人教版高二上学期期中考试数学试卷与答案解析（共两套）

人教版高二上学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则()。A、四点、、、必共面B、四点、、、必共面C、四点、、、必共面D、五点、、、、必共面2．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为()。A、B、C、D、3．若()，则直线被圆所截得的弦长为()。A、B、C、D、4．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为()。A、B、C、D、5．直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有()。A、条B、条C、条D、无数条6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为()。A、B、C、D、7．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为()。A、B、C、D、8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是()。A、B、C、D、二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数()。A、B、C、D、10．已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于()。A、B、C、D、11．给出下列命题，其中不正确的为()。A、若，则必有与重合，与重合，与为同一线段B、若，则是钝角C、若，则与一定共线D、非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面12．已知圆：，过点向圆作切线，切点为，再作斜率为的割线交圆于、两点，则的面积为()。A、B、C、D、三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正方体中，，若，则，。（本小题每空2.5分）14．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是。15．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是。16．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图所示，三棱柱中，、分别是、上的点，且，。设，，。(1)试用、、表示向量；(2)若，，，求的长。18．（本小题满分12分）过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。(1)当面积最小时，求直线的方程。(2)当取最小值时，求直线的方程。19．（本小题满分12分）如图所示，在中，，为边上一点，且，，平面，且。(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值。20．（本小题满分12分）已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。(1)在中，求边中线所在直线方程；(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；(3)求的面积。21．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点。将沿折起到的位置，如图2。(1)证明：平面；(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值。22．（本小题满分12分）如图所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点。(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值。答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则()。A、四点、、、必共面B、四点、、、必共面C、四点、、、必共面D、五点、、、、必共面【答案】B【解析】由得：，可得四点、、、必共面，故选B。2．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得，即，则，故选A。3．若()，则直线被圆所截得的弦长为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵圆心到直线的距离，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，∴弦长为，故选D。4．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立解得这两条直线的交点为，代入可得，故选A。5．直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有()。A、条B、条C、条D、无数条【答案】B【解析】联立，∴，即，，∴或或或，∵，∴值有个，直线有七条，故选B。6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故选A。7．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】设连线与平面的交点为，∵、、三点共线，则，则，则，解得，则，故选B。8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建系，、，设，∵，∴，两边平方并整理得：，∴面积的最大值是，故选D。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】∵，∴，解得或，时，符合，当时，符合，故选BD。10．已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】∵，而，∴，又∵、、、是单位向量，且，∴、、一定不共线，∴，故选CD。11．给出下列命题，其中不正确的为()。A、若，则必有与重合，与重合，与为同一线段B、若，则是钝角C、若，则与一定共线D、非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面【答案】ABD【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，不满足与重合，与重合，与为同一线段，故A错，对于B，当两个非零向量、的夹角为时，满足，但它们的夹角不是钝角，故B错，对于C，当时，，则与一定共线，故C对，对于D，考虑三棱柱，、、，满足与，与，与都是共面向量，但、、不共面，故D错，故选ABD。12．已知圆：，过点向圆作切线，切点为，再作斜率为的割线交圆于、两点，则的面积为()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】由题意知，过点作斜率为的割线，则直线的方程为，点到直线的距离为，则弦，过点作圆的切线，其中一条为轴，切点为轴，则点到直线的距离，∴的面积即为的面积，故，又另一条切线为，设直线的方程为，由题意得，且点到直线的距离，解得，则直线的方程为，与圆的方程联立易得，点到直线的距离，故，综上所述的面积为或，故选BD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正方体中，，若，则，。（本小题每空2.5分）【答案】【解析】∵，∴，∴，。14．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是。【答案】【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为，∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半，即，又直线截圆所得的弦长为，∴圆的半径，∴圆的面积是。15．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是。【答案】【解析】∵，∴，∴。16．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为。【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，∵圆与圆外切，∴，∴，∵圆与直线相切，∴，解得。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图所示，三棱柱中，、分别是、上的点，且，。设，，。(1)试用、、表示向量；(2)若，，，求的长。【解析】(1)2分；4分(2)6分，8分即，∴。10分18．（本小题满分12分）过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。(1)当面积最小时，求直线的方程。(2)当取最小值时，求直线的方程。【解析】设直线：(，)，∵直线经过点，∴，2分(1)，∴，当且仅当，时等号成立，4分∴当，时，最小，此时直线的方程为，即；6分(2)∵，，，∴，9分当且仅当，时等号成立，10分∴当取最小值时，直线的方程为。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在中，，为边上一点，且，，平面，且。(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，1分又平面，平面，∴，2分又∵平面，，∴平面，即平面，3分又平面，∴平面平面；4分(2)解：以、、所在射线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，则，，，，∴，，，6分设平面的一个法向量为，∴，∴，令，则，，∴，9分设与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为。12分20．（本小题满分12分）已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。(1)在中，求边中线所在直线方程；(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；(3)求的面积。【解析】如图建系，(1)设边中点为，则点坐标为，1分∴直线，∴直线的方程为：，3分即：，∴边中线所在直线的方程为：；4分(2)设点的坐标为，由已知得为线段的中点，有，解得，∴，6分又∵、，则；8分(3)由、得直线的方程为：，9分∴到直线的距离，∴。12分21．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点。将沿折起到的位置，如图2。(1)证明：平面；(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值。【解析】(1)证明：在图1中，∵，，是的中点，，∴，即在图2中，、，1分又，、平面，平面，3分又，∴平面；4分(2)解：由已知，平面平面，又由(1)知，、，∴为二面角的平面角，∴，5分如图，以为原点，、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，∵，，∴、、、，∴，，，7分设平面的法向量，则，即，令，则、，则，9分设平面的法向量，则，即，令，则、，则，11分设平面与平面的夹角的平面角为，∴。12分22．（本小题满分12分）如图所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点。(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值。【解析】(1)由题可得，四边形为菱形，且，连接，则，又∵为的中点，则，∴，即，2分又∵平面，平面，平面，则，，∴以为原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，4分由为中点，为中点，为中点，，，可得，，，5分则，，，则，，则，∴，∴，又∵平面，平面，∴平面；7分(2)由题可得，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，∴，，，，∴由可得：，令，则，，则，9分∴由可得：，令，则，，则，11分设二面角为，则，则，∴二面角的正弦值为。12分人教版高二上学期期中考试数学试卷（二）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线恒过一定点，则此定点为()。A、B、C、D、2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的()。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则()。A、B、C、D、4．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为()。A、B、C、D、5．在边长为的等边三角形中，于，沿折成二面角后，，此时二面角的大小为()。A、B、C、D、6．已知平面内的角，射线与、所成角均为，则与平面所成角的余弦值是()。A、B、C、D、7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为()。A、B、C、D、8．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为()。A、B、C、D、二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为()。A、B、C、D、10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为()。A、B、C、D、11．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夹角)。如右图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有()。A、与方向相反B、C、与正方体表面积的数值相等D、与正方体体积的数值相等12．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点。若点在直线上，则下列结论不正确的是()。A、当点为线段的中点时，平面B、当点为线段的三等分点时，平面C、在线段的延长线上，存在一点，使得平面D、不存在点，使与平面垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足，则。14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是，半径是。（本小题每空2.5分）15．已知圆：和点，若顶点()和常数满足：对圆上任意一点，都有，则。16．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面成角的正弦值为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图所示，已知平行六面体中，各棱长均为，底面是正方形，且，设，，。(1)用、、表示，并求；(2)求异面直线与所成的角的余弦值。18．（本小题满分12分）(1)求与向量共线且满足方程的向量的坐标；(2)已知，，，求点的坐标使得；(3)已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且。19．（本小题满分12分）已知点，点，圆：。(1)求过点的圆的切线方程；(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。20．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，，，。(1)证明：；(2)若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，求的长；若不存在，说明理由。21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，，平面平面。(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值。22．（本小题满分12分）如图所示，在多面体中，四边形、、均为正方形，为的中点，过、、的平面交于。(1)证明：；(2)求二面角的余弦值。答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线恒过一定点，则此定点为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】直线可变形为：，若该方程对任意都成立，则，即，直线恒过点，故选D。2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的()。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得：，是必要条件，而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，则，故选C。4．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵两条直线与的距离为，∴所求圆的半径为，由得，由得，∴直径的两个端点、，因此圆心坐标，圆的方程为，故选B。5．在边长为的等边三角形中，于，沿折成二面角后，，此时二面角的大小为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】就是二面角的平面角，∵，∴，故选C。6．已知平面内的角，射线与、所成角均为，则与平面所成角的余弦值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由三余弦公式知，∴，故选D。7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知建立空间直角坐标系，，，由平面知识得，设球心坐标为，则，由空间两点间距离公式知：，，，解得，，，∴半径为，故选A。8．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】直线方程变形得：。由得，∴直线恒过点，，，由图可知斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为()。A、B、C、D、【答案】BC【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选BC。10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选BD。11．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夹角)。如右图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有()。A、与方向相反B、C、与正方体表面积的数值相等D、与正方体体积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，对于B、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，不可能相等，故B错，对于C、根据向量外积的第二个性质可知，则与正方体表面积的数值相等，故C对，对于D、与的方向相反，则，故D错，故选ABD。12．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点。若点在直线上，则下列结论不正确的是()。A、当点为线段的中点时，平面B、当点为线段的三等分点时，平面C、在线段的延长线上，存在一点，使得平面D、不存在点，使与平面垂直【答案】ABC【解析】以为原点，、、为轴、轴、轴建系，由已知可得，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，设在直线上存在一点，使得平面，设则，且，，则，，，则，若平面，则与共线，则，此时无解，故不存在点，使得平面，故选ABC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足，则。【答案】【解析】∵，∴，∵是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴，∴。14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是，半径是。（本小题每空2.5分）【答案】【解析】由题意，或，当时方程为，即，圆心为，半径为，当时方程为，不表示圆。15．已知圆：和点，若顶点()和常数满足：对圆上任意一点，都有，则。【答案】【解析】设，∵，∴，任取、代入可得，，解得，，。16．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面成角的正弦值为。【答案】【解析】∵平面的方程为，∴平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则直线与平面所成角的大小为，则。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图所示，已知平行六面体中，各棱长均为，底面是正方形，且，设，，。(1)用、、表示，并求；(2)求异面直线与所成的角的余弦值。【解析】(1)∵，2分∴，4分∴；5分(2)，则，7分又，，∴，9分∴异面直线与所成的角的余弦值为。10分18．（本小题满分12分）(1)求与向量共线且满足方程的向量的坐标；(2)已知，，，求点的坐标使得；(3)已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且。【解析】(1)∵与共线，故可设，由得：，故，∴；2分(2)设，则，，，∵，∴，∴点坐标为；5分(3)①，6分②∵，，∴，∴与夹角的余弦值为，9分③取轴上的单位向量，，依题意，即，故，解得，。12分19．（本小题满分12分）已知点，点，圆：。(1)求过点的圆的切线方程；(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。【解析】由题意得圆心，半径，(1)∵，∴点在圆上，又，2分∴切线的斜率，4分∴过点的圆的切线方程是，即；5分(2)∵，∴点在圆外部，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即，6分又点到直线的距离，即此时满足题意，7分∴直线是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，8分即，则圆心到切线的距离，解得，9分∴切线方程为，即，10分综上可得，过点的圆的切线方程