辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含答案解析）

辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年八年级下学期月考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列化简正确的是（）

A.6+邪=5B.5/12=25/3c.-7^7=3D.3夜-血=3

2.下列二次根式为最简二次根式的是（

C.瓜D.712

3.下列方程是一元二次方程的是（）

,2

A.y-2x+4B.x-\——2C.x2-1=0D.x2+y2=l

x

4.若一元二次方程：2/+3》-6=0的两个根分别为毛、巧，则玉X2的值等于（）

A.-6B.6C.-3D.3

5.一元二次方程(X-2)2=、-2的根是()

A.3B.2C.-1D.3或2

6.如图，在RtZVIQB中，ZBAO=90°,AB=1,点A恰好落在数轴上表示-2的点上,

以原点。为圆心，03的长为半径画弧交数轴于点尸，使点P落在点A的左侧，则点P

A.-75B.&C.D.旧

7.下列条件中，不能判断ASC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB+ZCB.a:b:c=5:12:13

C.tz2=(Z?+c)(Z?-c)D.NA:N5:NC=3:4:5

8.如图，一块矩形门框的长AD=2m,宽=下面四块矩形薄木板（厚度忽略

不计）能从该门框内通过的是（）（行。1.73,0土2.24,近土2.65）

DC

A'------'B

A.长为3m,宽为2.8mB.长为3m,宽为2.6m

C.长为4m,宽为2.4mD.长为5m,宽为2.2m

9.海伦-秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记°="少,

三角形的面积为s=而（0-。）（0-6）（。-c）,如图，请你利用海伦-秦九韶公式计算

ABC的面积为（）

A.—A/7B.C.—^7D.10

24

10.如图，在RtZXABC中，ZACS=90°,AC=3,BC=4,BE平分/ABC,CDLAB

于。，BE与CD相交于凡则CP的长是（）

33一

二、填空题

11.要使二次根式伍二？有意义，则实数x的取值范围是.

12.同一地点从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只

与该物体的高度有关.若物体从离地面为〃（单位：m）的高处自由下落，落到地面

所用的时间为，（单位：s）,且/与力的关系可以表示为/=《（％为常数），当。=80时，

f=4.则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为s.

13.如图，字母A所代表的正方形面积为一.

试卷第2页，共6页

14.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问

折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离

竹根3尺，试问折断处离地面_______尺.

15.如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若

BD是,ABC的高，则3。的长为.

三、解答题

16.计算：

(1)2712-6^1+3748；

⑵府+栏.

17.解方程：

(1)2/+3尤一1=0；(酉己方法)

(2)2%2—1=x(x+3).

18.五一广场是庄河市民放风筝的场所之一，小明和小华在学习了“勾股定理”之后，进

行了一次实践活动，操作如下：如图，测量风筝距地面高度CE=5.7米，水平距离3。=3

米，小明身高L7米.若小明想让风筝沿8方向下降1米至点G,则他应该往回收线多

少米？（结果保留小数点后一位，V2®1.41）

i+4+4=i+---=i-；

2232236

请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题

⑴猜想（+5+，■=

⑵归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用“（”为正整数）表示的等式:

⑶应用：计算

20.现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m,

云梯最多只能伸长到10m,救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从9m高处救

人后，然后前进到8处从12nl高处救人.

（1）DM=米，BB'=米；

⑵①求消防车在A处离楼房的距离（AO的长度）；

②求消防车两次救援移动的距离（A5的长度）.（精确到0.1m,参考数据有71.73,

试卷第4页，共6页

风士3.16,V19~4.36)

21.不解方程，判断关于x的方程（7〃-1）/+2（7〃+1）》+%=0的根的情况.

22.（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1,四边形ABCD中，

ZA=90°,ZC=45°,8£＞平分/ABC,求证：AB+AD=BC.

①如图2,豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取的=至，连接

DE,将线段AB,AD,3c的数量关系转化为OE与CE的数量关系；

②如图3,乐琪同学从8。平分NABC这个条件出发，想到将，BDC沿8。翻折，所以

她延长线段仍到点R使FB=CB,连接即，发现了ZF与NADF的数量关系；

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；

（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的

感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答.

如图4,ABC中，NA=90。，平面内有点。（点。和点A在BC的同侧），连接DC,DB,

"=45°,ZABD+2ZABC=180°,求证：啦BD+®AB=CD.

（3）【学以致用】如图5,在（2）的条件下，若/ASD=30。，AB=1,请直接写出线

段AC的长度.

图4图5

23.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证

明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现

了一个新的证法.

【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c.显然，

ZDAB=ZB=90°,AC_LDE.请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、AEBC

的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：

S梯形ABCD=_，

SAEBC=_,

S四边形AECD=_，

则它们满足的关系式为一，经化简，可得到勾股定理.

【知识运用】（1）如图2,铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、

D为两个村庄（看作两个点），ADXAB,BCXAB,垂足分别为A、B,AD=25千米,

BC=16千米，则两个村庄的距离为一千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造

一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.

【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式J73+J（16—X）2+81最小值

(0<x<16)

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可逐一判断结论.

【详解】解：A.V4+A/9=5,选项的运算结果不正确，不符合题意；

B.旧=26，选项的运算结果正确，符合题意；

C.一/彳=一3,选项的运算结果不正确，不符合题意；

D.30-0=2也，选项的运算结果不正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握相

应的运算法则.

2.B

【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则

就不是.

【详解】解：A、4不是最简二次根式，故A不符合题意；

B、77是最简二次根式，故8选项符合题意；

C、底=2五,不是最简二次根式，故C不符合题意；

D、712=273,不是最简二次根式，故。不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分

母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

3.C

【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据等号两边只有一个未知数且未知数的最高次数

是2次的整式方程叫一元二次方程直接逐个判断即可得到答案；

【详解】解：A.y=2/+4是二元二次方程，不符合题意，

2

B.》+—=2是分式方程，不符合题意，

x

C.公_1=。是一元二次方程，符合题意，

D./+丁=1是二元二次方程，不符合题意，

答案第1页，共16页

故选：c.

4.C

【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于上c即可求解，掌握一

a

元二次方程根和系数的关系是解题的关键.

【详解】解：•♦•2/+3%-6=0的两个根分别为4、々，

,•占％=-=-3,

故选：C.

5.D

【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解.

【详解】解:(x—2)2=》一2

(无一2)2—(尤-2)=0

/.(x-2)(^-3)=0

x—2=0或x-3=0

解得：网=2,%=3,

故选：D.

6.A

【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系，任意一个实数都可以用数轴上的

点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.依据勾股定理即可得到。8的长，进

而得出。尸的长，即可得到点尸所表示的数.

【详解】解：中，ZBAO=90°,AB=1,AO=2,

,•OB=也?+1。=A/5,

又：OB=OP,

：.OP=5

又：点p在原点的左边，

..•点尸表示的数为-石，

故选A.

7.D

答案第2页，共16页

【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理.根据三角形的内角和为

180°,即可判断A、D：根据平方差公式和勾股定理，即可判断C；根据勾股定理，即可判

断B.

【详解】解：A、VZA=ZB+ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

/.ZA+ZA=180°,解得：ZA=9O°,

能判定ABC是直角三角形，不符合题意；

B、设。=5后b=12k,c=13k,

/+=(5左)2+(12%)2—169Z：2=(13左)2-Q1,

能判定ABC是直角三角形，不符合题意；

C、a2c)(b-c)=b2-c2,

222

a-^-c=bJ

能判定ABC是直角三角形，不符合题意；

D、VZA:ZB:ZC=3:4:5,

345

AZA=180°x----------=45°,ZB=180°x-----------=60°,ZC=180°x-----------=75°,

3+4+53+4+53+4+5

不能判定ABC是直角三角形，符合题意；

故选：D.

8.D

【分析】本题考查了勾股定理，计算矩形的对角线，与木板的宽进行比较即可，掌握勾股定

理的应用是解题的关键.

【详解】由一块矩形门框的长AD=2m,宽=则其对角线长为

V22+l2«2.236(m),

A、由题意得：2.8m>2.236m,不能通过，不符合题意；

B、由题意得：2.6m>2.236m,不能通过，不符合题意；

C、由题意得：2.4m>2.236m,不能通过，不符合题意；

D、由题意得：2.2m<2.236m,能通过，符合题意；

故选：D.

9.C

【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键.根据题目所给公式

答案第3页，共16页

代值计算即可.

【详解】解：由题意得。::5+人+3=言殳=11，

/-5。=^11y5x（,1y54八）x（，y15-5八）x（，y15-64）、

/15753

二4-X—X—X—

V2222

?

故选：C.

10.B

【分析】过点£作四，至于点6,由EGLAB,CDLAB,可得EG〃CD,由平行线的性

质可得NGEB=/EFC；在Rt^ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定

RtAEBC^RtAEBG,由全等三角形的性质可得NCEB=NEFC及AG的值，进而可判定

CF=CE.设CF=EG=EC=x,则AE=3-x,在RtA4EG中，由勾股定理得关于尤的方

程，解得x的值即为CF的长.

【详解】解：过点石作国7，至于点3,如图：

•；CD_LAB于。，

EG//CD,

ZGEB=ZEFC,

•.•在RtZXABC中，/ACS=90。，

ECLCB,

又：BE平分，ABC,EG±AB,

EG=EC.

在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=5.

在RfEBC和Rf,EBG中,

EB=EB

EC=EG

答案第4页，共16页

RtEBC^Rt.EBG（HL）,

NCEB=NGEB,BG=BC=4,

：.ZCEB=ZEFC,AG=AB-BG=5-4=1,

：.CF=CE.

设CF=EG=EC=x,则AE=3-x,

在RtZ\A£G中，由勾股定理得：

（3-元）2=炉+『，

4

解得x=§

4

CF的长是

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结

合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

11.x>3

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：3x-9?0,

解得：x>3.

故答案为：x>3

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是

解题的关键.

12.2亚

【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是利用了待定系数法求解析式.根据待定系数

法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值.

【详解】解：由题意得押=4,

解得左=5,

则

.,.当〃=100时，z=^p=720=2>/5,

•••从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为2如s,

答案第5页，共16页

故答案为：24.

13.64

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形尸。瓦＞的面积和正方形PRQF的面

积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出

QR的平方，即为所求正方形的面积.

【详解】解：：正方形PQE。的面积等于225,

即「。2=225,

:正方形PRGP的面积为289,

；.PR2=289,

又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2,

：.QR2=pR2-p°2=289-225=64,

则正方形QMNR的面积为64.

故答案为64.

【点睛】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式.勾股定理最大的贡献就是沟通“数”

与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量

关系的问题来解决.能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键.

14.4.55

【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可.

【详解】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：

尤2+32=(10-X)2,

解得：x=4.55,

答：折断处离地面4.55尺.

故答案为：4.55.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意正确应用勾股定理列出等

答案第6页，共16页

式进行求解.

15.2^11/—713

1313

【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面

积公式即可得到结论.

【详解】解：由勾股定理得：==屈，

%4M=3x3-ixlx2——xlx3——x2x3=3.5,

we222

17

.\-ACBD=-,

22

V13BD=7,

，如"

13

故答案为：迈.

13

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

16.(1)14^;

a

⑵“

【分析】(1)直接利用二次根式的性质分别化简，合并同类二次根式即可得出答案；

(2)根据二次根式的乘除法则，然后转化为整式的乘除运算即可求解；

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】(1)解：原式=4百-2石+12',

=144;

(2)解：原式二^^外办工型，

32Va3

=lx-x—44a2,

32

11

=lx—x—x2a,

32

_a

答案第7页，共16页

G3+岳3-713

⑷玉=——-——，X2=—-——•

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）先把方程化成一般式尤2一3元-1=0,然后利用公式法求解即可；

本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程.

【详解】（1）解：2X2+3X-1=0

2JA

XH---X=—,

22

3,3丫19

%2+-%+-=一+——，

2⑷216

14J16

34后

44

37173717

144244

(2)2X2-1=X2+3X,

x?—3x-1=0,

A=(-3)2-4xlx(-l)=13>0,

.♦•方程有两个不相等的实数根，

.3±岳3±713

**X——,

2x12

・3+V133-A/13

,*Xi-，XQ一•

22

18.他应该往回收线0.8米

【分析】根据勾股定理求出8c=5,则。G=CD-CG=3,再根据勾股定理求出

BG=372»4.23，即可求解.

【详解】解：由图可知，AB1.AE,DELAE,BDLEC,

可得：ZBAE=ZAED=Z.BDE=90°

四边形ABDE为矩形，

/.AB=DE,

'：AB=1.7,

答案第8页，共16页

DE=1.1,

'：CE=5.7,

ACD=CE-DE=5.7-1.7=4(米)，

在RtBCD中，BC~=BD*2+CD2=32+42=25,

BC=5,

又：CG=\,

：.DG=CD-CG=4-1=3,

.•.在中，BG2=BD2+GD2=32+32=18.

/.BG=V18=3A/2»3x1.41=4.23,

应该收线BC-BG=5-4.23=0.77~0.8(米),

答：他应该往回收线0.8米.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握直角三角形两直

角边平方和等于斜边平方，矩形对边相等.

19.(1)1+---,1—

7856

(2)/1+4■+—r=1+-———=1+1

rr(n+1)2n〃+1

呜

【分析】（1）根据等式的规律填空即可求解;

（2）根据前几个式子的规律，写出第〃个式子即可求解.

(3)根据(2)的规律进行计算即可求解.

【详解】⑴解：可［=1+:「以

故答案为：1+；-g1〉

r~11~11.1

(2)ft5-1+—r+-------7=1+-----------=1+--------

V〃(n+1)n〃+1n(n+l)

1

故答案为:=1+----=1+

n〃+1+1)

答案第9页，共16页

8211,1191

（3）解:H—7-------=]­!------------=

811009210291090

【点睛】本题考查了二次根式的化简，找到规律是解题的关键.

20.（1）OW=3米，33'=10米

⑵①消防车在A处离楼房的距离为8m；②消防车两次救援移动的距离约为3.6m

【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，再根据题中图形，可得云梯的长为8日

的长.

（2）①根据题意，可得AD的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在A处离楼房的距离.②

根据题意，可得笈。的长，再根据勾股定理，可得到8。的长，然后根据=即

可算出消防车两次救援移动的距离.

【详解】（1）根据题意，可得消防车的高为DM的长，

ZW=3m；

根据题中图形，可得云梯的长为38的长，

故答案为：3；10.

（2）①由题意得DM=3m,A4'=10m,AM=9m,

AD=AM-DM=9-3=6（m）,

在Rt^AA'D中，=y/AA'2-A'D2=V102-62=8（m）,

即消防车在A处离楼房的距离为8m；

②由题意得DM=3m,BB'—10m,B'M=12m,

B'D=B'M-DM=12-3=9（m）

在Rf85'。中，

BD=^BB'1-B'D1=V102-92=V19~4.36（m）,

/.AB=AD-BD=8-4.36~3.6（m）.

即消防车两次救援移动的距离约为3.6m.

【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的

关键.

答案第10页，共16页

21.见解析

【分析】利用分类讨论：(1)若相W1,由A=4(>n+1)2-4(加-1)冽=12m+4,根据A判断方

程根的情况；(2)若m=1,方程为4x+l=0,方程有1个实数根.

【详解】解：(1)若加由A=4(>n+1)2—4(加一1)m=12根+4,

当相=一；时，A=o,方程有两个相等的实数根；

当机>-；且〃7¥1时，A>0,方程有两个不相等的实数根；

当机时，A<0,没有实数根；

(2)若机=1,方程为4x+l=0,有一个实数根.

【点睛】本题主要考查了方程解的情况，关键是分类讨论思想以及根的判别式的应用.

22.(1)选择豆豆(或乐琪)同学的证明方法，证明见解析；(2)见解析；(3)2+6

【分析】(1)选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明△ABDgAEB。得出△即C是等腰

直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明△AZ才是等腰直角三角形，即

可得证；

(2)延长A3到点E,使血=3。，连接CE,延长C8证明进而根据等腰

直角三角形的性质得出AC=AE,进而根据勾股定理即可得证；

(3)将ABC沿BC折叠得到EBC,得出0,3,E三点共线，△(7££)是等腰直角三角形，

则CE=£D=3E+3r),延长助交8于点尸，过点尸作PGJ_3D于点G,贝|DPG是等

腰直角三角形，FG=DG,证明AbWAC3得出AB=AF,根据含30度角的直角三角形

的性质，勾股定理求得3G=6,进而得出DE=2+0,即可求解.

【详解】(1)选择豆豆同学的证明方法

证明：,；BE=AB,3。平分/ABC,则NABr>=N£BL>,BD=BD,

△ARD^/\ERD,

：.ZBED=ZA=90°,AD=ED,

,?ZC=45°,

ZEDC=45°,

：.ED=EC,

BC=BE+EC,

答案第11页，共16页

BC=AB+AD；

乐琪同学的证明方法

证明：•;BF=BC,30平分/ABC,则/FBD=NCBD,BD=BD,

：.LBDF四/\BDC,

：.BC=BF,ZC=ZF=45°,

9

：ZBAD=9Q°f

ZADF=ZF=45°,

AF=AD,

AB+AD=AB+AF=BF,

DC

(2)证明：延长A3到点E,使BE=BD,连接CE,延长CB,

•・•ZABD+2ZABC=180°,

又ZABD+ZDBE=180°,

:.ZDBE=2ZABC,

•・•ZABC=/EBF,

:・ZDBF=/EBF,

：./CBD=/EBC,

VBC=BC,BD=BE,

：.ACBD^ACBE,

：.ZE=ZD=45°,CE=CD,

•・•ZA=90°,

NACE=45。，

答案第12页，共16页

AC^AE

"：ZA=90°,

，AC2+AE2=CE2,

/.CE2=2AE2,

•*-CE=也AE，

CD=y/2（AB+BD）,

及BD+拒AB=CD.

(3)如图所示，将ABC沿3C折叠得到EBC,

NEBC=ZABC,

'：ZABD+2ZABC=180°,

Z.EBD=2ZABC+ZABD=180°,

•••三点共线，

VZE=ZA=90°,ZD=45°,

是等腰直角三角形，

CE=ED=BE+BD,

如图所示，延长54交8于点尸，过点尸作于点G,贝ikDFG是等腰直角三角形,

FG=DG,

答案第13页，共16页

D

ZABD=30°,贝i|ZABC=1(180°-30°)=75°,贝!|ZBCE=ZBCA=15°,

ZFCA=ZDCE-ZCAB-ZEAB=45°-15°-15°=15°,

ZFCA=ZBCA,

CA±AB,

：.ZCAF=ZCAB=90°,

又AC=AC,

ACF^ACB,

：.AB=AF=1,贝|EB=2AB=2,

在RtaFGB中,FG=-FB=1,则FG=DG=1,