湖北省部分重点中学高二下学期期中考试数学（文）试卷

湖北省部分重点中学20172018学年度下学期高二期中考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数a+3i−iA.0B.3C.3D.2【答案】A【解析】复数a+3i-i（i故答案为：A。2.对下列三种图形，正确的表述为（）A.它们都是流程图B.它们都是结构图C.（1）、（2）是流程图，（3）是结构图D.（1）是流程图，（2）、（3）是结构图【答案】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．3.已知函数f(x)＝1xcosxA.-2πB.2πC.3【答案】A【解析】∵因此f′(4.在复平面内，O是原点，OA,OC,AA.4＋7iB.1＋3iC.4－4iD.－1＋6i【答案】C【解析】B=−15.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝()A.4B.5C.2D.3【答案】A【解析】循环依次为n=1,a=1,A=6.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9【答案】D【解析】函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．选D视频7.已知“整数对”按如下规律排一列:1,11,22,1A.62,2B.63,1【答案】C【解析】设“整数对”为（m，n）（m，n∈N*），由已知可知点列的排列规律是m+n的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．当m+n=2时只有一个（1，1）；当m+n=3时有两个（1，2），（2，1）；当m+n=4时有3个（1，3），（2，2），（3，1）；…当m+n=64时有63个（1，63），（2，62），…，（63，1）；其上面共有1+所以第2017个整数对为1,64。选C。8.已知a,b,cA.都大于6B.至少有一个不大于6C.都小于6D.至少有一个不小于6【答案】D【解析】假设3个数a+4b，b+9利用基本不等式可得，a+4b+b+9c+故选D.点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键.9.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为()A.r2B.32rC.33【答案】D【解析】设∠COB=θ因此梯形面积为S因为由S′得cosθ=12，根据实际意义得cos点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′10.设a为实数，函数fx=x3+ax2+a−A.6x+C.6x−【答案】D【解析】f'x=3x2+2ax+a−3，因为f'x为偶函数，故a=点睛：（1）一般地，对于多项式函数fx=an+1xn+a（2）曲线在某点处的切线的斜率，就是函数在该点横坐标处的导数，因此切点的横坐标是处理切线问题的核心.11.函数fx=1−A.B.C.D.【答案】C【解析】f-x=-1-c解得2cosx+1.....................12.定义在R上的减函数fx，其导函数是f′x满足A.当且仅当x∈−∞,C.对于∀x∈R,【答案】D【解析】由题意f′(x)<0,f(x)>(1−点睛：解答本题时充分运用题设条件，运用分类整合的思想与函数方程思想，如当x<1时，(1−x)f′(x)二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，均不得分.13.设集合A={x|x4−【答案】25【解析】由x4−1=0,x∈C得：x=±1，x=±i，则x=1时x−z=14.根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．【答案】50.6【解析】因为a>b15.已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为________.【答案】8【解析】设正四棱锥底面边长为a，则高为6所以正四棱锥的体积为V=由V′=1由极值唯一性可知当a=8时，V【答案】2016【解析】∵f因此y=fx关于设f1则2因此S点睛：函数对称性代数表示（1）函数f(x)为奇函数⇔f(（2）函数f(x)关于点(a,b)对称⇔（3）函数周期为T,则f三、解答题：共6题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数z＝bi(b∈R)，z−21(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）z＝－2i（2）m∈(－∞，－2)【解析】【试题分析】（1）将z=bi(b∈R)代入z-21解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数所表示的点在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．18.你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，x应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，x应取何值？【答案】（1）x＝15cm时包装盒侧面积S(x)最大．（2）x＝20cm时包装盒容积V(x)最大．【解析】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．设包装盒的高为，底面边长为由已知得a（1）∵2分∴当x=15时，（2）根据题意有V=∴V′由得，(舍)或。∴当x∈(0,20)时∴当x=20即包装盒的高与底面边长的比值为12考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质．视频19.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列【答案】（1）an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据条件求出等差数列的公差d，然后再求an和S（2）用反证法证明．试题解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S3=3a1+3d=9+32，又a1=1+2，解得d=2，所以anSn(2)由(1)得bn=Snn=n+假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列．则bq2=bp·b即(q+2)2=(p+2)·(r+2)，整理得(q2pr)+2(2qpr)=0，所以q2消去q得p+r22=pr，即所以p=r．与p，q，r互不相等矛盾．所以数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列．点睛：（1）结论若是“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”形式的命题，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，证明时可考虑使用反证法．（2）用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样：有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．20.如图所示，矩形ABCD中，AB＝3,BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱锥A－BCD的体积．【答案】（1）见解析（2）37【解析】解：试题分析：(1)利用题意证得CD⊥平面ABC.然后由面面垂直的判断定理即可证得平面ACD⊥平面ABC.(2)三棱锥的体积关键在于选择合适的顶点和底面，以点A为顶点计算可得VA－BCD＝1试题解析：(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.∴VA－BCD＝VB－ACD＝13·S△ACD·AB又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD=3，∴AC＝AD∴VA－BCD＝121.已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．【答案】（1）[－1，＋∞)（2）(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣1k的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围解析：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，k解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)22.已知函数f(x)＝xln(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围【答案】（1）(−∞,-1【解析】试题分析：利用导数解