2024年江苏省扬州市高邮市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

2023-2024学年度网上阅卷第二次适应性练习试题九年级数学（考试时间：120分钟满分：150分）友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．一、选择题（每题3分，共24分）1.的倒数是（）A B.2024 C. D.2.下列运算中，正确的是（）A. B.C. D.3.下列几何体中，俯视图与其它不同的是（）A.

B.

C.

D.

4.在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差5.在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（）

A. B. C. D.6.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？若设良马日可以追上驽马，则下列方程正确的是（）A. B.C D.7.下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（）A.该函数图象关于直线对称 B.该函数y最小值为1C.该函数y随着x增大而增大 D.该函数图象与y轴交于8.某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空题（每题3分，共30分）9.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．10.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，若取得白球的概率是0.3，那么袋中装有红球个数为___．12.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．13.在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重_____．14.如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____．15.如图，已知点是正方形的边上的一个动点，连接，以为边作矩形，且边恰好经过点．若，则矩形的面积为_____．16.如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为______．17.如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则____．18.在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为_____．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：（2）化简：20.若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围．21.某校组织全校900名学生开展了青少年心理健康教育，若随机抽取了40名学生进行青少年心理健康知识测试，将百分制的测试成绩分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：①将测试成绩分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．（1）测试成绩在这一组有名学生；测试成绩在这一组学生成绩的众数是分；（2）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？22.在项目化学习中，“水生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是；（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．23.某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．24.在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积．25.如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长和阴影部分的面积．26.已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得；（2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得（3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得27.我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．

（1）若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为；（2）如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；（3）如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k=；②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．28.如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．（1）【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则（2）【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；（3）【拓展延伸】①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为．

2023-2024学年度网上阅卷第二次适应性练习试题九年级数学（考试时间：120分钟满分：150分）友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．一、选择题（每题3分，共24分）1.的倒数是（）A B.2024 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．【详解】解：∴的倒数为，故选：C．2.下列运算中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算正确，符合题意；故选：D．3.下列几何体中，俯视图与其它不同的是（）A.

B.

C.

D.

【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单几何图形的三视图，熟知俯视图的概念是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形即可解答．【详解】A．俯视图为三角形；B．俯视图圆；C．俯视图为圆；D．俯视图为圆；故选：A．4.在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数定义．根据中位数的定义即可得．【详解】解：将该同学的分数按从小到大进行排序为8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94，则去掉前其中位数为9.0分，去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，则去掉后其中位数为9.0分，因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，故选：B．5.在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解．【详解】解：如图，

∵，，∴，∵，∴，故选：C．6.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？若设良马日可以追上驽马，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【详解】解：设良马日可以追上驽马，依题意，得：．故选：D．7.下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（）A.该函数图象关于直线对称 B.该函数y最小值为1C.该函数y随着x的增大而增大 D.该函数图象与y轴交于【答案】C【解析】【分析】本题考查一次函数的图象及性质，画出函数图象是解题的关键．分两种情况：和，分别去绝对值化简函数解析式，再画出函数图象，根据图象判定即可．【详解】当时，，当时，，∴函数的图象大致如下：A．该函数图象关于直线对称，正确，该选项不符合题意；B．函数最低点的坐标是，∴该函数y最小值为1，正确，该选项不符合题意；C．当时，函数y随着x的增大而减小，时，函数y随着x的增大而增大，错误，该选项符合题意；D．当时，，则该函数图象与y轴交于，正确，该选项不符合题意；故选：C．8.某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了简单的合情推理，分别假设甲、乙、丙、丁是冠军，然后进行推理，是否符合题意，即可得出答案．【详解】解：①设获得冠军的是甲，则只有地理老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是甲；②设获得冠军的是乙，则地理老师、政治老师、语文老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是乙；③设获得冠军的是丙，则历史老师、政治老师预测正确，与题设相符，故获得冠军的是丙；④设获得冠军的是丁，则四位老师都预测错误，与题设矛盾，故获得冠军的不是丁；综合①②③④得：故获得冠军的是丙．故选：C．二、填空题（每题3分，共30分）9.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可；【详解】解：，故答案为：．10.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为，故答案为：．本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，若取得白球的概率是0.3，那么袋中装有红球个数为___．【答案】7【解析】【分析】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．根据概率公式进行计算即可．【详解】解：袋里一共有个球，∴袋中装有红球个数为，故答案为：7．12.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m=______．【答案】0【解析】【分析】根据一元二次方程根判别式可得：△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，可进一步求出结果.【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，解得m＜1，故答案是：0．考核知识点：从根的情况求参数.13.在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，则物体比重_____．【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，设物体质量为.则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度，故物体质量为，即可得物体比重．【详解】设物体质量为，则在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度在该弹簧秤上挂物体后弹簧的长度比挂上物体后弹簧的长度大在弹簧秤上挂物体后弹簧的长度在一次函数中，令得：解得：即物体质量为：物体比重故答案为：．14.如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____．【答案】35【解析】【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键．【详解】连接，∵，∴，∴，∴，∵点是的内心，∴，故答案为：35．15.如图，已知点是正方形的边上的一个动点，连接，以为边作矩形，且边恰好经过点．若，则矩形的面积为_____．【答案】【解析】【分析】根据四边形是正方形，得，根据四边形是矩形，得，证明，故，即可作答．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，即矩形的面积为，故答案为：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．16.如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解．【详解】解：四边形为正方形，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，，，，解得，，为中点，又，，，．故答案为：．17.如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则____．【答案】16【解析】【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．延长交y轴于D，根据题意得出，，，求出，，证明，得出，即，求出或（舍去），进而得出结果．【详解】解：如图，延长交y轴于D，则，∵点在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得：，解得：或（舍去），∴．故答案是：16．18.在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，正确做出辅助线是解题的关键；设点D关于直线对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，根据对称性质得，，在证和，然后将构造成三角形的中位线，将动线段转化为定点B到直线得最短距离，然后根据勾股定理和点到直线垂线段最短，求得取最小值的情况以及对应线段长度即可．【详解】如图所示，设点D关于直线的对称点为点G，连接，，延长，交于H点，连接，点G，D关于直线对称，，，在和中，，，，，在和中，即E为的中点，又F为的中点，为的中位线，，要使最小，则需取得最小值，而B为固定点，H在固定直线上，由点到直线垂线段最短可知，当时取得最小值，，，，在中，，，，，，，，故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，（1）首先计算负整数指数幂，立方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减；（2）根据分式的混合运算法则求解即可．【详解】（1）；（2）．20.若关于x的不等式组有1个整数解，求a的取值范围．【答案】【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．用含式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组有1个整数解，∴．21.某校组织全校900名学生开展了青少年心理健康教育，若随机抽取了40名学生进行青少年心理健康知识测试，将百分制的测试成绩分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：①将测试成绩分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．（1）测试成绩在这一组有名学生；测试成绩在这一组学生成绩的众数是分；（2）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？【答案】（1）8；86（2）495【解析】【分析】本题考查频数分布直方图，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键；（1）总人数减去其余4组人数即可：根据在这一组的成绩以及众数的意义求出即可；（2）先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．【小问1详解】测试成绩在这一组有：（人）；在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89，出现次数最多的是86，∴测试成绩在这一组学生成绩的众数是86分；故答案为：40；86；【小问2详解】（人）∴估计该校900名学生中对青少年心理健康知识掌握程度为优秀的学生约有495人．22.在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查．（1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是；（2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；（2）利用画树状图法计算概率．本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．【小问1详解】4名同学报名（2名男生和2名女生），分配1个名额，则抽到男生的概率是，故答案为：．【小问2详解】根据题意，画树状图如下：共有12个等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8个，故抽到一名男生和一名女生的概率，故答案为：．23.某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．【答案】大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，根据“去距学校60千米的珠湖小镇，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾汽车前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇，列出分式方程，解分式方程，检验即可．【详解】设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，则根据题意得：解得：经检验是原方程的解，则（千米每小时）答：大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时．24.在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积．【答案】（1）矩形，见解析（2）48【解析】【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键．（1）根据折叠性质，得；结合平行四边形，得到，继而得到，得到四边形是平行四边形，结合，得到四边形是矩形；（2）根据平行四边形的周长为32，得到，，结合，，得到，设，则，继而得到，得到，计算四边形的面积即可．【小问1详解】根据折叠性质，得；∵平行四边形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【小问2详解】根据平行四边形的周长为32，∴，，∵，，∴，设，则，∴，∴，四边形的面积为：．25.如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长和阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2），阴影部分的面积为【解析】【分析】（1）如图1，连接，由，根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得，即可证得结论；（2）过圆心作，垂足为点，连接，根据垂径定理，则得，进而得到，再根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，证得四边形是矩形，得到，再根据全等三角形判定“边角边”，证得，得到，，易证得，是等边三角形，结合特殊三角函数值即可计算出的值，的值，然后计算出扇形的面积，的面积，的面积，最后根据阴影部分面积=的面积+的面积-扇形的面积，即可得出答案．【小问1详解】证明：如图1，连接，以为直径的交于点，，，，，，，，是的切线．【小问2详解】解：如图2，过圆心作，垂足为点，连接，，，，，，，，，四边形是矩形，，在和中，，，，，，，，，，，，，，．本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理推论，切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识，灵活应用平行线的判定与性质，证得，合理添加辅助线，构造全等三角形，得到对应边角关系，及利用割补法求阴影部分面积．26.已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图1，若，在边上求作点D，连接，使得；（2）如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得（3）如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了基本的尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．（1）作的垂直平分线即可；（2）作的平分线即可；（3）作即可．【小问1详解】如图，点D就是求作的点；证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，∴，∴；【小问2详解】如图，点就是求作的点，证明：过点作于点，于点，如图所示，由作图可得，是的平分线，∴，∵，，∴，∵∴；【小问3详解】如图，点就是求作的点，证明：由作图可知，，∴，∴，∴，在中，，，∴，解得：．27.我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．

（1）若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为；（2）如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；（3）如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k=；②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．【答案】（1）（2）存在，（3）①2，②【解析】【分析】（1）由反比例函数的对称性即可求解；（2）P是第一象限内的一个“2倍点”，则点，即点P在直线上，证，得即可求解；（3）①设点，则点则点Q在直线上，即可求解；②过点N作于点G，在中，，，设，则，则，则，即，求出点M坐标和直线直线的表达式，即y轴上点N的坐标．【小问1详解】由反比例函数的对称性得，反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为故答案为∶；【小问2详解】存在，理由∶设P是第一象限内的一个“2倍点”，则点，即点P在直线上，由抛物线的表达式知，点，过点A作轴交直线l于点H，作于点N，当时，，即点则，，，在和中，即最短距离为：，【小问3详解】①设点，则点则点Q在直线上，即，故答案为∶2；②若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，∴，即将直线绕点Q顺时针旋转得到如下图