2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章 集合 知识梳理+专项训练

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

【考试要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或生表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合2中的元素,

就称集合A为集合8的子集，记作集(或83A).

(2)真子集：如果集合AC8,但存在元素尤e3,且挺4,就称集合A是集合2的真子集，记

作A2(或BA).

(3)相等：若且些4则A=A

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

表示

运小\集合语言图形语言记法

并集{正£4或x£5}GE)

交集{xlxGA,且xGB})

补集且x住A}r®

【常用结论】

1.若集合A有个元素，则集合A有2"个子集，2"—1个真子集.

2.AUB=AOB^A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)集合{xeN*=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2){x\y=x2+1}={y\y^x2+1}={(x,y)|y=f+i}.(X)

(3)若1e{/,尤},则x=-l或x=l.(X)

(4)对任意集合A,B,都有(AC8)£(AUB).(V)

【教材改编题】

1.(2022・新高考全国H)已知集合4={—1,1,2,4},8={x||x—则AC8等于()

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1.4}

答案B

解析由|尤一1|W1,得一IWX-IWI,解得04W2,所以8={x|04W2},所以ACB={1,2},

故选B.

2.下列集合与集合人={2022,1}相等的是()

A.(1,2022)

B.{(x,y)\x=2022,y=l}

C.{4?—2023x+2022=0}

D.{(2022,1)}

答案C

解析(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；

集合{(尤，y)|尤=2022,>=1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；

{x*—2023尤+2022=0}={2022,1}=A,故C符合题意；

集合{（2022』）}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意.

3.设全集U=R,集合A={x|—lW尤<3},2={尤|2无一4、无一2},则AU2=,UAAB）

答案{x|x>一1}{尤|x<2或尤23}

解析因为A={x|—lWx<3},8={x|2x—42x—2}={Rx》2},

所以AUB={4x>一l},AnB={x|2Wx<3}置

[u(AC2)={尤I尤<2或x、3}.

■探究核心题型

题型一集合的含义与表示

例1（1）（2022.衡水模拟）设集合A={（x,y）\y=x],B={（x,y）|y=/},则集合ACB的元素

个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如图，函数y=x与的图象有两个交点，

故集合AC2有两个元素.

（2）已知集合4={1,a-2,若一1GA,则实数a的值为（）

A.1B.1或0

C.0D.-1或0

答案C

解析1GA,

若a—2=—1,即。=1时，A={1,—1,—1},不符合集合元素的互异性；

若6?一.-1=—1,即。=1（舍去）或。=0时，

A={1,-2,—1）,

故a=0.

思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限

制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1（1）（多选）若集合M={x|x—2<0,xGN},则下列四个命题中，错误的命题是（）

A.OiMB.{0}EM

C.{1}£MD.

答案ABD

解析对于A,因为M={x|x-2<0,无GN},所以OGM,所以A错误；

对于B,因为{0}是集合，且Oe〃，所以{0}UM,所以B错误；

对于C,因为ie〃，所以所以C正确；

对于D,因为1是元素，1GM,所以D错误.

(2)(2023•聊城模拟)已知集合4={0,1,2},B^{ab\a^A,b^A],则集合B中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为A={0,l,2},a^A,b^A,

所以ab—O或ab—1或ab—2或ab=4,

故6GA}={01,2,4},

即集合8中含有4个元素.

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2022•宜春质检)已知集合4={刃>=111(》一2)},8={x|龙》一3},则下列结论正确的是

()

A.A=BB.AAB=0

C.ABD.B^A

答案C

解析由题设，可得A={x|x>2},

又8={小》一3},

所以A是8的真子集，

故A,B,D错误，C正确.

(2)设集合A={无|—K+1W2},8={x|mTWxW2%+l},当xGZ时，集合A的真子集有

个；当BCA时，实数机的取值范围是.

答案15(—8,-2)U[-l,0]

解析A={x|-2W尤W1},

若x^Z,则4={-2,—1,0,1),

故集合A的真子集有24—1=15(个).

由

得①若B—0,则2/W+1<MI—1,即—2,

2m+l^m—1,

②若BW0,贝小2机+1W1,

m-12—2,

解得一lWffiWO,

综上，实数加的取值范围是（一8,-2）U[-l,0].

思维升华（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2（1）（多选）已知非空集合M满足：①2,—1,1,234},②若贝GM.

则集合〃可能是（）

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4）

C.{1}D.{1,-2,2）

答案AC

解析由题意可知3书0且而一2或2与4同时出现，

所以一2电W且2庄

所以满足条件的非空集合M有{—1,1},{1}.

（2）函数2尤一3的定义域为A,集合2={尤|—a},若则实数。的

取值范围是.

答案（一8,-3]U[5,+°°）

解析由x2—2x—320,得x23或—1,

即A={x|x23或xW-1）.

显然B丰0,

•*.4—aW—1或一a23,

解得a25或a《一3,

故实数a的取值范围是（一8,—3]U[5,+°°）.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3（1）（2021•全国乙卷）己知集合5="k=2"+1,nez},T={中=4a+l,n^Z],贝USAT

等于（）

A.0B.SC.TD.Z

答案C

解析方法一在集合T中，令n=k*GZ),贝ijr=4"+l=2(2©+l/ez),而集合S中，s

=2〃+l(〃ez),所以必有TCS,所以SCIT=T.

方法二S={…，-3,—1,1,3,5,…},T={…，-3,1,5,…},观察可知，TNS,所以SCT

=T.

(2)设全集U=R,A={x|-2Wx<4},B={x|y=d羊},则图中阴影部分表示的集合为()

A.-2}B.{x\x>12}

C.{x|%24}D.{4xW4}

答案C

解析观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于5而不属于A的元素构成，所以阴影部分

表示的集合为

VA={x|-2^x<4},U=R,

CuA={尤|尤<—2或xN4},

又B={x|y=、x+2}08={耳尤》一2},

.•.([uA)CB={x|x24}.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2023•衡水模拟)己知集合4={尤仅=111(1一%2)}，B={xpWa},若([R4)UB=R,则实数

a的取值范围为()

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(—8,1)D.(-8,1]

答案B

解析由题可知A={x|y=ln(l—/)}={x[-

[RA={X|XW―1或无21},

所以由([RA)UB=R,得心1.

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(2022.全国甲卷)设全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合A={T,2},”{小2

-4x+3=0},则[MAU8)等于()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

答案D

解析由题意得集合8={1,3},所以AUB={-1,1,2,3},

所以[u(AUB)={-2,0}.故选D.

(2)(2023•驻马店模拟)已知集合4={尤|(了一1)。-4)<0},B—[x\x>a],若AUB={x|尤>1},则。

的取值范围是()

A.[1,4)B.(1,4)

C.[4,+8)D.(4,+8)

答案A

解析由题意可得A={x[l<x<4}.

因为AUB={x|x>l),

所以lWa<4.

题型四集合的新定义问题

例5(1)(多选)当一个非空数集尸满足条件“若a,bWF,则a-b,ab^F,且当bWO

时，月GF”时，称歹为一个数域，以下说法正确的是()

A.0是任何数域的元素

B.若数域尸有非零元素，则2023GF

C.集合尸={x|x=3G,AGZ}为数域

D.有理数集为数域

答案ABD

解析对于A,若ad尸,则。一。=06尸，故A正确；

对于B,若ad尸且。W0,则1=?GF，2=1+1GF,3=1+2£F,依此类推，可得2023G居

故B正确；

对于C,尸={小=34，kJZ],3RP,6RP,但6P,故尸不是数域，故C错误；

对于D,若a,b是两个有理数，则a+b,a-b,ab,?bWO)都是有理数，所以有理数集是

数域，故D正确.

(2)已知集合〃={1,2,3,4},A^M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且

规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A

的累积值为n.

①若〃=3,则这样的集合A共有个；

②若n为偶数，则这样的集合A共有个.

答案213

解析①若〃=3,据“累积值”的定义得4={3}或4={1,3},这样的集合A共有2个；

②因为集合M的子集共有24=16(个)，

其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3},共3个，

所以“累积值”为偶数的集合共有13个.

思维升华解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义

和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

跟踪训练4设集合［7={2,3,4},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非

空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越

大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，

依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是.

答案{2,4}

解析根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：0,{2},{3},{4},{2,3},

{2,4},{3,4},{2,3,4}.

故排在第6位的子集为{2,4}.

课时精练

应基础保分练

1.（2022•全国乙卷）设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足［加={1,3},则（）

A.2£AfB.3GM

C.4WD.5W

答案A

解析由题意知知={2,4,5},故选A.

2.设集合A={XGN*|2X<4},B={xeN|-l<x<2},则AUB等于（）

A.{x|—l<x<2}B.{x\x<2}

C.{0,1}D.{1}

答案c

解析由2y4可得x<2,

则A={XGN*|2*<4}={1},

B={xeN|-l<x<2}={0,l},

所以AUB={0,l}.

3.（2022・娄底质检）集合M={（无，y）|2x—y=0},N={（x,y）|尤+y—3=0},则MCN等于（）

A.{（2,-1）}B.{2,-1}

C.{（1,2）}D.{1,2}

答案C

2x—y=0,

解析联立

x+y—3=0,

\x=l,

解得c则MCN={(1,2)}.

〔y=2,

4.(2023・南京模拟)已知集合人二国/—6x—7<0},B=[y\y=Y,x<l),则AC([RB)等于()

A.[3,7)B.(-l,0]U[3,7)

C.[7,+8)D.(-8,-1)U[7,+8)

答案B

解析4={x|f—6x—7<0}=(-1,7),

3=皿=3。x<l}=(0,3),

所以[R8=(-8,0]U[3,+0°),

所以AC([R8)=(-l,0]U[3,7).

5.(2022•海南模拟)已知集合4={木2<1},集合8={x|xGZ且无+1GA},则8等于()

A.{-1,0,1}B.{-2,11,0}

C.{-2,—1,0,1}D.{12,—1,0,1,2}

答案B

解析因为集合A={x|/Wl},

所以A={尤|—IWxWl},

在集合8中，由x+lGA,得一1WX+1W1,即一2WxW0,又xGZ,所以x=—2,—1,0,

即8={—2,-1,0}.

6.(2022・怀仁模拟)已知集合4={加<%<2},B^{x\x>m],若AC([R8)=0,则实数机的取

值范围为()

A.(―0°,1]B.(―0°,1)

C.[1,+8)D.(1,+8)

答案A

解析由题知AC（[RB）=0,得则mWL

7.（多选）已知集合4={1,3,m2},B={1,m}.若AUB=A,则实数机的值为（）

A.0B.1C.2D.3

答案AD

解析因为AUB=A,所以BGA

因为A={1,3,m2},B={1,m],

所以92=机或机=3,解得m=0或机=1或m=3.

当机=0时，A={1,3,0},B={l,0},符合题意；

当机=1时，集合A、集合8均不满足集合元素的互异性，不符合题意;

当m=3时,A={1,3,9},2={1,3},符合题意.

综上，m—0或3.

8.（多选）已知全集U的两个非空真子集A,8满足（［:以）U2=3,则下列关系一定正确的是

（）

A.AHB=0B.AHB=B

C.AU8=UD.（Ci/B）UA=A

答案CD

解析令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足（［以）UB=B,但ACB#。，AQB^B,

故A,B均不正确；

由（［uA）UB=B,知［必£8,

.•.U=AU（［uA）q（AUB）,：.AUB=U,

由［以匹8,知［/

毋）UA=A,故C,D均正确.

9.（2023•金华模拟）已知集合U={123,4,5,6},S={1,3,5},9={2,3,6},则SA（（"）=,

集合S共有个子集.

答案{1,5}8

解析由题意可得［”={1,4,5},

则SC（［M={1,5}.

集合S的子集有23个，即8个.

10.（2023•石家庄模拟）已知全集U=R,集合M={xGZ||x-l|<3},N={-4,一2,0,1,5},则

Venn图中阴影部分的集合为.

答案{-1,2,3)

解析集合M={xeZ||x—l|<3}={xeZ|—3<x—l<3}={xeZ|—2<x<4}={—l,0,l,2,3},

则Venn图中阴影部分表示的集合是MH([RN)={—1,2,3}.

11.已知集合A={x|x2+无-6=0},B={Rmx+l=0},且AUB=A,则m的值可能是

答案0,—|

解析由f+x—6=0,得％=2或x=—3,

所以A=[X\J^+X—6=0]={—3,2},

因为AU5=A,所以BCA,

当3=0时，5GA成立，此时方程7m:+1=0无解，得根=0；

当8W0时，得机WO,则集合8={汹如+1=0}=(一而>

因为所以一2=-3或一工=2,

mm

解得机=1■或m=一；,

综上，772=0,机=§或机=一；.

12.已知集合4={尤|(*+3)(无一3)W0},8={x|2m—3WxWs+l}.当加=—1时，则AUB=

;若4口8=2,则根的取值范围为.

答案[-5,3][0,2]U(4,+8)

解析A={尤3WxW3},

当m=~l时，8={x|—5WxW0},

此时AUB=[—5,3].

由AC8=B可知BCA.

若B—0,则2m—3>w+1解得m>4；

’2机—3W机+1,

若BW0,贝N〃Z+1W3,解得0WMW2,

、2机一3》一3,

综上所述，实数机的取值范围为[0,2]U(4,+8).

立综合提升练

13.(多选)已知全集U={xGN|log2X<3},A={1,2,3},[况4AB)={1,2,4,5,6,7},则集合8可

能为()

A.{2,3,4}B.{3,4,5}

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

答案BD

解析由log2X<3得0<x<23,即0<%<8,于是得全集U={1,2,345,6,7},

因为[MAC3)={1,24,5,6,7},则有ACB={3},3eB,C不正确;

若8={2,3,4},则AA8={2,3},[火4C8)={1,4,5,6,7},矛盾，A不正确；

若8={3,4,5},则ACB={3},[°(AA8)={1,2,4,5,6,7},B正确；

若B={3,5,6},则AAB={3},[u(AA8)={1,2,4,5,6,7},D正确.

14.某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有

180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二

天没参加活动的有人,这三天参加活动的最少有人.

答案160290

解析根据题意画出Venn图，如图所示,

190

a表示只参加第一天的人，

6表示只参加第二天的人，

c表示只参加第三天的人，

d表示只参加第一天与第二天的人，

e表示只参加第一天与第三天的人，

丁表示只参加第二天与第三天的人，

g表示三天都参加的人，

，要使总人数最少，则令g最大，其次1,e,/也尽量大，d+g=30,f+g=40,

.,.a+e=160,即第一天参加但第二天没参加的有160人，

•'•gmax=30,d=0,/=10,a+d+g+e=190,

：.c+e=]40,

••£max=140,.'.c=0,〃=20,

则这三天参加活动的最少有a+b+c~\——Fg=20+90+0+0+140+10+30=290（人）.

展冲刺练

15.（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用