高一数学上学期讲义（人教A版）函数的概念及其表示、分段函数（课时训练）（教师用）

专题02函数的概念及其表示、分段函数

A组基础巩固

【答案】D

【分析】

根据函数定义分析D选项的图象不满足.

【详解】

任作一条垂直于x轴的直线x=a,移动直线，根据函数的定义可知：

此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系.

故选：D

2.（2021•全国高一课时练习）下列可以表示以M={x|O《x41}为定义域，以N={y|0<y41}为值域的函数

图象是（)

【答案】C

【分析】

根据题意，依次分析选项中的图象，综合即可得答案.

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,其对应函数的值域不是'={），|04丫41},A错误；

对于B,图象中存在--部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，8错误;

对于C,其对应函数的定义域为“={x|嗯/1},值域是N={y|O^J，1},C正确;

对于。，图象不满足一个x对应唯一的y,该图象不是函数的图象，。错误;

故选：c.

3.（2020•四川棠湖中学高一月考）若函数/。）=/,1的定义域为R,则实数。的取值范围是（）

•4ax—2ax+2

A.0<a<2B.0<«<2C.0<a<2D.04a<2

【答案】D

【分析】

根据函数的定义域为A,得到不等式以2一2如+2>0恒成立，分。=0和两种情况讨论，结合二次函数

图象的特征得到不等关系求得结果.

【详解】

由题意可知：当xeR时，不等式⑪2—2以+2>0恒成立.

当。=0时，ar2-2ax+2=2>0显然成立，故。=0符合题意；

当awO时，要想当xeR时，不等式-2℃+2>0恒成立，

只需满足”>0且（-24）2-4・夕2<0成立即可，解得：（）<"2,

综上所述：实数。的取值范围是04a<2.

故选：D

【点睛】

该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据函数的定义域为R，求参数的取值范围，在解题的过

程中，•定不要忘记。=0的情况，属于简单题目.

4.(2020•全国高一课时练习)已知函数y=〃x)定义域是[―2,3],则y=/(2x-l)的定义域是()

A.——,2B.[—1,4]C.[—2,3]D.0,—

【答案】A

【分析】

直接由—242x—143可得定义域.

【详解】

由题意—2V2x—1V3,解得—4x42.

2

故选：A.

5.(2021•全国高一单元测试)下列四组函数中，“X)与g(x)表示同一函数是()

A.J(x)=x—l,g(x)=-_-B.〃x)=|x+l|,g(x)={

X+1A—1,X<—L

c.F(x)=l,g(x)=(x+l)°D.f(x)=职,g(x)=(&y

【答案】B

【分析】

根据函数的定义判断各选项.

【详解】

两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，

A选项中，“X)定义域为R,g(x)的定义域为所以二者不是同一函数，所以A错误；

।।fX+1,X—1

8选项中，/(A-)=|x+l|=与g(x)定义域相同，都是R,对应法则也相同，所以二者是同一

I—1—X,X<—1

函数，所以8正确；

C选项中，f(x)定义域为R,g(x)的定义域为=所以二者不是同一函数，所以C错误;

。选项中，/(X)定义域为R,g(x)的定义域为I。,一)，所以二者不是同•函数，所以D错误.

故选：B

【点睛】

本题考查函数的定义，解题关键是确定函数的三要素，只有函数的三要素完全相同，才能是同一函数.

6.(2021•全国高一)设函数“X)为一次函数，且/[/(x)]=4x-3,则/(1)=()

A.3或1B.1C.1或TD.-3或1

【答案】B

【分析】

利用待定系数法设一次函数/(力=奴+/。*0),代入等式求解，求出函数解析式.

【详解】

设一次函数〃x)=ar+b(aHO),

贝ij=a(^ax+b)+b-a2x+ab+b,

.，[f(x)]=4x-3,

.J。』，

[ab+b=-3

(4=2[a=-2

解得/I或1w,

[o=-l[0=3

.1/(x)=2x-l或/(x)=-2x+3,

.•.〃1)=2><1-1=1或〃1)=-2*1+3=1.

故选：B.

【点睛】

此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解.

7.(2019•广东高一课时练习)若函数y=，=2+2—+3的值域为[0,+8),则。的取值范围是

A.(3,+°0)B.[3,+°0)

C.(一8,O]0[3,+8)D.(-8,0)0[3,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0,+8),则函数f(x)=ax?+2ax+3的值域要包括0.即最小值要

小于等于0.

【详解】

由题意：函数y=，加+2'+3是一个复合函数，要使值域为[0，+8),则函数f(x)=ax?+2ax+3的值域要

包括0,即最小值要小于等于0.

a>0(a>0

则有：1c“c

[a-2a+3<0

解得：a>3

所以a的取值范围是[3,+8).

故选：B.

【点睛】

本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题.属于基础题.

8.(2021•全国高一课时练习)已知XN0时，函数/(x)满足则/'(X)的表达式为()

X

A./(x)=x+—(x*0)B./(x)=x2+2(x*0)

x

1,

c.f(x)=x2(x^0)D./(x)=(x——)2(xw0)

X

【答案】B

【分析】

配凑法：把/+」化为关于X-L的表达式，代入即可求解.

XX

【详解】

解：因为/(X)=82*1"—y=(X)2+2,八斤以/(x)=jf2+2(x*()).

XXX

故选：B.

【点睛】

本题考查函数解析式的求解及常用方法.已知y=/(g(x)),求/(X)的解析式，常用换元法或配凑法求解

9.(2021•全国高一课时练习)函数/(力=/+1(()＜》＜2且xeN*)的值域是()

A.{x|x>l}B.{x|x>l}C.{2,3}D.{2,5}

【答案】D

【分析】

根据函数性质及其定义域即可判断值域.

【详解】

解：0<x42且xeN',，x=l或x=2.

.•.41)=2,f(2)=5

故函数的值域为{2,5}.

故选：D.

10.(2021•全国高一课时练习)函数f(x)=J(x>0)的值域为()

x+1

A.(-1.1)

B.[-1.1)

C.(-L1J

D.[-bl]

【答案】A

【分析】

22

先分离常数，再求出-2<-T<0,从而得到即可得到答案.

X+lX+1

【详解】

f(x)=------=1------,由于x>0,0x+1>1,0<----<2,—2<------<0,

x+\x+1x+\x+1

2

于是T<]_W<1,故函数/(x)的值域为(-1,1).

x+1

故选：A.

11.(2021•全国高一课时练习)下列函数中值域为[0,+8)的是()

A.y=4xB.y=--C.y=5x+3D.y=x2+1

x

【答案】A

【分析】

逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案

【详解】

解：对于A,由于且对于任意的》±0/=丫2,所以此函数的值域为［0,+8),符合题意；

对于B,y=-g是反比例函数，图象是位于二、四象限的双曲线，以乂丫轴为渐近线，值域为{x|x*0},不

合题意;

对于C,y=5x+3是一次函数，图象是斜率为5的直线，值域为R,不合题意;

对于D,由于金之0,所以/+121,y=/+l是开口向上的抛物线，最小值是1,没有最大值，此函数的

值域为口,+8）,不合题意，

故选：A

【点睛】

此题考查求具体函数的值域，属于基础题，要注意结合函数的图象和性质求值域.

12.（2021•安徽六安一中高二期末（文））函数/（©=加左斤的定义域为.

【答案】［2,+8）

【详解】

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解:要使函数/（X）有意义,则log^x-lNO,解得xN2,即函数/（x）的定义域为［2,+8）.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

13.（2020•全国高一单元测试）已知函数“X）的定义域为［-2,1］,函数8（力=坐［1,则g（x）的定义域为

v2x—1

【答案】［聂

【分析】

根据/（x）定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.

【详解】

—2<x—1^11（1

由题意得{c［八.•,彳<xK2,即定义域为彳,2

2x-l>0212_

故答案为：（右2

【点睛】

本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14.（2021•全国高一单元测试）函数〃x）=x+万7的值域是.

9-

8

-，4-

_

【分析】

因为〃x）=x+vn,利用换元法，令，=万工（后0）,则x=2-，J（X）=2-r+f,即可求得答案.

【详解】

f（x}=x+\j2-x

令，=:2-工（20）,则工=2-汽

2

y(x)=2-r+z,(^>0)

/(x)=2—r=-+“(/NO)

所以f(x),当r=]1时.，Q取得最小值，

・•・函数f(x)=x+j2-x的值域是.

故答案为：,巴..

4

15.(2020•全国)当XW2时，则卜=》+—^的值域是____________

x-2

【答案】(…,-2][[6,+8)

【分析】

4

首先将函数转化为--2+三+2,再分别讨论x>2和x<2时，利用基本不等式求值域即可.

【详解】

44

因为y=x+----=工-2+----+2,且xw2,

x-2x-2

①当x>2时，x-2>0,4>0

x-2

44

所以y=x—2+——+2>2J(x-2)x——+2=6,

x—2Vx—2

4

当且仅当％-2=-即x=4时，取

x-2

②当x<2时，2-x>0,」一>0,

2-x

44

所以y=x-2+—-+2=-[(2-x)+--]+2,

%—22,-x

S^I(2-x)+-^>2.(2-x)x-^-=4,

2-xV2—x

44

所以-[(2-x)+^—1<-4,即y=-[(2-x)+^—]+2<-2.

2—x2-x

4

当且仅当2-*=；；—,即x=0时，取

2-x

综上所述值域为：(y>,-2]u[6,+8).

故答案为：(Y°，—2][6,+oo)

【点睛】

本题主要考查基本不等式，同时考查了函数的值域问题，属于中档题.

2

16.(2020•全国)函数〃x)=—;•的值域是______.

x-\

【答案】(f,o)5°，叱)

【分析】

根据函数与反比例函数的关系，结合反比例函数的值域，即可求解.

【详解】

函数=工图像是由函数y=4图像向右平移1个单位得到，

x-\X

所以函数/（X）=T值域与函数y=n值域相同为（―,（））5°，”）•

X—1X

故答案为：（YO,0）U（0,大»）

【点睛】

本题考查函数的值域，掌握函数图像间的变换关系以及初等简单函数的性质，是解题的关键，属于基础题.

2x,x>0

17.（2020•全国高一专题练习）已知函数"X）=若/（4）+/■⑴=0,则实数。的值等于.

x+l,x<0

【答案】-3

【分析】

先求f（。），再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.

【详解】

/（。）+/（1）=0=>/（。）=-2

当a>0时，2a=・2,解得a=・l,不成立

当a<0时，a+l=-2,解得a=-3

B组能力提升

18.(2021•全国)已知一次函数y=/(x)满足3/(l+x)-2/(l-x)=4x+3,则/(x)=.

411

【答案】-

【分析】

设"幻=履+伙人工0),代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案.

【详解】

设/(x)=Ax+仪人工。)，则由3/(1+x)—2/(l-x)=4x+3,

(5%=4,411

得3伙(x+l)+切一2(&(1—幻+切=4x+3,即(5&-4)x+&+3=0,故《解得k=—,b=—,

R+/?=3,55

411

所以/(幻=^+二.

411

故答案为：—x+—.

19.(2020•全国)已知函数〉=/(》-3)的定义域是[-2,4],则》=空二1E"辿的定义域是

X

【答案】(0,1]

【分析】

根据y=/（x-3）的定义域是［-2,4］可求出y=f（x）的定义域为［-5,1］,从而要使得函数yJQX-D+-

X

一5勃2x-l1

有意义，则需满足■-5都-x1,解出x的范围即可.

x/0

【详解】

解：y=/（x-3）的定义域是［-2,4］：

,-2•4；

二-5软k—31；

.•~=/（尤）的定义域为［一5,U；

卜5—11

,要使y/2）工”且有意义,则：-5效J—X1;

X

"0

解得

二原函数的定义域是（0』.

故答案为：（05.

【点睛】

考查函数定义域的定义及求法，已知/［g（x）］的定义域求“X）的定义域的方法，以及已知/（X）的定义域求

/3（尤）］的定义域的方法.

2X-X2,0<X<3

20.(2020•遵义航天高级中学高一月考)函数/")=。的值域是

【答案】［—8,1］

【解析】

设g(x)=2x—x2,o女43,结合二次函数的单调性可知：g(x)min=g(3)=-3,g(x)max=g(l)=l;

同理，设力(X)=X2+6X,-2<X<0,

则h(x)min=6(—2)=—8,Mx)max=6(0)=0.

所以/(Mmax=g(l)=1,y(X)min=ft(—2)=—8.

所以值域是［—8,1］

21-由7•南昌县莲塘第一中学,高三单元测试)已知函数e/)、=｛x点(l一+〃tw优c｝［x><0。,,若关于，的不等式

的解集为M,且=则实数m的取值范围是

【答案】l-y/2<m<0

【解析】

/、x(14-/nr)x>0,_/、/、

回函数f(x)=｛：1_〃3此0①若m=0,则不等式即/(x)>/(x),显然不成立.

②若机>0,函数〃x)=｛；］；［：；:::在R上是增函数，如图1所示：由/(x)>/(x+，w),可得x>x+w.

m<0,故m无解.

③若机VO,函数y=/(x+m)的图象是把函数y=^(x)的图象向右平移-m个单位得至IJ的,

由题意可得，当X吐1,1]时，函数y=/(x+m)的图象在函数y=/(x)的图象的下方，

如图2所示：

只要/(一1+m)</(-1)即可，BP(-l+/n)[l-/?i(-l+/n)]<-l-(l+m),

即m+2m2-m3<0,即\+2in-m2>0>求得1一&<m<1+0综合可得：1一&<，〃<0.

故答案为1一&<m<0

点睛：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，由

题意可得，当旭=0,显然不满足条件；在卜U]上，函数y=/(x+/n)的图象应在函数y=f(x)的图象的卜

方.

22.(2021•全国高一单元测试)已知函数TV)的图象如图所示，其中)轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物

线的一段.

(1