第24章圆单元测试卷2023-2024学年沪科版九年级数学下册

沪科版九年级数学下册第24章圆单元测试卷一、单选题1．平面直角坐标系内与点P(-1，2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2，-1) B．(-1，-2) C．(-2，-1) D．(1，-2)2．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）3．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则弧的展直长度为（）A．3π B．6π C．9π D．12π4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．用直角三角板检查半圆形的工件，合格的是（）A． B．C． D．6．下列说法错误的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．相等的圆周角所对的弧不一定相等C．垂直于半径的直线是圆的切线D．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似7．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（）A．42° B．40° C．38° D．36°8．下列条件，可以画出圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点 D．已知直径9．如果一个扇形的弧长等于它的半径的倍，那么此扇形称为“优雅扇形”，则半径为2的“优雅扇形”的面积为（）A．π B． C．π D．210．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）A．1 B． C． D．二、填空题11．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12πcm，则此扇形的圆心角等于°.12．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C=．13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．（1）的长等于；（2）M是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点N在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．14．如图，在正方形ABCD中，AE平分，交BC于点E，过点C作，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．则有①；②连接DG，则；③连接BG、BD，则BG平分；④连接DG交AC于点M，；则以上结论正确的有：（填序号）．三、解答题15．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，求AB的长.16．如图，在平面直角坐标系中，以原点О为圆心，3为半径作圆，直线y=mx-m+2与О相交于A，B两点，求弦AB的最小长度.17．如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.（1）求证：CF=BF（2）若CD=6，CA=8，求AE的长四、综合题19．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动（1）求图①中∠APB的度数（2）图②中∠APB的度数是，图③中∠APB的度数是（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是20．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D.（1）求证：AC是⊙D的切线.（2）设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.①当∠BAD=时，四边形BDEF为菱形；②当AB=时，△CDE为等腰三角形.22．如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长.23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC为直径作交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是的切线；（2）若CF=2，DF=4，求直径的长．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：点P（-1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，-2）.故答案为：D.

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y），所以点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），故答案为：C．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数进行解答即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：的展直长度为：=6π（m）．【分析】题中告知了弧所在扇形的圆心角的度数，扇形的半径，由弧长公式l=即可直接算出答案。4．【答案】C【解析】【解答】图1是中心对称图形，图2既是轴对称图形又是中心对称图形，图3既是轴对称图形又是中心对称图形，图4是轴对称图形；故答案为：C．【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。把一个图形绕着某一点旋转180后能与自身重合的图形就是中心对称图形。5．【答案】B【解析】【解答】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有B不符合题意，其他都不正确；故答案为：B．【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径，观察各选项的图形，可得出合格的工件。6．【答案】C【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故A选项错误；B、如果两圆是同心圆，两个圆上的圆周角相等，但是它所对的弧不相等，正确，故B选项错误；C、当垂足不是半径的外端点时，就不是圆的切线，错误，故C选项正确；D、根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可推出两直角三角形相似，正确，故D选项错误；故选C．【分析】根据正方形的判定，圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定逐个进行判定，即可得出答案．7．【答案】A【解析】【解答】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=24°，∴∠B=90°−∠BAC=90°−24°=66°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，又∵∠CDB+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDB=66°，∴∠DCA=∠CDB−∠A=66°−24°=42°.故答案为：A.【分析】先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，根据圆内接四边形的对角互补及三角形的外角性质可求得答案.8．【答案】C【解析】【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．故选C．【分析】已知不在一条直线上的三点就可以作出圆的圆心和半径，就可以作出唯一的圆9．【答案】D【解析】【解答】解：∵S＝lr，∴S＝×2××2＝2.故答案为：D.【分析】根据扇形的面积公式S=lr进行计算即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，

分别连接AO，OB，OC，

∴OA=OB=OC=2，

∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，

∴∠1=∠2=30°，

又∵OC⊥AD与点D，

∴∠3=30°，

∴OD=DC=1，AD=，

∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=-1，

∴阴影部分的面积为：8××（-1）²=4×（3-2+1）=16-8.

故答案为：C.

【分析】“割圆术”将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，所以只需要求出一个等腰直角三角形的直角边即可解决问题.先根据十二等分求出一等分的圆心角，从而求出∠3的度数为30°，在直角三角形ODA中求解AE，最后根据三角形面积公式计算出整个阴影部分的面积即可.11．【答案】120【解析】【解答】根据弧长的公式得：.故答案是：120.【分析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可.12．【答案】80°【解析】【解答】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．13．【答案】（1）（2）取格点D，连接并延长，与圆相交于点E，连接；取格点F，G，连接与网格线相交于点H，连接与圆相交于点I，连接与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求【解析】【解答】解：(1)，故答案为：，(2)由题意可知，CP=3MN，当CP为直径时，MN最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点D，以BD、AB为斜边的两个网格直角三角形全等，可得∠ABE=90°，AE为直径，同理，以BC、CH为斜边的两个直角三角形相似，可得∠BCI=90°，BI为直径，所以，O为圆心，此时，CP最大；故答案为：取格点D，连接并延长，与圆相交于点E，连接；取格点F，G，连接与网格线相交于点H，连接与圆相交于点I，连接与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求．【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；

（2）取格点D，连接并延长，与圆相交于点E，连接；取格点F，G，连接与网格线相交于点H，连接与圆相交于点I，连接与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求.14．【答案】①②③【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

在和中

∠EAB=∠FCBAB=BC∠ABE=∠CBF

∴

∴则①正确，

②连接DG，如图，

∵

∴点A、D、C、G四点共圆，

∴则②正确，

③∵四边形ABCD为正方形，

∴

∵AE平分∠CAB，

∴

在和中

∠CAG=∠FAGAG=AG∠AGC=∠AGF

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴BG平分，则③正确，

④连接BG，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴

∴

∵

∴

在和中

DC=AB∠DCG=∠ABGCG=BG

∴

∴

∴

∵

∴

∴则④错误，

综上所述，正确的说法有①②③，故答案为：①②③.【分析】由正方形的性质得到：然后根据直角三角形的两锐角互余的关系得到：进而利用"ASA"证明即可判断①；根据题意得到点A、D、C、G四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等即可判断②；根据正方形的性质和角平分线的定义得到：进而利用"ASA"证明得到然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：饥饿难忍根据角的运算即可求解；连接BG，根据正方形的性质得到：即根据角的和差得到：进而利用"SAS"证明得到：推出进而即可求解.15．【答案】解：连接OA、OB，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=45°，∵直径CD垂直于弦AB，∴，∴∠AOB=90°，又∵OA=3，∴AB=3cm．【解析】【分析】利用圆周角定理及已知求出∠AOD的度数，再根据垂径定理可得出∠AOB=90°，然后利用勾股定理求出AB的长。16．【答案】解：如图，

∵直线y=mx-m+2必过点D（1，2），

∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（1，2），

∴OD=，

∵⊙O的半径为3，

∴OA=3，

∴AD==2，

∴AB=2AD=4，

∴AB的长的最小值为4.【解析】【分析】根据题意得出直线y=mx-m+2必过点D（1，2），求出最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，求出OD的长，再利用勾股定理求出AD，从而得出AB的长，即可得出答案．17．【答案】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x，其内切圆的半径为r，根据勾股定理，即，解方程得，∴BD=，∵圆是的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∴S△ABC=，∴，∴．【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x，根据勾股定理求出x值，即得AD，利用勾股定理求出BD，根据△ABC的面积=AC·BD=（AB+BC+AC）·r，即可求解.18．【答案】（1）证明：AB是⊙O的直径C是的中点（2）解：C是的中点BC=CD=6在Rt△ABC中，由勾股定理得在Rt△ACE中，AE=.【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余，借助同角的余角相等可得∠CAB=∠BCE，再根据等弧或同弧所对的圆周角相等∠DBC=∠CDB=∠CAB，故有∠BCE=∠DBC，从而得CF=BF；

（2）根据同圆或等圆中等弧对等弦可知BC=CD=6，利用勾股定理可得AB=10，借助面积法可求出CE，再根据勾股定理即可得到AE的长。19．【答案】（1）解：∵△ABC是正三角形∴∠ABC＝60°∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动∴∠BAM＝∠CBN∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°∴∠APB＝180°﹣∠APN＝180°﹣60°=120°（2）90°；72°（3）【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝90°，∴∠APB＝180°-∠APN＝180°-90°=90°；

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠ABC＝108°，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝108°，∴∠APB＝180°-∠APN＝180°-108°=72°，

故答案为：90°；72°；

（3）∵∠ABC是正n边形的一个内角，

∴∠ABC＝，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝，∴∠APB＝180°-∠APN＝180°-=，

故答案为：.【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，再由等速运动得出∠BAM＝∠CBN，再利用外角的性质得出∠APN=∠ABN+∠BAM，代换得出∠APN=∠ABC=60°，再利用∠APB＝180°-∠APN即可得出∠APB=120°；

（2）和（1）同理可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，再利用∠APB＝180°-∠APN即可得出答案；

（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于正多边形的一个内角的度数，再利用∠APB＝180°-∠APN即可得出答案.20．【答案】（1）解：∵AD是小圆的切线，M为切点，∴OM⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴ON⊥BC，∴N是BC的中点（2）解：延长ON交大圆于点E，连接OB，∵圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，∴EN=6﹣5=1cm，∴ME=6cm，∵BC=10cm，N是BC的中点，∴BN=5cm，在Rt△OBN中，设OM=r，OB2=BN2+（OM+MN）2，即（r+6）2=52+（r+5）2，解得r=7（cm），故小圆半径为7cm．【解析】【分析】（1）由AD是小圆的切线可知OM⊥AD，再由四边形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂径定理即可得出结论；（2）延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的长．21．【答案】（1）证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；（2）30°；+1【解析】【解答】解：①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴DC=设AB=x，则AE=x∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+∴，解得x=+1∴当AB=+1时，△CDE为等腰三角形.

故答案为：30°，+1.【分析】(1)作DE⊥AC于M，由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；

（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.22．【答案】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠