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文档简介

2023-2024学年河北省巨鹿县第二中学高三第四次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()A. B. C. D.2.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.3.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.4.已知复数满足:(为虚数单位),则()A. B. C. D.5.若直线经过抛物线的焦点,则()A. B. C.2 D.6.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.7.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()A. B.C. D.8.若,则()A. B. C. D.9.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.10.已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是()A., B.,C., D.,11.设命题函数在上递增,命题在中,,下列为真命题的是()A. B. C. D.12.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在△ABC中,E为边AC上一点,且,P为BE上一点,且满足,则的最小值为______.14.如图所示,点,B均在抛物线上,等腰直角的斜边为BC,点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标是________.15.有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则对应的排法有______种;______;16.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.18.(12分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.19.(12分)如图,己知圆和双曲线,记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、,又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.(1)若,且恰为的左焦点,求的两条渐近线的方程;(2)若,且,求实数的值;(3)若恰为的左焦点,求证:在轴上不存在这样的点,使得.20.(12分)已知函数,.(1)若曲线在点处的切线方程为,求,;(2)当时,,求实数的取值范围.21.(12分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,点Q为AE的中点.(1)求证:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC与平面DQF所成角的正弦值.22.(10分)已知函数(),是的导数.(1)当时,令,为的导数.证明:在区间存在唯一的极小值点;(2)已知函数在上单调递减,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.【详解】由程序框图的运行,可得:S=0,i=0满足判断框内的条件,执行循环体,a=1,S=1,i=1满足判断框内的条件,执行循环体,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2满足判断框内的条件,执行循环体,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…观察规律可知:满足判断框内的条件,执行循环体,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此时,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出S的值,所以判断框中的条件应是i<1.故选:A.【点睛】本题考查了当型循环结构,当型循环是先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件时算法结束,属于基础题.2、D【解析】

选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.3、D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.4、A【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则,所以.故选:A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.5、B【解析】

计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.【详解】可化为,焦点坐标为,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线的焦点,属于简单题.6、B【解析】

设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.7、A【解析】

由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率:,(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则所以,,故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题.8、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.【详解】∵,∴,故选D【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.9、B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.10、D【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D.【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.11、C【解析】

命题:函数在上单调递减,即可判断出真假.命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解:命题:函数,所以,当时,,即函数在上单调递减,因此是假命题.命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题.则下列命题为真命题的是.故选:C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12、D【解析】

设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.【点睛】本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:根据题意有,因为三点共线,所以有,从而有,所以的最小值是.考点:向量的运算,基本不等式.【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题,属于中档题目,在解题的过程中,关键步骤在于对题中条件的转化,根据三点共线,结合向量的性质可知,从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值,求分式形式和的最值的问题,两式乘积,最后应用基本不等式求得结果,最后再加,得出最后的答案.14、【解析】

设出两点的坐标,结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程,解方程求得的坐标.【详解】设,由于在抛物线上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化为,可得,所以,解得,则.所以.故答案为:【点睛】本题考查抛物线的方程和运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.15、36;1.【解析】

的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.分别求出,,,,由此能求出.【详解】解:有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.∴对应的排法有36种;,,,,∴故答案为:36;1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用,离散型随机变量的分布列以及数学期望,属于中档题.16、【解析】

分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.【点睛】本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)根据题意,设直线方程为,联立方程,根据抛物线的定义即可得到结论;(2)根据题意,设的方程为,联立方程得,同理可得,进而得到,再利用点差法得直线的斜率,利用切线与导数的关系得直线的斜率,进而可得与互补.【详解】(1)由题意设直线的方程为,令、,联立,得,根据抛物线的定义得,又,故所求抛物线方程为.(2)依题意,设,,设的方程为,与联立消去得,,同理,直线的斜率=切线的斜率,由,即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,直线斜率的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.18、(1);(2)存在,当时,以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.【解析】

(1)设椭圆的焦半距为,利用离心率为,椭圆的长轴长为1.列出方程组求解,推出,即可得到椭圆的方程.(2)存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点.设点,,,,将直线的方程代入,化简,利用韦达定理,结合向量的数量积为0,转化为:.求解即可.【详解】解:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得,解得,所以,故所求椭圆C的方程为(2)存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下:设点,,将直线的方程代入,并整理,得.(*)则,因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O,所以,即.又,于是,解得,经检验知:此时(*)式的,符合题意.所以当时,以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O【点睛】本题考查椭圆方程的求法,椭圆的简单性质,直线与椭圆位置关系的综合应用,考查计算能力以及转化思想的应用,属于中档题.19、(1);(2);(2)见解析.【解析】

(1)由圆的方程求出点坐标,得双曲线的,再计算出后可得渐近线方程;(2)设,由圆方程与双曲线方程联立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐标,计算;(3)由已知得,设,由圆方程与双曲线方程联立,消去后整理,可解得,,求出,从而可得,由,可知满足要求的点不存在.【详解】(1)由题意圆方程为,令得,∴,即,∴,,∴渐近线方程为.(2)由(1)圆方程为,,设,由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)为,即,,代入双曲线方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由题意,,,,,设由得:,,由得,解得,,,所以,,,当且仅当三点共线时,等号成立,∴轴上不存在点,使得.【点睛】本题考查求渐近线方程,考查圆与双曲线相交问题.考查向量的加法运算,本题对学生的运算求解能力要求较高,解题时都是直接求出交点坐标.难度较大,属于困难题.20、(1);(2)【解析】

(1)对函数求导,运用可求得的值,再由在直线上,可求得的值;(2)由已知可得恒成立,构造函数,对函数求导,讨论和0的大小关系,结合单调性求出最大值即可求得的范围.【详解】(1)由题得,因为在点与相切所以,∴(2)由得,令,只需,设(),当时,,在时为增函数,所以,舍;当时,开口向上,对称轴为,,所以在时为增函数,所以,舍;当时,二次函数开口向下,且,所以在时有一个零点,在时,在时,①当即时,在小于零,所以在时为减函数,所以,符合题意;②当即时,在大于零,所以在时为增函数,所以,舍.综上所述:实数的取值范围为【点睛】本题考查函数的导数,利用导数求函数的单调区间及函数的最小值,属于中档题.处理函数单调性问题时,注意利用导函数的正负,特别是已知单调性问题,转化为函数导数恒不小于零,或恒小于零,再分离参数求解,求函数最值时分析好单调性再求极值,从而求出函数最值.21、(1)见解析(2)【解析】

(1)连接交

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