高考冲刺资源培优冲刺07数列递推公式与求和归类（含答案解析）

培优冲刺07数列递推公式与求和归类目录TOC\o"1-3"\p""\u题型一：数列型恒成立求参……………………………1题型二：是否存在型求参………………………………2题型三：恒成立证明型…………………3题型四：求和型不等式证明…………………………3题型五：数列不定方程型………………………………4题型六：恒成立求参：奇偶讨论型………………5题型七：下标数列…………………………6题型八：高斯取整数列型………………………………6题型九：前n项积型不等式恒成立求参………………………7题型十：先放缩再求和型证明不等式……………………………8题型十一：插入数型：等差型…………………………9题型十二：插入数列型……………………10题型十三：新结构19题型压轴………………………11题型一：数列型恒成立求参分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.数列恒成立求参数关键“坑”：数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围1.（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）若数列满足，，m为常数.(1)求证：是等差数列；(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围.2..（河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题）已知等比数列满足，，且为等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．3.（重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题）已知正项数列的前项和为，且，数列满足且.(1)分别求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，且，对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.题型二：是否存在型求参一般地，已知函数，不等关系(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．1.（上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题）设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．(1)求证：数列是等比数列；(2)证明：数列是递增数列；(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．2.（四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．3.（江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．(1)求数列的通项公式(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．题型三：恒成立证明型数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．1.（2024高三·全国·专题练习）已知在数列中，，点，在直线上.(1)求数列的通项公式．(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，写出的表达式，并加以证明；若不存在，请说明理由．2.（广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题）在数列中，已知，，且对于任意正整数n都有.(1)令，求数列的通项公式；(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立.3.（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列．(1)求数列的公比；(2)是否存在r，s，且使得成等差数列？若存在，求出r，s，t的关系；若不存在，请说明理由．题型四：求和型不等式证明求和型不等式证明：先求和再放缩，放缩时，可以直接放缩，可以借助数列的单调性放缩。求和常用方法1.形如（等差）（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如（等差比）（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如（，为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减4.错位相减法求数列的前n项和若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．5.常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等1.（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列，数列的前n项和．(1)求数列和通项公式；(2)求的值；(3)证明：．2.（2023上·山东·高三山东省实验中学校考）已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式：(2)若，的前n项和为，证明：.3.（2023上·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）已知数列满足，数列满足，，其中为数列的前项和.(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和，并证明：.题型五：数列不定方程型1.（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)试求所有的正整数，使得为整数.2.（23-24高三·上海·模拟）已知函数的图像过点和.（1）求函数的解析式；（2）记是正整数，是的前n项和，解关于n的不等式；（3）对于（2）中的数列，整数是否为中的项？若是，则求出相应的项；若不是，则说明理由.3.（22-23高三·湖北·联考）已知等比数列的前项和为，首项，若，，成等差数列且.（1）求数列的通项公式；（2）为整数，是否存在正整数使成立？若存在，求正整数及；若不存在，请说明理由.题型六：恒成立求参：奇偶讨论型正负相间讨论型：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。3.分奇偶讨论时，对于奇数，带入时要代入1，3，5等奇数。对于偶数，代入时要代入2.4.6.·····1.（重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题）已知数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由．2.（天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题）已知为等差数列，为等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和；(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．3.（22-23高三·吉林·阶段练习）数列中，，点在直线上．求数列的通项公式；令，数列的前n项和为．求；是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．题型七：下标数列下标数列下标数列，最常用的是直接函数代入型，下标数列，要注意随着下标数列的代入，对应的项数和新数列的性质，以及系数列与原母数列是否存在着联系，以利用解题突破1.（2023江苏高考模拟）已知数列满足：（为常数），数列中，。⑴求；⑵证明：数列为等差数列；⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设是等差数列，是等比数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求.3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合，数列满足(1)定义数列，证明：为等比数列(2)记数列的前项和为，求满足的正整数题型八：高斯取整数列型取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，1.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，(1)求数列和的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；(3)，求数列的前项和．2.（23-24高三·河北保定·）已知等差数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．（说明：）3.（23-24高三上·天津）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，(1)求数列和的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；(3)，数列的前项和为，求证：．题型九：前n项积型不等式恒成立求参注意区分“和”与“积”的公式：1.通项与前项和的关系是：2.可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.，得2.时，，所以1.（23-24高三·江西·阶段练习）已知数列和满足，，且.(1)求和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；(3)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列满足，数列满足．(1)求，的值及数列的通项公式；(2)若（，），求的取值范围；(3)在数列中，是否存在正整数，，使，，（，，）构成等比数列？若存在，求符合条件的一组的值，若不存在，请说明理由．3.（22-23高三·四川成都）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为；(3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值.题型十：先放缩再求和型证明不等式常用的数列放缩式还有：，等，解题过程中，注意观察数列特征选择合适的放缩方法.1.（2024·全国·模拟预测）已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前n项和为，，满足，其中是不为零的常数，．(1)是否存在使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．2.（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求证：．3.（21-22高三·北京·强基计划）已知数列是公差d不等于0的等差数列，且是等比数列，其中．(1)求的值．(2)若，证明：．题型十一：插入数型：等差型插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：1.（2023·江苏苏州·统考三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，且满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：．2.（2023上海闵行·统考一模）已知数列的各项均为整数，其前n项和为．规定：若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列为“r关联数列”．（1）若数列为“6关联数列”，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；（3）若数列为“6关联数列”，当时,在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列中是否存在三项，，其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.3.（2023·安徽马鞍山·高三阶段练习）设数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.题型十二：插入数列型插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。1.（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中学校考）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.3.（2022·广东汕头·统考三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．题型十三：新结构19题型压轴“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.1.（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.(1)写出，并求；(2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；(3)若2024是数列中的某一项，求及的值.2.．（2024·北京门头沟·一模）已知数列，数列，其中，且，．记的前项和分别为，规定．记，且，，且(1)若，，写出；(2)若，写出所有满足条件的数列，并说明理由；(3)若，且．证明：，使得．3.（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．

培优冲刺07数列递推公式与求和归类目录TOC\o"1-3"\p""\u题型一：数列型恒成立求参……………………………1题型二：是否存在型求参………………………………3题型三：恒成立证明型…………………6题型四：求和型不等式证明…………………………8题型五：数列不定方程型………………………………11题型六：恒成立求参：奇偶讨论型………………12题型七：下标数列…………………………15题型八：高斯取整数列型………………………………17题型九：前n项积型不等式恒成立求参………………………20题型十：先放缩再求和型证明不等式……………………………23题型十一：插入数型：等差型…………………………26题型十二：插入数列型……………………29题型十三：新结构19题型压轴………………………31题型一：数列型恒成立求参分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.数列恒成立求参数关键“坑”：数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围1.（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）若数列满足，，m为常数.(1)求证：是等差数列；(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）等式两边同除以，用等差数列的定义证明；（2）将条件转化为对恒成立，求的最大值即可.【详解】（1）证明：因为，等式两边同除以，得，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.（2）由（1）得，因此.由对恒成立，得对均成立.因为，不等式两边同除以，得，即对恒成立，当时，取最大值，所以，所以实数m的取值范围为.2..（河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题）已知等比数列满足，，且为等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可；（2）由（1）得，利用错位相减法得，则原不等式转化为对任意正整数恒成立，求的最小值即可.【详解】（1）因为数列是等比数列，且满足，所以①，②，又因为为等差数列，所以，即③，联立①②③解得，所以.（2）由（1）得，所以④，⑤，⑤④得，由题意即对任意正整数恒成立，所以恒成立，则即可，又因为，所以，即的取值范围是.3.（重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题）已知正项数列的前项和为，且，数列满足且.(1)分别求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，且，对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据与的关系和等差数列的定义可求出，根据递推公式和等比数列的定义求出；（2）根据裂项公式求出，将恒成立化为对任意正整数恒成立，再根据数列的单调性求出的最大值，代入解不等式即可得解.【详解】（1）∵，∴，所以，∴，化简.∵，∴.又，解得，∴是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.由，可得，，又，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列.则.（2）由（1）知，则，所以，故即对任意正整数恒成立，设，，则，即，则单调递减，，，解得或.故的取值范围为.题型二：是否存在型求参一般地，已知函数，不等关系(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．1.（上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题）设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．(1)求证：数列是等比数列；(2)证明：数列是递增数列；(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2是(3)存在，.【分析】（1）由已知条件，可令，代入，即可得到所求出数列通项公式，从而可证是等比数列；（2）讨论公比q是否为1，求得，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】（1）因为对任意正整数，当时，总成立，所以时，令，得，即，当时，也成立，所以，所以数列是等比数列；（2）当时，，随着的增大而增大；当，时，，，由，综上可得数列是递增数列；（3）假设存在正常数使得为等差数列．当时，，当时，，由为等差数列，得，此时当时，为等差数列，所以存在使得为等差数列．2.（四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，或；【分析】（1）由题设且，应用关系求数列通项公式；（2）由（1）知，构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值，即可得结论.【详解】（1）由题设且，当时，，可得；当时，，则；由，故，所以是首项、公差均为1的等差数列，故.（2）由（1）知：，要使，即恒成立，令且，则，若，即，则，在上，递增，上，递减，所以在有最大值，又，对于，当时，，当时，，综上，，故存在或使恒成立.3.（江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．(1)求数列的通项公式(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由等差数列通项公式得出，再由与的关系可得数列的通项公式.（2）由（1）的结论结合错位相减求出，先得出的前三项，由等差数列的性质得出方程解出，再检验即可．【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，当时，，则有，因此，即，数列是常数列，有，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，，则，于是得，两式相减得：，因此，有，，，若数列成等差数列，则，解得，当时，，则，从而数列成等差数列，所以存在，使得数列成等差数列．题型三：恒成立证明型数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．1.（2024高三·全国·专题练习）已知在数列中，，点，在直线上.(1)求数列的通项公式．(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，写出的表达式，并加以证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据已知条件点在直线上，可得，根据等差数列定义判断为等差数列，即可求解.（2）根据已知条件得，化为，利用累加法求得，结合题意即可求解.【详解】（1）因为点，在直线上，所以，即.又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，.（2）因为，所以，所以，即，所以，，，，所以，所以.根据题意（，且）恒成立，所以，所以存在关于的整式，使得（，且）恒成立.2.（广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题）在数列中，已知，，且对于任意正整数n都有.(1)令，求数列的通项公式；(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立.【答案】(1)；(2)存在，详见解析.【分析】（1）由题可得，然后利用等比数列的定义及通项公式即得；（2）由题可知，可得，令，利用等比数列的通项公式可得，即可得出，假设存在正整数满足题意，由题可得，即可求解．【详解】（1）因为，所以，因为，且，所以，且，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以，令，则，所以，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以，无论为何值，假设存在一个正整数使成立，因为，即，可得，取，因此是一个正数，无论为何值，都有一个正整数使成立，取的正整数即可．3.（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列．(1)求数列的公比；(2)是否存在r，s，且使得成等差数列？若存在，求出r，s，t的关系；若不存在，请说明理由．【答案】(1);(2)答案见解析.【分析】（1）利用成等差数列和是等比数列,建立方程，求出公比即可；（2）先假设存在,通过对数列求和，验证为等差数列矛盾，从而说明不存在.【详解】（1）结合题意：成等差数列，所以，由是等比数列，所以，整理得，解得：（舍去），或.（2）假设存在r，s，且使得成等差数列由（1）可知，所以，因为成等差数列，所以，即，整理得：，在上式两边同时除，得到：，又所以，因为，所以，所以存在互不相等的正整数r，s，且时，使得成等差数列.题型四：求和型不等式证明求和型不等式证明：先求和再放缩，放缩时，可以直接放缩，可以借助数列的单调性放缩。求和常用方法1.形如（等差）（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如（等差比）（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如（，为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减4.错位相减法求数列的前n项和若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．5.常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等1.（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列，数列的前n项和．(1)求数列和通项公式；(2)求的值；(3)证明：．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的基本量求等差数列的通项，根据找到数列的通项公式，然后再求数列的通项公式.(2)分别求出奇数项和偶偶数项通项公式再求和.(3)裂项相消法求和，再证明.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，故数列的通项公式．因为：，当时，，两式相减得，又n＝1时，，所以，所以，因为，所以，而，即，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以．（2）当k＝2m，时，，当k＝2m－1，时，所以．（3）由可得＝因为，所以，所以．则原命题得证．2.（2023上·山东·高三山东省实验中学校考）已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式：(2)若，的前n项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）已知求的问题，一定要分和进行讨论；（2）用裂项相加法求和，再分为奇数、偶数讨论，确定的取值范围.【详解】（1）因为，当时，.当时，，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故：.（2）证明：因为，所以.当n为奇数时，，因为，所以，所以当n为偶数时，，因为，所以，所以.综上，.3.（2023上·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）已知数列满足，数列满足，，其中为数列的前项和.(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和，并证明：.【答案】(1)证明见解析，(2)，证明见解析【分析】（1）由，有，可得数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）由和的关系得数列的递推公式，累加法求出的通项，得数列的通项，错位相减法求，并确定范围.【详解】（1）由，可得，即，又，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，则有，可得数列的通项公式为；（2）由，有，即，则当时，有：，时也满足，所以数列的通项公式为得，则①，②，②-①得：，解得，由，，所以，又所以递增，所以，因此，.题型五：数列不定方程型1.（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)试求所有的正整数，使得为整数.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求出，可得出，根据为正整数可求得的值.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，.（2）解：由（1）可得，则，所以，，则，因为为正整数，且为大于的正奇数，故，解得故只有时，为整数成立.2.（23-24高三·上海·模拟）已知函数的图像过点和.（1）求函数的解析式；（2）记是正整数，是的前n项和，解关于n的不等式；（3）对于（2）中的数列，整数是否为中的项？若是，则求出相应的项；若不是，则说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不是数列中的项，理由见解析【分析】（1）将点A、点B代入函数解析式，求得a，b即可.（2）易得，再由等差数列前n项和公式得到，解不等式即可.（3）令，再论证方程是否有正整数解即可.【详解】（1）因为函数的图像过点和，所以，解得，所以.（2）由（1）知：，所以所以，即为，所以，解得，故（3）由（2）知，设，令，当时，，，，，由（2）知当时，易知，当时，，所以单调递增，当时，，当时，.因此不是数列中的项.3.（22-23高三·湖北·联考）已知等比数列的前项和为，首项，若，，成等差数列且.（1）求数列的通项公式；（2）为整数，是否存在正整数使成立？若存在，求正整数及；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在时满足条件，理由见解析.【分析】（1）由已知求出，即可；（2）根据等比数列求和公式求出，然后将数列的通项公式及代入化简即可解决问题.【详解】（1）设等比数列的公比为，则即，∴，∴或.又即，∵，∴，，∴.（2），，∴，∵为整数，∴时.∴存在时满足条件.题型六：恒成立求参：奇偶讨论型正负相间讨论型：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。3.分奇偶讨论时，对于奇数，带入时要代入1，3，5等奇数。对于偶数，代入时要代入2.4.6.·····1.（重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题）已知数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，0.【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列的性质，再求出其通项公式作答.（2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再结合数列不等式恒成立求解作答.【详解】（1）数列的前项和为，，当时，，两式相减得：，即有，而，即，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，，则，两式相减得：，于是得，显然，，假设存在实数，使得对任意，恒成立，则存在实数，使得对任意恒成立，即，成立，当为正偶数时，，当为正奇数时，，从而，所以存在实数，使得对任意，恒成立，的值为0.2.（天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题）已知为等差数列，为等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和；(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)，(2)(3)见解析【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出和的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求前项和；（3）由（1）得，要使题设不等式恒成立即在上恒成立，讨论的奇偶性，判断是否存在使之成立.【详解】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，∴，若的公比为且，结合题设可得：，又，故，∴.（2）由（1）知：，∴，∴，以上两式相减，得：，∴.（3）由题设，，要使任意恒有，∴，则恒成立当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；综上，存在实数，使得对任意的，恒有.3.（22-23高三·吉林·阶段练习）数列中，，点在直线上．求数列的通项公式；令，数列的前n项和为．求；是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合等差数列的定义可知数列为等差数列，公差为，据此求解其通项公式即可；（2）(ⅰ)由题意可得，然后裂项求和确定其前n项和即可.(ⅱ)由题意分类讨论为奇数和为偶数两种情况可得取值集合为.【详解】（1）因为，在直线，所以，即数列为等差数列，公差为，所以-1.（2）(ⅰ)，，.(ⅱ)存在整数使得不等式(n∈N)恒成立．因为＝.要使得不等式(n∈N)恒成立，应有：当为奇数时，，即-.所以当时，的最大值为－，所以只需－.当为偶数时，，所以当时，的最小值为，所以只需.可知存在，且.又为整数，所以取值集合为.题型七：下标数列下标数列下标数列，最常用的是直接函数代入型，下标数列，要注意随着下标数列的代入，对应的项数和新数列的性质，以及系数列与原母数列是否存在着联系，以利用解题突破1.（2023江苏高考模拟）已知数列满足：（为常数），数列中，。⑴求；⑵证明：数列为等差数列；⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。【答案】（1），，；（2）首项为，公差为的等差数列；（3）见解析.【详解】⑴由已知，得，⑵，又数列是首项为，公差为的等差数列⑶证明：由⑵知若三个不同的项成等比数列，、、为非负整数，且，则：，得若，则，得，这与矛盾。若，则、、为非负整数是有理数2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设是等差数列，是等比数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，根据条件求出，，再代入通项公式即可；（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求和，即可得答案；【详解】（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，，，可得，，解得，，则，，；（2）.3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合，数列满足(1)定义数列，证明：为等比数列(2)记数列的前项和为，求满足的正整数【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）根据数列的递推公式求出，再根据等比数列的定义可证结论正确；（2）求出，再根据累加法求出，然后解方程可得结果.【详解】（1）依题意可得，，，，当时，，又，都适合上式，所以，因为，所以为等比数列.（2）依题意得，，,所以，又，，，，，所以，所以，由，得，得，得，得，得.题型八：高斯取整数列型取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，1.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，(1)求数列和的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；(3)，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）设出数列公比，数列公差，结合题意计算即可得；（2）由，即可得，令，由的值，可得数列的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围；（3）分奇偶讨论后，分别借助错位相减法与裂项相消法求和计算即可得.【详解】（1）设数列首项，设公比，设数列首项，设公差，∵，即，∴，（舍去），，∴．；（2），其中，∴，集合，设，，所以当时，，当时，．计算可得，，，，，因为集合有4个元素，；（3），，设，，则，所以，当n为奇数时，，设，所以.2.（23-24高三·河北保定·）已知等差数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．（说明：）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；（2）采用分组求和和裂项相消法可求得，由取整运算定义可得，分类讨论可求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得：，解得：，.（2）由（1）得：，，；则当时，；当时，；当时，；综上所述：.3.（23-24高三上·天津）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，(1)求数列和的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；(3)，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；（2）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出；（3）设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论.【详解】（1）设数列首项，设公比，设数列首项，设公差，∵，即，∴，（舍去），，∴．；（2），其中，∴，集合，设，，所以当时，，当时，．计算可得，，，，，因为集合有4个元素，．（3），，设①，②，上式①-②得，，所以，当n为奇数时，，则，.题型九：前n项积型不等式恒成立求参注意区分“和”与“积”的公式：1.通项与前项和的关系是：2.可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.，得2.时，，所以1.（23-24高三·江西·阶段练习）已知数列和满足，，且.(1)求和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；(3)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）利用条件得到的关系，再利用倒数法，结合等差数列的定义即可得解；（2）利用裂项求和法即可得解；（3）构造新数列，将问题转化为，再利用作商法求得，从而得解.【详解】（1）依题意，易知，由，得，又，所以（），整理得（），又，则，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则，所以，所以.（2）易知，所以.（3）原不等式可化为，设，则，因为，又，所以，则，即是单调递增数列，所以，由，得，即实数k的取值范围为.2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列满足，数列满足．(1)求，的值及数列的通项公式；(2)若（，），求的取值范围；(3)在数列中，是否存在正整数，，使，，（，，）构成等比数列？若存在，求符合条件的一组的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，；(2)(3)存在，.【分析】（1）由与数列的递推关系证明是等差数列，进而得通项；（2）分离参数得，再构造数列，研究单调性求解最值可得的取值范围；（3）由，，构成等比数列得，由整数的性质【详解】（1）（1）由已知得：，．因为，，所以，而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列的通项公式为．（2）不等式化为：，设，则，所以在上单调递增，所以，因为在上恒成立，所以，所以的取值范围为．（3）若，，（，，）构成等比数列，则，即：，所以，由于，均为正整数，所以奇数必须是完全平方数，又因为，所以，则为奇数的平方，不妨取，，所以，当时，，，即：，不满足题意，舍去；当时，，，即：，，不满足题意，舍去；当时，，，即：，.所以符合条件的一组的值可以是．3.（22-23高三·四川成都）设数列的前项和为，且，数列满足，其中.(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为；(3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值.【答案】(1)证明见解析；(2)(3)【分析】（1）根据数列递推式可得，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案；（3）将原不等式化为，即可分离参数，继而构造函数，判断其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，则，当时，，即，即是以为首项，公差为1的等差数列，故（2）由（1）可得，故，故，则，故；（3），则，即，即对任意正整数都成立，令，则，故，即随着n的增大而增大，故，即，即实数的最大值为.题型十：先放缩再求和型证明不等式常用的数列放缩式还有：，等，解题过程中，注意观察数列特征选择合适的放缩方法.1.（2024·全国·模拟预测）已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前n项和为，，满足，其中是不为零的常数，．(1)是否存在使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．【答案】(1)存在，(2)证明见解析.【分析】（1）由与的关系和等差数列的性质求出的值，或由等差数列的通项公式与前n项和公式代入已知条件中求解.（2）由已知求出数列的通项，得，结合等比数列前n项和公式证明结论.【详解】（1）方法一：由题意可知①，②，由得．因为且，所以．所以③．若存在使得数列为等差数列，则（k是不为0的常数，），代入③化简得到．由于不为常数数列且各项均为正数，所以解得所以．此时，满足且为等差数列．方法二：若是公差为d的等差数列，由，则，整理得到，所以由③可得或．（i）若，由①②解得；（ii）若，代入①②解得，与题意不符．综合以上可知存在使得为公差等于1的等差数列．（2）由于是公比为的等比数列，，所以，又，所以．令可知，所以．因为且，所以，所以，所以，又因为，所以．由于，且当时，，所以，原不等式成立．2.（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据，作差得到，从而是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；（2）由（1）知，再利用放缩法证明即可.【详解】（1）由，当时，，则，当时，，两式相减得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）由（1）知．当时，；当时，，所以，所以，所以当时，．综上，．3.（21-22高三·北京·强基计划）已知数列是公差d不等于0的等差数列，且是等比数列，其中．(1)求的值．(2)若，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据基本量法可求，从而可求的前项和.（2）利用代数变形可得，可证明，从而证明题设中的不等式.【详解】（1）根据题意，有，因此，从而数列是首项为，公比为2的等比数列，有．从而．（2）根据题意，有，因此，分析通项，只需要证明，也即，也即，也即，也即，这显然成立，命题得证．题型十一：插入数型：等差型插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：1.（2023·江苏苏州·统考三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，且满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：．【答案】任意选取①②③，（1）；（2）证明见解析；【分析】（1）选①，已知式变形得，数列是等比数列，求出后，利用可求得（已知）；选②，用累加法求得；选③，替换后同选①；（2）求出，先说明时成立，时，用二项式定理展开可证．【详解】（1）选①，，则，又，所以数列是等比数列，公比为2，所以，，时，，又，所以；选②，，则；选③，，则，即，以下同选①；（2）由（1），所以，时，，时，，时，，时，，时，，上面展开式中至少有6项，所以，综上，．2.（2023上海闵行·统考一模）已知数列的各项均为整数，其前n项和为．规定：若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列为“r关联数列”．（1）若数列为“6关联数列”，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；（3）若数列为“6关联数列”，当时,在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列中是否存在三项，，其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2），证明见解析（3），不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意得到，，且.解得即可求出的通项公式.（2）由（1）得，利用换元法证明数列的最小项为，即可证明对任意，.（3）由（1）可知，当时，，由此可得出.假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，推导出故，这与题设矛盾，所以在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列.【详解】（1）∵为“6关联数列”，∴前6项为等差数列，从第5项起为等比数列.∴，，且.即，解得.∴.（2）由（1）得.：：，：，可见数列的最小项为.，由列举法知：当时，；当时，（），设，则，．（3）由（1）可知，当时，，因为：，.故：.假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则：，即：，即（*）因为，，成等差数列，所以，（*）式可以化简为，即：，故，这与题设矛盾.所以在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列.3.（2023·安徽马鞍山·高三阶段练习）设数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论.试题解析：（Ⅰ）∵，∴，两式相减，得，4分又，∴，∴5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以，，8分（解法1）则，，两式相减，得所以.13分（解法2）设，∴；∴.13分题型十二：插入数列型插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。1.（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据与的关系，可得出，变形可得.然后根据等比数列的通项公式，即可得出.由已知可得，累乘法即可得出；（2）设100项中，来自于数列中的有项.根据已知可推得，然后根据等差数列以及等比数列的前项和公式，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，当时，有，，两式相减得：.又因为，所以，，满足上式.所以，.又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即.又，所以，所以.又，所以，当时，有，，，，，两边同时相乘可得，，所以，.（2）设100项中，来自于数列中的有项.若第100项来自于，则应有，整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意；若第100项来自于，则应有，整理可得，.当时，有不满足，，故，所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项.所以，.2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中学校考）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可．【详解】（1）由题设得：，∵，则，故是首项，公差为2的等差数列，∴，当时，得：，当，由①，②，由①－②整理得：，，∴，故，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.（2）