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文档简介
《2.4.2圆的一般方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习圆的一般方程。本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上,进一步研究圆的一般方程,发现圆的方程特点,即为特殊的二元二次方程。明确圆的一般方程的特点,掌握圆的方程的算法及与圆有关的轨迹问题。在这一过程中,进一步体会数形结合的思想和方程思想,形成用代数的方法解决几何问题的能力。同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解圆的一般方程及其特点.B.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.C.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.1.数学抽象:二元二次方程与圆的一般方程2.逻辑推理:圆的一般方程与标准方程的互化3.数学运算:求圆的一般方程4.数学建模:圆的一般方程的特点【教学重点】:掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程【教学难点】:与圆有关的简单的轨迹方程问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得:x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.二、探究新知例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一点的坐标(x,y)
都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形,所以形如x2+y2+Dx+Ey+F三、圆的一般方程(1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-D2,-E2)为圆心,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得(x+(2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,表示一个点(-D2,-E(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.2.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.
答案:(3,0)2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=.
答案:43.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?答案:(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.四、典例解析例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=12D2(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=5|m-2|.二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<15故m的取值范围为-∞,15.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=1-例2圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.圆的方程的求法求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是.
解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是(-D2,-E由题意知,-D2=-E2即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案:x2+y2-4x-4y-2=0例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.解:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得(x整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以10为半径的圆,如图所示.又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以x+32≠4,即点C的横坐标x故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.变式:求本例中线段AC中点M的轨迹方程.解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,∴(x-4)2+(y-2)2=52由2x-4≠3,得x≠72;由2x-4≠5,得x≠9∴中点M的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=52(x≠72,且x≠9求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.跟踪训练3两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4跟踪训练4已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,∴A为线段MB的中点,由中点坐标公式得x∵A在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,得x+22+12+y22=2,化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.跟踪训练5已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为2的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.解:∵线段AB在直线y=x上移动,且|AB|=2,∴可设点A(a,a),B(a+1,a+1).∴直线PA的方程为y-2=a-2a+2(x+2)(a≠直线QB的方程为y-2=a-1a+1x(a≠当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得a=x+y-2x-y+2,将其代入①式,整理,得x2-y2+2当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.通过对圆的标准方程的讨论,引出圆的一般方程,同时类比直线方程的多种形式,帮助学生认识圆的一般方程与二元二次方程的关系。学会联系旧知,制定解决问题的策略。通过对圆的一般方程的讨论,帮助学生总结圆的一般方程的特点。发展学生数学运算,数学抽象和数学建模的核心素养。在典例分析和练习中掌握求圆的一般方程的基本方法,即:代数法与几何法。发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过与圆相关的轨迹问题的解决,提升学生数形结合,及方程思想,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为()A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.答案:D2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A.32 B.-32 C.3 D.解析:由题意知,直线2x-y+3=0过圆心.∵圆心坐标为(k,0),∴2k+3=0,k=-32.3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是.
解析:设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,即(x+4)2整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.答案:x2+y2-8x=04.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组2解得D所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。【教学反思】本节课在学生学习了圆的标准方程的基础上,探究圆的一般方程及其特点。教学中,注重问题导向,给学生充分的探究时间和空间,培养学生的探究能力,落实提升学生能力,注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。《2.4.2圆的一般方程》导学案【学习目标】1.理解圆的一般方程及其特点.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.【重点和难点】重点:掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点:与圆有关的简单的轨迹方程问题【知识梳理】一、圆的一般方程(1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-D2,-E2)为圆心,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得(x+(2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,表示一个点(-D2,-E(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.2.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).点M在圆外⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F>0;点M在圆上⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;点2.点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.三、小试牛刀1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?4.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.()(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F【学习过程】一、情境导学前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得:x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一点的坐标(x,y)
都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形,所以形如x2+y2+Dx+Ey+F二、典例解析例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.例2圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.圆的方程的求法求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是.例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.变式:求本例中线段AC中点M的轨迹方程.求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.跟踪训练3两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.跟踪训练4已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.跟踪训练5已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为2的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.【达标检测】1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为()A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A.32 B.-32 C.3 D.3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是.
4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.【课堂小结】【参考答案】知识梳理三、小试牛刀1.答案:(3,0)2.答案:43.答案:(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.4.答案:(1)√(2)×(3)√学习过程例1思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=12D2(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=5|m-2|.跟踪训练1解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<15故m的取值范围为-∞,15.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=1-例2思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.跟踪训练2解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是(-D2,-E由题意知,-D2=-E2即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案:x2+y2-4x-4y-2=0例3思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.解:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得(x整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以10为半径的圆,如图所示.又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以x+32≠4,即点C的横坐标x故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.变式:解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,∴(x-4)2+(y-2)2=52由2x-4≠3,得x≠72;由2x-4≠5,得x≠9∴中点M的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=52(x≠72,且x≠9跟踪训练3解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4跟踪训练4解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,∴A为线段MB的中点,由中点坐标公式得x∵A在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,得x+22+12+y22=2,化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.跟踪训练5解:∵线段AB在直线y=x上移动,且|AB|=2,∴可设点A(a,a),B(a+1,a+1).∴直线PA的方程为y-2=a-2a+2(x+2)(a≠直线QB的方程为y-2=a-1a+1x(a≠当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得a=x+y-2x-y+2,将其代入①式,整理,得x2-y2+2当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.达标检测1.解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.答案:D2.解析:由题意知,直线2x-y+3=0过圆心.∵圆心坐标为(k,0),∴2k+3=0,k=-32答案:B3.解析:设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,即(x+4)2整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.答案:x2+y2-8x=04.解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组2解得D所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.《2.4.2圆的一般方程-基础练》同步练习一、选择题1.圆的方程为,则圆心坐标为()A. B. C. D.2.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=03.曲线x2+y2+22x-22y=0关于()A.直线x=2轴对称 B.直线y=-x轴对称C.点(-2,2)中心对称 D.点(-2,0)中心对称4.过点的直线平分了圆:的周长,则直线的倾斜角为()A. B. C. D.5.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有()A.14 B.13 C.6.(多选题)已知直线l与圆相交于两点,弦的中点为,则实数的取值可为()A. B. C. D.二、填空题7.若,则方程表示的圆的个数为______.8.若方程表示以为圆心,4为半径的圆,则F为____.9.已知圆的方程为,若圆过点,则______.若圆心在直线上.则______.10.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》,该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题,其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”,简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个定点,的距离之比为的动点轨迹方程是:”,则该“阿氏圆”的半径是_____.三、解答题11.已知的顶点,直线的方程为,边上的高所在直线的方程为(1)求顶点和的坐标;(2)求外接圆的一般方程.12.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(1)求圆C的方程;(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.《2.4.2圆的一般方程-基础练》同步练习答案解析一、选择题1.圆的方程为,则圆心坐标为()A. B. C. D.【答案】D【解析】将配方,化为圆的标准方程可得,即可看出圆的圆心为.故选:D.2.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0【答案】D【解析】易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.3.曲线x2+y2+22x-22y=0关于()A.直线x=2轴对称 B.直线y=-x轴对称C.点(-2,2)中心对称 D.点(-2,0)中心对称【答案】B【解析】原方程化为(x+2)2+(y-2)2=4,表示以(-2,2)为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为4.过点的直线平分了圆:的周长,则直线的倾斜角为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由得圆标准方程是,知其圆心为;直线平分了圆:的周长,则此直线过圆的圆心,于是其斜率为;所以其倾斜角为.故选:D.5.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有()A.14 B.13 C.【答案】AB【解析】x2+y2-x+y+m=0可化为x-122+y+122=12-m,则12-m>0,解得m<12因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,即m>0,所以0<m<12.对照选择项,知AB可能6.(多选题)已知直线l与圆相交于两点,弦的中点为,则实数的取值可为()A. B. C. D.【答案】AB【解析】圆的标准方程为:,故.又因为弦的中点为,故点在圆内,所以即.综上,.故选:AB.二、填空题7.若,则方程表示的圆的个数为______.【答案】1【解析】方程即方程,可以表示以,为圆心、半径为的圆.当时,圆心、半径为0,不表示圆.当时,圆心、半径为1,表示一个圆.当时,圆心,、,不表示圆.当时,圆心,、,不表示圆.综上可得,所给的方程表示的圆的个数为1,故答案为:1.8.若方程表示以为圆心,4为半径的圆,则F为_____.【答案】4【解析】因为方程表示以为圆心,4为半径的圆,所以,解得,所以F为4.9.已知圆的方程为,若圆过点,则______.若圆心在直线上.则______.【答案】12【解析】解:圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣2my=0,若圆C过点(0,2),则4﹣4m=0,解得m=1;圆的圆心(1,m),圆心C在直线2x﹣y=0上,可得2﹣m=0,解得m=2;故答案为:1;2.10.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》,该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题,其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”,简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个定点,的距离之比为的动点轨迹方程是:”,则该“阿氏圆”的半径是_____.【答案】2【解析】因为,所以,所以半径为2.三、解答题11.已知的顶点,直线的方程为,边上的高所在直线的方程为(1)求顶点和的坐标;(2)求外接圆的一般方程.【解析】(1)由可得顶点,又因为得,所以设的方程为,将代入得由可得顶点为所以和的坐标分别为和(2)设的外接圆方程为,将、和三点的坐标分别代入,得,解得,所以的外接圆的一般方程为.12.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(1)求圆C的方程;(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.【解析】(1)(方法1)直线AB的斜率k=5-0所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=6+12=72因此,直线m的方程为y-52=x-72,即x-y-1=又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组x-y所以圆心坐标为C(3,2).又半径r=|CA|=13,则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(方法2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得(6-所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),则x0+8将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为x-1122+(y-1)2=134.《2.4.2圆的一般方程-提高练》同步练习一、选择题1.方程表示以为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()A. B. C. D.2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=03.“”是“为圆方程”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.10 B.46 C.5 D.55.(多选题)已知圆的一般方程为,则下列说法正确的是()A.圆的圆心为B.圆被轴截得的弦长为8C.圆的半径为5D.圆被轴截得的弦长为66.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣4,0),点B是圆C:上任一点,点P为AB的中点,若点M满足MA2+MO2=58,则线段PM的长度可能为()A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题7.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为.
8.圆的圆心到直线的距离为,则__________.9.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为2,则圆C的一般方程为.
10.已知,,动点满足,则点的轨迹方程是___________;又若,此时的面积为___________.三、解答题11.已知直线在轴上的截距为,且垂直于直线.(1)求直线的方程;(2)设直线与两坐标轴分别交于、两点,内接于圆,求圆的一般方程.12.设三角形的顶点坐标是A(0,a),B(,0),C(,0),其中a>0,圆M为的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.《2.4.2圆的一般方程-提高练》同步练习答案解析一、选择题1.方程表示以为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得,2,3,4,解得D=4,E=﹣6,F=﹣3.2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0【答案】C【解析】设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-3.“”是“为圆方程”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程表示圆需满足或
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