当0<a<l时，"％）在（一。,lna）,（0,+oo）单调递增，在（lna,0）单调递减,

故当光=Ina时，〃尤)取得极大值,极大值为f(infl)=-a(a+2)+2alna<0.

此时，/(%)不可能有两个零点.

③当a=0时，/(无)=产(/—2),由/(x)=0得x=ln2.

此时，/(%)仅有一个零点.

④当a<0时，/(%)在(-8,0)单调递减.在(0,+8)单调递增.

/(力有两个零点，・•・/(())<0.

角星Q>..*•<Q<0.

22

而/(l)=e[e-2(a+l)]+2a>0.

取b<("；1)，则/e)=[e&—(a+1)]2-(«+1)2+2ab>[?-(«+1)]2..O.

故/(x)在(-8,0),(0,+。)各有一个零点.

综上，。的取值范围是；,o]

[例3]已知函数/(x)=2xe*-av-alrLY(aGR),若函数/(九)有两个零点,求实数a

的取值范围.

【解析】函数/(九)的定义域为(0,+“).

X+12xeQ

由/'(x)=2(x+l)eX_a_V=(x+l).^2ex=(X-).

①当④0时，/'(力>0,此时/(%)单调递增，最多只有一个零点.

②当〃>0时,令g(x)=2xe%

由g'(x)=2(x+l)e%>0,可知函数g(x)单调递增.

又g(0)=-QvO,g(Q)=2ae"-a-〃(2e"-1)>0,

可得存在毛£(0,Q),使得g(毛)=0,

有X°eM=g可知函数/(X)的单调递减区间为(0,%)，单调递增区间为(毛，+8)-

若函数/(九)有两个零,点,必有

xx

J(x0)=2%0e°-ax0-tzlnx0=a-a(^x0+lnx0)=a-tzln(tzoe°)=a-aln^<0

得Q>2e.

令力(x)=x-lnx,有”(x)=l--=--

令”(x)>0,可得力>1.

故函数入⑺的单调递增区间为(1,+⑹，单调递减区间为(0,1),有

/z(x)../z(l)=l^>x-lnx>l.

当x>lna时，e*>«,/(%)=x(2ex-a^alnx>ar-«lnx=a(x-lnx)..«>0.

可得此时函数/(x)有两个零点.

由上可知,若函数〃尤)有两个零点,则实数a的取值范围是(2e,+“).

由零点个数求参数取值范围一一参变分离

参变分离法解已知含参函数y=在区间［a,可上零点个数，反求参数取值范

围问题的一般步骤：

第一步：y=/(左㈤的零点o方程/(左㈤=0的解,参变分离后得k=g(x).

第二步:利用导函数研究出函数g(x)的函数图像.

第三步:讨论常值函数左和函数g(x)图像在区间［a,可上的交点个数，即为y=/(左㈤

在区间［a,可上零点个数.

［例1］已知函数/(x)=hix-依(ZeR),若〃龙)有唯一零点，求左的取值范围.

【解析】由/("=lnx—日有唯一零点,可得方程Inx—丘=0,即左=一有唯一实根.

令Mx)=则，则〃")=匕学

XX

由>0,得0vxve.由"(x)<0,得x〉e.

在(0,e)上单调递增,在(e,+。)上单调递减.

/z(x)„/z(e),

又MD=o,

.,.当0<xvl时，/z(x)<0.

又当时，h(x)=——>0,

由h(x}=—得图像(如下图所示)可知，k=L或匕o.

xe

［例2］已知函数f(x)=ex-a(x+2)，若〃尤)有两个零点,求a的取值范围.

【解析】若/(%)有两个零，点，即e*—a(x+2)=0有两个解.

ex

从方程可知，1二-2不成立,即。=——有两个解.

x+2

exel'(x+2)-exel(x+1)

令h(x)=(xw—2),则有〃(尤)=

x+2(尤+2)2~(尤+2)2

令”(%)>0,解得x>-l.令解得尤<一2或一2<%<—1.

函数可力在-2)和(-2,-1)上单调递减,在(-1,+“)上单调递增,

且当％<-2时，/z(x)<0,

而xf-2+时,+»当x—时,〃(尤+8.

.•.当口=—J有两个解时,

x+2

Wa>/z(-l)=-,

工满足条件的a的取值范围是

【例3】已知函数/(x)=(2-x)eA+a(无