《3.2.1 双曲线及其标准方程》考点复习与同步训练（含答案解析）

《3.2.1双曲线及其标准方程》考点复习【思维导图】【常见考点】考点一双曲线的定义【例1】（1）到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段（2）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（）A．38 B．24 C．38或10 D．24或4【一隅三反】1．已知，则动点的轨迹是（）A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支2已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线3．双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（）A． B． C．或 D．考点二双曲线定义的运用【例2】（1）已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为（）A．8 B．9 C．16 D．20(2)设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于A． B． C． D．【一隅三反】1．已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（）A．1 B． C． D．32．已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于A． B． C． D．3．已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）A．15 B．16 C．18 D．20【例2-2】方程表示双曲线的充分不必要条件是（）A．或 B． C． D．或【一隅三反】1．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若，则是方程表示双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．考点三双曲线标准方程【例3】在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2），经过点，焦点在轴上.(3)过点(3，－)，离心率e＝；(4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．【一隅三反】1．焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是()A． B． C． D．2．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．4．已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（）A． B．C． D．考点四渐近线【例4】已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.3．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为()A． B． C． D．5．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________．《3.2.1双曲线及其标准方程》考点复习答案解析考点一双曲线的定义【例1】（1）到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段（2）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（）A．38 B．24 C．38或10 D．24或4【答案】（1）B（2）B【解析】（1）∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B．（2）由题意可得，，，因为，所以点P在双曲线C的下支上，则，故．故选：B.【一隅三反】1．已知，则动点的轨迹是（）A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支【答案】A【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A.2已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线【答案】B【解析】由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B.3．双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】双曲线的，点在双曲线的右支上，可得，点在双曲线的左支上，可得，由可得在双曲线的左支上，可得，即有.故选：B.考点二双曲线定义的运用【例2】（1）已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为（）A．8 B．9 C．16 D．20(2)设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于A． B． C． D．【答案】（1）B(2)D【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16．据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B．(2)设，则由双曲线的定义可得故，又，故，故，所以的面积为.故选：D.求双曲线中焦点三角形面积的方法求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．【一隅三反】1．已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】双曲线化为标准方程可得即由双曲线定义可知,所以,又因为,所以,由以上两式可得,由得,所以,解得,故选:A.2．已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于A． B． C． D．【答案】C【解析】∵双曲线中∴∵∴作边上的高，则∴∴的面积为故选C3．已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】依题意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故选：B【例2-2】方程表示双曲线的充分不必要条件是（）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】方程表示双曲线，可得，解得或；记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集，由于，故选：．【一隅三反】1．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线，则，得，由可以得到，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：．2．若，则是方程表示双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得，因为，所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，故选：B3．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】把曲线转化为，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以，即，解得.故选：B.考点三双曲线标准方程【例3】在下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2），经过点，焦点在轴上.(3)过点(3，－)，离心率e＝；(4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．【答案】（1）;（2）（3）；（4）.【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.(3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)．因为双曲线过点(3，－)，则.①又e＝，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)．同理可得b2＝－，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为.(4)由2a＝2b得a＝b，所以e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.所以双曲线的标准方程为.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：【一隅三反】1．焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为双曲线的实轴长是，虚轴长是所以，所以所以双曲线的标准方程是故选：A2．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率，双曲线的方程为：故选：C3．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为.故选：D4．已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得，，双曲线方程为.故选：D.考点四渐近线【例4】已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，且满足，可得，，，由双曲线的定义可知，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.【一隅三反】1．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A.2．双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.【答案】【解析】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.点到直线的距离为.故填.3．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A.5．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】【解析】的周长为，故，而，故，所以双曲线的渐近线方程为．故答案为：《3.2.1双曲线及其标准方程》同步练习【题组一双曲线的定义】1．平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线2．设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（）A．4 B． C． D．3．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13) C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不对4．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线5．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．11 B．9 C．6 D．56．双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【题组二双曲线定义的运用】1．已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或282．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)3．“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A． B． C． D．或5．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜36．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A．当时，曲线为椭圆，其焦距为B．当时，曲线为双曲线，其离心率为C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切7.设F1,F2是双曲线x25-8．已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．【题组三双曲线标准方程】1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．2．过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．3．已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．5．已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）A． B． C． D．【题组四双曲线的渐近线】1．已知双曲线，则其渐近线方程为()A． B． C． D．2．设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程（）A． B． C． D．3．设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．4．设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______.5.已知双曲线,则焦点到渐近线的距离为。6．已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为_________《3.2.1双曲线及其标准方程》同步练习答案解析【题组一双曲线的定义】1．平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线【答案】D【解析】两个定点的距离为,当时，点的轨迹为双曲线的一支；当时，点的轨迹为射线；不存在的情况.综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线.故选：D2．设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】由题得.由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差.故选：A3．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不对【答案】C【解析】∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．所以点P的轨迹方程为x＝0(|y|≥13).故答案为：C4．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，根据圆与圆相切，则，，两式相减得，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C5．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．11 B．9 C．6 D．5【答案】B【解析】由双曲线，可得，由双曲线的性质可得：，可得或(舍去)，故选：B.6．双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】因为双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF2|的值为6选B【题组二双曲线定义的运用】1．已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或28【答案】D【解析】双曲线的，，由双曲线的定义得，即为，解得或28.检验若在左支上，可得，成立；若在右支上，可得，成立.故选：D2．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．3．“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可以直接求出方程表示双曲线的充要条件，即为，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.4．方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】方程表示双曲线，则，解得或.故选：D.5．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3【答案】A【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.6．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A．当时，曲线为椭圆，其焦距为B．当时，曲线为双曲线，其离心率为C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切【答案】B【解析】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，焦距，错误；对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，则，，离心率，正确；对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，则圆的圆心到渐近线的距离，双曲线渐近线与圆不相切，错误.故选：.7.设F1,F2是双曲线x25-【答案】12【解析】由于x25-y24=1，因此a=5，c=3，故|F1F2|=2c8．已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．【答案】【解析】因为,所以，【题组三双曲线标准方程】1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，则实轴长为：，虚轴长为，由题意有：，解得：，代入可得双曲线方程为.本题选择D选项.2．过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设左焦点为，则直线方程，即，因为直线恰好与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，得，则.则，解得，.则.所以双曲线的标准方程为.故选:B.3．已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（