广西玉林市博白县2023-2024学年高考数学五模试卷含解析

广西玉林市博白县2023-2024学年高考数学五模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

n—/

1.若复数Z=^-在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是()

1+1

A.(-1,1)B.(-co,-l)C.(1,-KO)D.(0,+oo)

2.如图，圆。是边长为2若的等边三角形ABC的内切圆，其与8C边相切于点。，点"为圆上任意一点，

BM=xBA+yBD(x,ywR),则2x+y的最大值为()

A.0B.73C.2D.2&

22

3.已知双曲线=1(。〉0,6〉0)的左、右焦点分别为耳，耳，过B作一条直线与双曲线右支交于A8两点,

坐标原点为O,若="+/,,用=5a,则该双曲线的离心率为()

AA/15RA/10rV15nV10

2233

/?

4.设a,分都是不等于1的正数，则“/。8“2</。8/)2，，是“2〃>2>2''的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.函数y=/(%)满足对任意xwR都有“无+2)=/(—£)成立，且函数y=/(%-1)的图象关于点(1,0)对称，

"1)=4,贝!]〃2016)+〃2017)+“2018)的值为()

A.0B.2C.4D.1

6.已知函数y=/(x)在R上可导且/(x)</(x)恒成立，则下列不等式中一定成立的是()

A./(3)>e3/(0)>/(2018)>e2018/(0)

B./(3)<e3/(0)>/(2018)>e2017(0)

C./(3)>e3/(O),/(2018)<e2017(0)

D./⑶<e3/(0)、/(2018)<e2018/(0)

7.已知定义在R上的偶函数/Xx),当xNO时，f(x)=ex-X+^X,设a=/(lnJ5),6=/(、O),c=f(ln等),

则()

A.b>a>cB.b>a—cC.a=c>bD.c>a>b

8.已知数列｛4｝满足q=1,。”="("N2),则数列｛a“｝的通项公式为=()

A.—n(^n+1)B.—/z(37i—1)C.n2—n+1D.—2n+2

9.若|OA|=1,\OB\=y/3,OAOB=0>点C在A3上，且ZAOC=30°，设OC=+(根,"eH),

VY1

则一的值为()

n

A.-B.3C.—D.73

33

10.已知偶函数/(x)在区间(—8,0]内单调递减，a=/(log^73),人=/卜也(—|^,c=f[j，则a,

I)

b,c满足()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

11.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、

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文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()

A.60B.192C.240D.432

12.已知命题p：若a>l,b>c>l,则log,a<log。a；命题q：3x0(0,-H»),使得2%<logs/”，则以下命题为

真命题的是()

A.P^QB.〃A（—C.（「p）八qD.A（—

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若国4：且X/O时，不等式|依2-彳-422国恒成立，则实数。的取值范围为

14.已知集合4={-1,0,2},3={%|尤=2〃-1,〃wZ},则AB=.

15.在（2-x）5的展开式中，/项的系数是（用数字作答）.

16.复数z=i（2+i）（其中z・为虚数单位）的共朝复数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数〃x）=e'-g.

a

（1）若在［1,2］上是减函数，求实数。的最大值；

（2）若0<a<l,求证：/（尤）2出吧.

a

y2

18.（12分）已知直线x+y=l过椭圆工+l(a>6〉0）的右焦点，且交椭圆于A,B两点,线段AB的中点是

ab2

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线/与线段A5相交（不含端点）且交椭圆于C,D两点,求四边形ACBD面积的最大值.

x=l+。5-acos0

19.（12分）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的参数方程是{,____（。

y=2+。5-asin。

为参数，常数a<5）,曲线C2的极坐标方程是夕sin2e+4sin6>=0.

（1）写出G的普通方程及02的直角坐标方程，并指出是什么曲线；

（2）若直线/与曲线G，G均相切且相切于同一点P，求直线/的极坐标方程.

22

20.（12分）已知椭圆E:=+与=l（a〉6〉0）的左，右焦点分别为月，工，1月61=2,M是椭圆E上的一个动

ab

点，且的面积的最大值为

（1）求椭圆E的标准方程，

（2）若A（q,0）,3（0,。），四边形内接于椭圆E,AB//CD,记直线A。，5c的斜率分别为匕，白，求证:匕上2

为定值.

21.(12分)设函数八x)=x2-4xsinx-4cosx.

(1)讨论函数八X)在Hr,7T］上的单调性；

(2)证明：函数式用在R上有且仅有两个零点.

22.(10分)已知函数7'(x)=|x+l|+|2x-l|

(1)解不等式/(x)W%+2；

(2)若函数g(x)-|x+2019|+|x+2021-若对于任意的王6尺，都存在々eR,使得/(xj=g(%)成立,

求实数〃的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

复数z=@二=3匚-四"在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得。的范围.

1+z22

【详解】

a—ia—1a+1.

z=-----=----------------1,

1+i22

由其在复平面对应的点在第二象限，

«-1<0

得《则a<-1.

a+l<0

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系,

设内切圆的半径为1,以（0,1）为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到93"=S=3xA5xACxsin6°°'

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B(-V3,0),C(A0),A(0,3),D(0,0),M(cosai+sin^)

8M=(cos6+G』+sine),BA=(A/3,3),BD=(A/3,0)

故得至I]BM=(cos0+G,1+sin8)=[y/3x+6y,3x)

故得至11cos6=垂>x+My-#sin6=3x—1

1+sine

%=---------

3ccos。sin。42.,>.4

=><2x+y=~~j=--------F—=—sin(。+0)+—W2.

cos0sin82'J33333

y=15—+3

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

3、B

【解析】

由题可知|OA|=c=；|耳闾，/片4鸟=90。，再结合双曲线第一定义，可得|时|=恒词+2即对R/A7/有

|前『+|明2=网『，

即（卜闾+2a『+（|A闾+3a）2=（5a）2,解得,闾=匹再对RtZiAE£,由勾股定理可得/+（34=（2c）2,化简

即可求解

【详解】

如图，因为阿|=5a,所以忸囚=5a—2a=3a.因为=C=闾所以/446=90。.

在“叫5中，的.+,国2,研2,即（,闾+24+（k司+34=（5aJ,

得|AF^|=a,则，用=a+2a=3a.在RtZ\A4月中，由/十伽丫=仅域得e=£=M^.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

4、C

【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

11

由，，1。乩2<1。瓦2”，得由（运p

log9a<0

得<i7八或/吟。>log2b>0或0>log2a>log2b，

log2/?>0

0<«<l

即'或a>b>l或0<b<a<l,

b>l

由2">2〃>2，得a>b>l,

故"log：<log；”是“2a>2">2”的必要不充分条件，

故选C.

【点睛】

本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题.

5、C

【解析】

根据函数y=/(x—1)的图象关于点(LO)对称可得/(x)为奇函数，结合〃x+2)=/(r)可得/⑴是周期为4

的周期函数，利用/(0)=0及/。)=4可得所求的值.

【详解】

因为函数y=/(x—1)的图象关于点(1,0)对称，所以y=/(%)的图象关于原点对称，

所以/(%)为R上的奇函数.

由/(x+2)=/(-X)可得/(x+2)=-/(%),故/(x+4)=-/(X+2)=/(%),

故/(x)是周期为4的周期函数.

因为2016=4x504,2017=4x504+1,2018=4x504+2,

所以/(2016)+/(2017)+〃2018)=/(0)+〃1)+〃2)=4+/⑵.

因为“X+2)=/(T),故/(0+2)=〃-0)=_/(0)=0,

所以〃2016)+〃2017)+〃2018)=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函数“X)满足/(x+a)=—/(x)(awo),那么/(九)是周期

为2a的周期函数，本题属于中档题.

6、A

【解析】

设g(x)=g,利用导数和题设条件，得到g'(x)>0,得出函数g(x)在R上单调递增，

得到g(0)<g(3)<g(2018),进而变形即可求解.

【详解】

由题意，设g(x)=以?，则g<x)=八"=/'(X)/(X),

又由/(x)</'(x),所以g'(x)="x：/(x)>0,即函数g(x)在R上单调递增，

贝!Ig(0)<g(3)<g(2018)，即犁=/(0)<粤<"槃)，

变形可得/(3)>e3/(0),/(2018)>e2018/(0).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函

数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

7、B

【解析】

r2+2x

根据偶函数性质，可判断凡。关系；由时，/(乃二产―y三，求得导函数，并构造函数g(x)="—x—1,

由g'(x)进而判断函数f(x)在x之0时的单调性，即可比较大小.

【详解】

Ax)为定义在R上的偶函数，

则尸(x)="—X—1,

令g(x)-e'-x-1

贝!Ig'(x)=e"-1,当xNO时，g'(x)=ex-1>O,

贝！|g(x)=e'—x—1在xNO时单调递增，

因为g(O)=e°—0—1=0,所以g(x)="—x—120,

即尸(x)=e「x—120,

2

则于(x)=ex-三r+三2%在x之0时单调递增，

而O<ln0〈正，所以

/(lnV2)</(V2),

综上可知，f

即。=c<Z?,

故选：B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

8、A

【解析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可.

【详解】

数列｛4,｝满足：41=1，4-%=n(n..2,neN*),

可得q=1

4-4=2

a3—a2=3

a4-a3=4

an-an_x=n

以上各式相加可得：

cin=1+2+3+...+〃=—+1),

故选：A.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力.

9、B

【解析】

利用向量的数量积运算即可算出.

【详解】

解：ZAOC=30°

cos<OC,OA>=

OCOA73

MH=T

[mOA+nOB^-OA平

\mOA+nOB\M2

m|OA|+nOB-OA

yjm210A|+ImnOAOB+n21OB^|(?A|

/4=1,囱=6,OAOB=0

走

'Jm2+3H22

/.m2=9几2

又。在AB上

:.m>0,n>0

m-

厂.——二3

故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.

10、D

【解析】

首先由函数为偶函数，可得函数/（九）在［0,+8）内单调递增，再由loga百>sin,即可判定大小

【详解】

因为偶函数/（九）在（7,0］减，所以/（%）在［0,y）上增,

log^V3>l,

」，叼,c<b<a.

故选：D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

11、c

【解析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.

【详解】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数

为=240.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这

类问题的常用方法.

12、B

【解析】

先判断命题。应的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

l,oa1,loa111

gz,=------7，gc=--------，因为。>1,b>c>l,所以Ovlog.cvlog*,所以■;------>------即命题p

log,6log/logflclog/

为真命题；画出函数y=2,和y=log3》图象，知命题q为假命题,所以。人(一1%)为真.

故选:B.

【点睛】

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题。应的真假，难度较易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(-℃,-2][2,+<»)

【解析】

将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对“的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间

o,|上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出”的取值范围.

【详解】

因为辰2_x_《22忖，所以(加―％—4242附2,所以(加―X—4"2%)2,

"2

ax2-3x-a>0ax-3x-a<0

所以（依？___2x^（ax1-x-a+2元）>0,所以〈

xaax2+x-a>0ax2+x-a<0

当a=0时，同22国对禺wg且x/O不成立,

22

当〃>时，取工=工,ax-3x-a>0ax-3x-a<0

0显然不满足,所以

2ax2+x-a>0ax2+x-a<Q

-2

2

1ax-3x-tz>0…rjax-3x-a>0

当。<0时，取］=-%，｛2显然不满足,所以

2\ax+x-a>0ax2+x-a>0

综上可得〃的取值范围是：(-8,-2][2,+8).

故答案为：(f-2][2,y).

【点睛】

本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：(1)分类讨论

法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；(2)参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关

系求解出参数范围.

14、{-1}

【解析】

由5={%|工=2〃一1,"ez}可得集合B是奇数集，由此可以得出结果.

【详解】

解：因为5={x|x=2"-l,"ez}

所以集合3中的元素为奇数，

所以AB=

【点睛】

本题考查了集合的交集，解析出集合3中元素的性质是本题解题的关键.

15、-40

【解析】

(2-村的展开式的通项为：C；25-r(-x)r.

令r=3,得C：25T(_%)’=-40x3.

答案为：-40.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值，最后求

出其参数.

16、—1—2z

【解析】

利用复数的乘法运算求出Z,再利用共物复数的概念即可求解.

【详解】

由z=z(2+z)=2z—1=—1+2z,

则』=-1-23

故答案为：—1—2z

【点睛】

本题考查了复数的四则运算以及共朝复数的概念，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)止

(2)详见解析

【解析】

(1)/,(x)=e"--(x>0),

ax

在[1,2]上，因为/'(x)是减函数，所以((x)=e:’W0恒成立,

ax

即L2xe*恒成立，只需工2(xe)1mx.

aa

令r(x)=xe*,xe[l,2],则f'(x)=e*+xe*,因为xe[l,2],所以，(左)>0.

所以f(尤)=xe'在［1,2］上是增函数，所以(.')­=2e?,

所以！22e?,解得0<。4±.

a2e2

所以实数。的最大值为3.

2e

(2)f(x)=QX------(x>0)fr(x)=e'------.

a9ax

令g(x)=e"---(x>0),贝!)/(%)=,

axax

根据题意知g'(x)>0,所以g(%)在(0,+8)上是增函数.

又因为gd)=e%-1>0,

a

当工从正方向趋近于0时，,趋近于+8,e*趋近于1，所以g(x)=e<工<0,

axax

所以存在尤°e(0一)，使g(%)=e--」一=0,

aaxo

而1

BP°,x0=-ln(dx0)=-lna—lnx0,

所以对任意xe(0,x0),g(x)<0,即尸(x)<0,所以/(x)在(0,%)上是减函数;

对任意xe(Xo，+g),g(x)>0,即尸(x)>。，所以/'(x)在(*o,+oo)上是增函数,

所以当x=/时，/(元)取得最小值，最小值为/(%).

由于-lnx0=x0+lna,

则/®)=e'。-g=工+上吧=-L+%+皿^25+蛆[=2+皿

aaxQaaxQaavax0aaaa

出吧，当且仅当%

即毛=1时取等号,

aaxQa

所以当0<。<1时，f(x)2空吧

【解析】

42

(1)由直线X+y=1可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点〃可得占+%=*%+%=；，且由斜率公式可得

造口=-1,由点A,3在椭圆上，则¥+H=1,写+岑=1，二者作差，进而代入整理可得片=2b2，即可求解；

(2)设直线l-.y=kx,^A,B到直线I的距离为4，&，则四边形的面积为S=1|CD|-&+||CD|-为=+《),将

>=依代入椭圆方程，再利用弦长公式求得|CD卜利用点到直线距离求得4,根据直线/与线段A3(不含端点)相交,

可得(左x0-1)佶k+[<0,即左〉-工,进而整理换元，由二次函数性质求解最值即可.

<33；4

【详解】

(1)直线x+y=1与x轴交于点(L0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故c=1,

因为线段A8的中点是〃[,

42%—X

设y)，则%+%=，且----

A(w，%),B(^X2,2X+%=w1,

jjX9-X|

则（尤2-xj（%+占）（%一%）（%+%）

=0,得4=2/

又〃2=〃+/,C=1,

所以/=2/2=1,

因此椭圆的方程为

—+y2=1

(2)由(1)联立〈27，解得

x+y=l

不妨令「，易知直线I的斜率存在,

2

设直线/：、=-，代入5+/=],得Q左2+I)/=2,

后

解得X=

出左2+1也走+1，

272

设C(演,％)，。(%%)，则居-”=

g左2+1，2廿+1

则\CD\=J1+门尤3-x4|=71+F

'y/2k2+1

因为A((U),正厂口到直线>=无的距离分别是1W,

13LbL标

由于直线/与线段A3(不含端点)相交,所以仕xO-1)闵+」<0,即左〉」,

<33；4

9+1)

所以

J1+F

四边形ACfiD的面积S=||CD|-dl+McD\-d2=Qc。®+4)=中•

2223立储+1

3

令人+1=1,/〉一,贝!12标+1=2产一4「+3,

4

"逑t4夜/F4近

所以一亍.67KTi一丁.收_今+3一丁

121s."r^_±/1

当一=—，即左=—时,与…3,24-16-3，

t32V”

因此四边形ACBD面积的最大值为短.

3

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算能力.

19、(1)(X-1)2+(J/-2)2=5-«,psin20+4sin0=p,G表示以(1,2)为圆心为半径的圆；G为抛物线;

(2)夕sin9-/cos8+l=0

【解析】

(1)消去参数，即得G的直角坐标方程，利用。in6»=x,0cos，=y即得C2的直角坐标方程；

(2)由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点

坐标，即得解.

【详解】

(1)消去参数，即得G的直角坐标方程为：

(x-l)2+(y-2)2=5-a.

C2的极坐标方程psin-0+4sin0=p.

nX72sin2^+4sin^=p1

•:psin^=x,pcos0=y

n%2=今.

当a<5时G表示以(1，2)为圆心为半径的圆；G为抛物线.

(2\

(2)设切点为%,手,%2=4>

由于"=］则切线斜率为

由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，

2--x2

故有Ko*4'°_1

21-%

=>面=2=>P(2,1),

直线/的直角坐标方程为y^x-1,

所以/的极坐标方程为psin0-pcos6+1=0.

【点睛】

本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

22

20、(1)—+^=1(2)证明见解析

43

【解析】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△孙耳的面积取得最大值6,

求出a,4c,即可得答案；

(2)根据题意可知A(2,0),B(0,A/3),因为AB//CD,所以可设直线CO的方程为

y=-^x+m(m^A/3),D(x1,y1),C(x2,y2).将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到百,9的关系，再代入斜

率公式可证得左上为定值.

【详解】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，

当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，AMRF2的面积取得最大值73.

C=1

所以＜gx2cxb=百，所以。=2,b=布,

a2=b2+c2

22

故椭圆E的标准方程为L+匕=1.

43

(2)根据题意可知A(2,0),B(0,6),因为AB//CD,

所以可设直线CD的方程为y=—与x+m(m丰/),D(x

21)，。(工2，＞2)・

(22

土+乙=1

43l

由1厂9消去y可得6%2—46mx+4加2一1：2=0，

y-------x+m

12

所以天十々=胃竺，即玉=冬餐—%.

_V3

直线AD的斜率卜==2、，

1%]-2玉-2

直线5c的斜率左-'々+加-6,

2%2%

所以

-^-xl+m+加—G—x1x2+A2)+；

k«2=q--------------Z----------------=4----------Z——7—

X]一212\xi一-2)%

3G2y/3m3（2也m）,不

—----帆,--------.......F5----------X?+YY\（YYl-v3）

（国-2）%2

3_3

_4'^2~2'"2=-,故%也为定值.

（玉―2）々4

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能