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文档简介

2023-2024学年上海市五爱高级中学高三考前热身数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.数列的通项公式为.则“”是“为递增数列”的()条件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要2.已知平面向量,满足,,且,则()A.3 B. C. D.53.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.84.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系,统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图(轴表示气温,轴表示销售量),由散点图可知与的相关关系为()A.正相关,相关系数的值为B.负相关,相关系数的值为C.负相关,相关系数的值为D.正相关,相关负数的值为6.设,则A. B. C. D.7.抛物线的准线方程是,则实数()A. B. C. D.8.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍9.已知函数,若曲线在点处的切线方程为,则实数的取值为()A.-2 B.-1 C.1 D.210.用一个平面去截正方体,则截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形11.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.12.下列函数中,图象关于轴对称的为()A. B.,C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数对应的点位于第二象限,则实数的范围为______.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F,两曲线的一个交点为P,若|FP|=5,则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.15.设,满足条件,则的最大值为__________.16.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,,若存在实数使成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知,求的最小值.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.20.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次,若掷得点数大于,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖,已知抽奖箱中装有个红球与个白球,抽奖者从箱中任意摸出个球,若个球均为红球,则获得一等奖,若个球为个红球和个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).若,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;若一等奖可获奖金元,二等奖可获奖金元,三等奖可获奖金元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为,若商场希望的数学期望不超过元,求的最小值.21.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在市与市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为.(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有个路口种植杨树,求的分布列以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为,求证:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822.(10分)如图,在正四棱锥中,,点、分别在线段、上,.(1)若,求证:⊥;(2)若二面角的大小为,求线段的长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据递增数列的特点可知,解得,由此得到若是递增数列,则,根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”,则,即,化简得:,又,,,则是递增数列,是递增数列,“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选:.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.2、B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【详解】解:由,所以,,,故选:B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.3、A【解析】

由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.4、C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.5、C【解析】

根据正负相关的概念判断.【详解】由散点图知随着的增大而减小,因此是负相关.相关系数为负.故选:C.【点睛】本题考查变量的相关关系,考查正相关和负相关的区别.掌握正负相关的定义是解题基础.6、C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.7、C【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选:C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.8、D【解析】

先求得,再根据三角函数图像变换的知识,选出正确选项.【详解】依题意,所以由向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选:D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算,考查诱导公式,考查三角函数图像变换,属于基础题.9、B【解析】

求出函数的导数,利用切线方程通过f′(0),求解即可;【详解】f(x)的定义域为(﹣1,+∞),因为f′(x)a,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故选:B.【点睛】本题考查函数的导数的几何意义,切线方程的求法,考查计算能力.10、C【解析】试题分析:画出截面图形如图显然A正三角形,B正方形:D正六边形,可以画出五边形但不是正五边形;故选C.考点:平面的基本性质及推论.11、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得的坐标得出答案.【详解】解:,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.12、D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数;A中,,,故为奇函数;B中,的定义域为,不关于原点对称,故为非奇非偶函数;C中,由正弦函数性质可知,为奇函数;D中,且,,故为偶函数.故选:D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法:对于函数的定义域内任意一个都有,则函数是奇函数;都有,则函数是偶函数(2)图象法:函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由复数对应的点,在第二象限,得,且,从而求出实数的范围.【详解】解:∵复数对应的点位于第二象限,∴,且,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系,解不等式,且是解题的关键,属于基础题.14、【解析】

设点为,由抛物线定义知,,求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2,0),因为点P在抛物线y2=8x上,|FP|=5,设点为,由抛物线定义知,,解得,不妨取P(3,2),代入双曲线-=1,得-=1,又因为a2+b2=4,解得a=1,b=,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线为y=±x,由点到直线的距离公式可得,点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为:【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质;考查运算求解能力和知识迁移能力;灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.15、【解析】

作出可行域,由得,平移直线,数形结合可求的最大值.【详解】作出可行域如图所示由得,则是直线在轴上的截距.平移直线,当直线经过可行域内的点时,最小,此时最大.解方程组,得,..故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划,属于基础题.16、【解析】

解法一:曲线上任取一点,利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值;解法二:曲线函数解析式为,由求出切点坐标,再计算出切点到直线的距离即可所求答案.【详解】解法一(基本不等式):在曲线上任取一点,该点到直线的距离为,当且仅当时,即当时,等号成立,因此,曲线上任意一点到直线距离的最小值为;解法二(导数法):曲线的函数解析式为,则,设过曲线上任意一点的切线与直线平行,则,解得,当时,到直线的距离;当时,到直线的距离.所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算,可转化为利用切线与直线平行来找出切点,转化为切点到直线的距离,也可以设曲线上的动点坐标,利用基本不等式法或函数的最值进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】试题分析:先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析:存在实数使成立,等价于的最大值大于,因为,由柯西不等式:,所以,当且仅当时取“”,故常数的取值范围是.考点:柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.18、【解析】

讨论和的情况,然后再分对称轴和区间之间的关系,最后求出最小值【详解】当时,,它在上是减函数故函数的最小值为当时,函数的图象思维对称轴方程为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为综上,【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题。19、(1)见解析;(2)见解析【解析】

(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.20、;.【解析】

设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,求出;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,相应求出概率,求出期望,化简得,由题意可知,,即,求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,所以;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,且,,,所以随机变量的数学期望,,化简得,由题意可知,,即,化简得,因为,解得,即的最小值为.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法,属于常考题.21、(1)没有(2)分布列见解析,(3)证明见解析【解析】

(1)根据公式计算卡方值,再对应卡值表判断..(2)根据题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率,写出分布列,根据期望公式求值.(3)因为至少8个的偶数个十字路口,所以,即.要证,即证,根据组合数公式,即证;易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树,下面分类讨论①当时,由论证.②当时,由论证.③当时,,设,再论证当时,取得最小值即可.【详解】(1)本次实验中,,故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.(2)依题意,的可能取值为0,1,2,3,4,故,,

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