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文档简介
培优冲刺07数列递推公式与求和归类目录TOC\o"1-3"\p""\u题型一:数列型恒成立求参……………………………1题型二:是否存在型求参………………………………2题型三:恒成立证明型…………………3题型四:求和型不等式证明…………………………3题型五:数列不定方程型………………………………4题型六:恒成立求参:奇偶讨论型………………5题型七:下标数列…………………………6题型八:高斯取整数列型………………………………6题型九:前n项积型不等式恒成立求参………………………7题型十:先放缩再求和型证明不等式……………………………8题型十一:插入数型:等差型…………………………9题型十二:插入数列型……………………10题型十三:新结构19题型压轴………………………11题型一:数列型恒成立求参分离参数法基本步骤为:第一步:首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,第二步:先求出含变量一边的式子的最值,通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步:由此推出参数的取值范围即可得到结论.数列恒成立求参数关键“坑”:数列是以正整数为“变量”的函数,所以求最小值时要注意正整数的取值范围1.(河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题)若数列满足,,m为常数.(1)求证:是等差数列;(2)若对任意,都有,求实数m的取值范围.2..(河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题)已知等比数列满足,,且为等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,,对任意正整数,恒成立,试求的取值范围.3.(重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题)已知正项数列的前项和为,且,数列满足且.(1)分别求数列和的通项公式;(2)若,设数列的前项和为,且,对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.题型二:是否存在型求参一般地,已知函数,不等关系(1)若,,总有成立,故;(2)若,,有成立,故;(3)若,,有成立,故;(4)若,,有成立,故.1.(上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题)设正项数列的前项和为,首项为1,已知对任意整数,当时,(为正常数)恒成立.(1)求证:数列是等比数列;(2)证明:数列是递增数列;(3)是否存在正常数,使得为等差数列?若存在,求出常数的值;若不存在,说明理由.2.(四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题)已知各项均为正数的数列的前n项和为,且为等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)已知,是否存在,使得恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.3.(江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题)已知是数列的前项和,且,数列是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式(2)记数列的前项和为,是否存在实数使得数列成等差数列,若存在,求出实数的值若不存在,说明理由.题型三:恒成立证明型数列与不等式问题要抓住一个中心——函数,两个密切联系:一是数列和函数之间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进行灵活的处理.1.(2024高三·全国·专题练习)已知在数列中,,点,在直线上.(1)求数列的通项公式.(2)设,为数列的前项和,试问:是否存在关于的整式,使得(,且)恒成立?若存在,写出的表达式,并加以证明;若不存在,请说明理由.2.(广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题)在数列中,已知,,且对于任意正整数n都有.(1)令,求数列的通项公式;(2)设m是一个正数,无论m为何值,是否都有一个正整数n使成立.3.(23-24高三上·重庆·阶段练习)已知公比不为1的等比数列的前n项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)是否存在r,s,且使得成等差数列?若存在,求出r,s,t的关系;若不存在,请说明理由.题型四:求和型不等式证明求和型不等式证明:先求和再放缩,放缩时,可以直接放缩,可以借助数列的单调性放缩。求和常用方法1.形如(等差)(等比),用分组求和法,分别求和而后相加减2.形如(等差比)(裂项),用分组求和法,分别求和而后相加减3.形如(,为可以求和的常见数列),用分组求和法,分别求和而后相加减4.错位相减法求数列的前n项和若是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和.5.常见的裂项技巧:;;指数型;对数型.等1.(山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题)已知公差不为零的等差数列的前n项和为,,,,成等比数列,数列的前n项和.(1)求数列和通项公式;(2)求的值;(3)证明:.2.(2023上·山东·高三山东省实验中学校考)已知数列的前n项和为,且.(1)求的通项公式:(2)若,的前n项和为,证明:.3.(2023上·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习)已知数列满足,数列满足,,其中为数列的前项和.(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和,并证明:.题型五:数列不定方程型1.(重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题)已知等差数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)试求所有的正整数,使得为整数.2.(23-24高三·上海·模拟)已知函数的图像过点和.(1)求函数的解析式;(2)记是正整数,是的前n项和,解关于n的不等式;(3)对于(2)中的数列,整数是否为中的项?若是,则求出相应的项;若不是,则说明理由.3.(22-23高三·湖北·联考)已知等比数列的前项和为,首项,若,,成等差数列且.(1)求数列的通项公式;(2)为整数,是否存在正整数使成立?若存在,求正整数及;若不存在,请说明理由.题型六:恒成立求参:奇偶讨论型正负相间讨论型:1.奇偶项正负相间型求和,可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶,一般情况下,先求偶,再求奇。求奇时候,直接代入偶数项公式,再加上最后的奇数项通项。3.分奇偶讨论时,对于奇数,带入时要代入1,3,5等奇数。对于偶数,代入时要代入2.4.6.·····1.(重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题)已知数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)若,数列前项和为,是否存在实数,使得对任意,恒成立,若存在,求出实数的所有取值;若处存在,说明理由.2.(天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题)已知为等差数列,为等比数列,.(1)求和的通项公式;(2)令,求数列的前n项和;(3)记.是否存在实数,使得对任意的,恒有?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.3.(22-23高三·吉林·阶段练习)数列中,,点在直线上.求数列的通项公式;令,数列的前n项和为.求;是否存在整数,使得不等式恒成立?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.题型七:下标数列下标数列下标数列,最常用的是直接函数代入型,下标数列,要注意随着下标数列的代入,对应的项数和新数列的性质,以及系数列与原母数列是否存在着联系,以利用解题突破1.(2023江苏高考模拟)已知数列满足:(为常数),数列中,。⑴求;⑵证明:数列为等差数列;⑶求证:数列中存在三项构成等比数列时,为有理数。2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设是等差数列,是等比数列.已知,,,.(1)求和的通项公式;(2)数列满足,设数列的前项和为,求.3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合,数列满足(1)定义数列,证明:为等比数列(2)记数列的前项和为,求满足的正整数题型八:高斯取整数列型取整函数表示不超过的最大整数,又叫做“高斯函数”,1.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,,,(1)求数列和的通项公式;(2)表示不超过x的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;(3),求数列的前项和.2.(23-24高三·河北保定·)已知等差数列的前项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,定义为不超过的最大整数,例如,,求数列的前项和.(说明:)3.(23-24高三上·天津)已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,,,(1)求数列和的通项公式;(2)表示不超过x的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;(3),数列的前项和为,求证:.题型九:前n项积型不等式恒成立求参注意区分“和”与“积”的公式:1.通项与前项和的关系是:2.可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积:1.,得2.时,,所以1.(23-24高三·江西·阶段练习)已知数列和满足,,且.(1)求和的通项公式;(2)若,求数列的前n项和;(3)若对任意的,恒成立,求实数k的取值范围.2.(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)已知数列满足,数列满足.(1)求,的值及数列的通项公式;(2)若(,),求的取值范围;(3)在数列中,是否存在正整数,,使,,(,,)构成等比数列?若存在,求符合条件的一组的值,若不存在,请说明理由.3.(22-23高三·四川成都)设数列的前项和为,且,数列满足,其中.(1)证明为等差数列,求数列的通项公式;(2)求数列的前项和为;(3)求使不等式,对任意正整数都成立的最大实数的值.题型十:先放缩再求和型证明不等式常用的数列放缩式还有:,等,解题过程中,注意观察数列特征选择合适的放缩方法.1.(2024·全国·模拟预测)已知数列不为常数数列且各项均为正数,数列的前n项和为,,满足,其中是不为零的常数,.(1)是否存在使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(2)若数列是公比为的等比数列,证明:(且).2.(2024·河北邢台·二模)已知数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)求证:.3.(21-22高三·北京·强基计划)已知数列是公差d不等于0的等差数列,且是等比数列,其中.(1)求的值.(2)若,证明:.题型十一:插入数型:等差型插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数,使这个数构成等差数列,可通过构造新数列来求解个数构成等差数列,公差记为,所以:1.(2023·江苏苏州·统考三模)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为2,且满足.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,求证:.2.(2023上海闵行·统考一模)已知数列的各项均为整数,其前n项和为.规定:若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列为“r关联数列”.(1)若数列为“6关联数列”,求数列的通项公式;(2)在(1)的条件下,求出,并证明:对任意,;(3)若数列为“6关联数列”,当时,在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求,并探究在数列中是否存在三项,,其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.3.(2023·安徽马鞍山·高三阶段练习)设数列的前项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列的前项和.题型十二:插入数列型插入数混合型混合型插入数列,其突破口在于:在插入这些数中,数列提供了多少项,其余都是插入进来的。1.(2023·浙江金华·统考模拟预测)已知数列的前项和,,且.数列满足,.(1)求数列,的通项公式;(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中,在任意的,之间插入项,从而构成一个新数列,求数列的前100项的和.2.(2023福建福州·高三福建省福州格致中学校考)已知各项均为正数的数列中,且满足,数列的前n项和为,满足.(1)求数列,的通项公式;(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列,求数列中前40项的和.3.(2022·广东汕头·统考三模)已知各项均为正数的数列中,且满足,数列的前n项和为,满足.(1)求数列,的通项公式;(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列:,,,,,,,,,,……,求数列中前50项的和.题型十三:新结构19题型压轴“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,涉及函数新定义问题,理解新定义,找出数量关系,联想与题意有关的数学知识和方法,再转化、抽象为相应的数学问题作答.关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.1.(2024·浙江嘉兴·二模)已知集合,定义:当时,把集合中所有的数从小到大排列成数列,数列的前项和为.例如:时,,.(1)写出,并求;(2)判断88是否为数列中的项.若是,求出是第几项;若不是,请说明理由;(3)若2024是数列中的某一项,求及的值.2..(2024·北京门头沟·一模)已知数列,数列,其中,且,.记的前项和分别为,规定.记,且,,且(1)若,,写出;(2)若,写出所有满足条件的数列,并说明理由;(3)若,且.证明:,使得.3.(23-24高三下·江苏南通·开学考试)设集合,其中.若对任意的向量,存在向量,使得,则称A是“T集”.(1)设,判断M,N是否为“T集”.若不是,请说明理由;(2)已知A是“T集”.(i)若A中的元素由小到大排列成等差数列,求A;(ii)若(c为常数),求有穷数列的通项公式.
培优冲刺07数列递推公式与求和归类目录TOC\o"1-3"\p""\u题型一:数列型恒成立求参……………………………1题型二:是否存在型求参………………………………3题型三:恒成立证明型…………………6题型四:求和型不等式证明…………………………8题型五:数列不定方程型………………………………11题型六:恒成立求参:奇偶讨论型………………12题型七:下标数列…………………………15题型八:高斯取整数列型………………………………17题型九:前n项积型不等式恒成立求参………………………20题型十:先放缩再求和型证明不等式……………………………23题型十一:插入数型:等差型…………………………26题型十二:插入数列型……………………29题型十三:新结构19题型压轴………………………31题型一:数列型恒成立求参分离参数法基本步骤为:第一步:首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,第二步:先求出含变量一边的式子的最值,通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步:由此推出参数的取值范围即可得到结论.数列恒成立求参数关键“坑”:数列是以正整数为“变量”的函数,所以求最小值时要注意正整数的取值范围1.(河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题)若数列满足,,m为常数.(1)求证:是等差数列;(2)若对任意,都有,求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)等式两边同除以,用等差数列的定义证明;(2)将条件转化为对恒成立,求的最大值即可.【详解】(1)证明:因为,等式两边同除以,得,即,所以数列是首项为,公差为1的等差数列.(2)由(1)得,因此.由对恒成立,得对均成立.因为,不等式两边同除以,得,即对恒成立,当时,取最大值,所以,所以实数m的取值范围为.2..(河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题)已知等比数列满足,,且为等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,,对任意正整数,恒成立,试求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可;(2)由(1)得,利用错位相减法得,则原不等式转化为对任意正整数恒成立,求的最小值即可.【详解】(1)因为数列是等比数列,且满足,所以①,②,又因为为等差数列,所以,即③,联立①②③解得,所以.(2)由(1)得,所以④,⑤,⑤④得,由题意即对任意正整数恒成立,所以恒成立,则即可,又因为,所以,即的取值范围是.3.(重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题)已知正项数列的前项和为,且,数列满足且.(1)分别求数列和的通项公式;(2)若,设数列的前项和为,且,对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【分析】(1)根据与的关系和等差数列的定义可求出,根据递推公式和等比数列的定义求出;(2)根据裂项公式求出,将恒成立化为对任意正整数恒成立,再根据数列的单调性求出的最大值,代入解不等式即可得解.【详解】(1)∵,∴,所以,∴,化简.∵,∴.又,解得,∴是以1为首项,2为公差的等差数列.∴.由,可得,,又,故数列是以2为首项,2为公比的等比数列.则.(2)由(1)知,则,所以,故即对任意正整数恒成立,设,,则,即,则单调递减,,,解得或.故的取值范围为.题型二:是否存在型求参一般地,已知函数,不等关系(1)若,,总有成立,故;(2)若,,有成立,故;(3)若,,有成立,故;(4)若,,有成立,故.1.(上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题)设正项数列的前项和为,首项为1,已知对任意整数,当时,(为正常数)恒成立.(1)求证:数列是等比数列;(2)证明:数列是递增数列;(3)是否存在正常数,使得为等差数列?若存在,求出常数的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析(2是(3)存在,.【分析】(1)由已知条件,可令,代入,即可得到所求出数列通项公式,从而可证是等比数列;(2)讨论公比q是否为1,求得,以及,由单调性的定义即可得证;(3)假设存在正常数c使得为等差数列,结合对数的运算性质和等差数列的通项公式,即可得到所求结论.【详解】(1)因为对任意正整数,当时,总成立,所以时,令,得,即,当时,也成立,所以,所以数列是等比数列;(2)当时,,随着的增大而增大;当,时,,,由,综上可得数列是递增数列;(3)假设存在正常数使得为等差数列.当时,,当时,,由为等差数列,得,此时当时,为等差数列,所以存在使得为等差数列.2.(四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题)已知各项均为正数的数列的前n项和为,且为等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)已知,是否存在,使得恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,或;【分析】(1)由题设且,应用关系求数列通项公式;(2)由(1)知,构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值,即可得结论.【详解】(1)由题设且,当时,,可得;当时,,则;由,故,所以是首项、公差均为1的等差数列,故.(2)由(1)知:,要使,即恒成立,令且,则,若,即,则,在上,递增,上,递减,所以在有最大值,又,对于,当时,,当时,,综上,,故存在或使恒成立.3.(江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题)已知是数列的前项和,且,数列是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式(2)记数列的前项和为,是否存在实数使得数列成等差数列,若存在,求出实数的值若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,.【分析】(1)由等差数列通项公式得出,再由与的关系可得数列的通项公式.(2)由(1)的结论结合错位相减求出,先得出的前三项,由等差数列的性质得出方程解出,再检验即可.【详解】(1)因为,数列是公差为的等差数列,则,因此,当时,,则有,因此,即,数列是常数列,有,所以数列的通项公式.(2)由(1)知,,则,于是得,两式相减得:,因此,有,,,若数列成等差数列,则,解得,当时,,则,从而数列成等差数列,所以存在,使得数列成等差数列.题型三:恒成立证明型数列与不等式问题要抓住一个中心——函数,两个密切联系:一是数列和函数之间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进行灵活的处理.1.(2024高三·全国·专题练习)已知在数列中,,点,在直线上.(1)求数列的通项公式.(2)设,为数列的前项和,试问:是否存在关于的整式,使得(,且)恒成立?若存在,写出的表达式,并加以证明;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,【分析】(1)根据已知条件点在直线上,可得,根据等差数列定义判断为等差数列,即可求解.(2)根据已知条件得,化为,利用累加法求得,结合题意即可求解.【详解】(1)因为点,在直线上,所以,即.又,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以,.(2)因为,所以,所以,即,所以,,,,所以,所以.根据题意(,且)恒成立,所以,所以存在关于的整式,使得(,且)恒成立.2.(广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题)在数列中,已知,,且对于任意正整数n都有.(1)令,求数列的通项公式;(2)设m是一个正数,无论m为何值,是否都有一个正整数n使成立.【答案】(1);(2)存在,详见解析.【分析】(1)由题可得,然后利用等比数列的定义及通项公式即得;(2)由题可知,可得,令,利用等比数列的通项公式可得,即可得出,假设存在正整数满足题意,由题可得,即可求解.【详解】(1)因为,所以,因为,且,所以,且,所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,所以;(2)由(1)可得,所以,令,则,所以,且,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即,所以,无论为何值,假设存在一个正整数使成立,因为,即,可得,取,因此是一个正数,无论为何值,都有一个正整数使成立,取的正整数即可.3.(23-24高三上·重庆·阶段练习)已知公比不为1的等比数列的前n项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)是否存在r,s,且使得成等差数列?若存在,求出r,s,t的关系;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)答案见解析.【分析】(1)利用成等差数列和是等比数列,建立方程,求出公比即可;(2)先假设存在,通过对数列求和,验证为等差数列矛盾,从而说明不存在.【详解】(1)结合题意:成等差数列,所以,由是等比数列,所以,整理得,解得:(舍去),或.(2)假设存在r,s,且使得成等差数列由(1)可知,所以,因为成等差数列,所以,即,整理得:,在上式两边同时除,得到:,又所以,因为,所以,所以存在互不相等的正整数r,s,且时,使得成等差数列.题型四:求和型不等式证明求和型不等式证明:先求和再放缩,放缩时,可以直接放缩,可以借助数列的单调性放缩。求和常用方法1.形如(等差)(等比),用分组求和法,分别求和而后相加减2.形如(等差比)(裂项),用分组求和法,分别求和而后相加减3.形如(,为可以求和的常见数列),用分组求和法,分别求和而后相加减4.错位相减法求数列的前n项和若是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和.5.常见的裂项技巧:;;指数型;对数型.等1.(山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题)已知公差不为零的等差数列的前n项和为,,,,成等比数列,数列的前n项和.(1)求数列和通项公式;(2)求的值;(3)证明:.【答案】(1),(2)(3)证明见解析【分析】(1)根据等差数列的基本量求等差数列的通项,根据找到数列的通项公式,然后再求数列的通项公式.(2)分别求出奇数项和偶偶数项通项公式再求和.(3)裂项相消法求和,再证明.【详解】(1)设等差数列的公差为,由题意得,解得,故数列的通项公式.因为:,当时,,两式相减得,又n=1时,,所以,所以,因为,所以,而,即,所以是以2为首项,2为公比的等比数列,,所以.(2)当k=2m,时,,当k=2m-1,时,所以.(3)由可得=因为,所以,所以.则原命题得证.2.(2023上·山东·高三山东省实验中学校考)已知数列的前n项和为,且.(1)求的通项公式:(2)若,的前n项和为,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】(1)已知求的问题,一定要分和进行讨论;(2)用裂项相加法求和,再分为奇数、偶数讨论,确定的取值范围.【详解】(1)因为,当时,.当时,,所以,,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,故:.(2)证明:因为,所以.当n为奇数时,,因为,所以,所以当n为偶数时,,因为,所以,所以.综上,.3.(2023上·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习)已知数列满足,数列满足,,其中为数列的前项和.(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和,并证明:.【答案】(1)证明见解析,(2),证明见解析【分析】(1)由,有,可得数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)由和的关系得数列的递推公式,累加法求出的通项,得数列的通项,错位相减法求,并确定范围.【详解】(1)由,可得,即,又,所以数列是首项为2,公比为3的等比数列,则有,可得数列的通项公式为;(2)由,有,即,则当时,有:,时也满足,所以数列的通项公式为得,则①,②,②-①得:,解得,由,,所以,又所以递增,所以,因此,.题型五:数列不定方程型1.(重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题)已知等差数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)试求所有的正整数,使得为整数.【答案】(1)(2)【分析】(1)设等差数列的公差为,根据已知条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,可得出数列的通项公式;(2)求出,可得出,根据为正整数可求得的值.【详解】(1)解:设等差数列的公差为,由题意可得,解得,.(2)解:由(1)可得,则,所以,,则,因为为正整数,且为大于的正奇数,故,解得故只有时,为整数成立.2.(23-24高三·上海·模拟)已知函数的图像过点和.(1)求函数的解析式;(2)记是正整数,是的前n项和,解关于n的不等式;(3)对于(2)中的数列,整数是否为中的项?若是,则求出相应的项;若不是,则说明理由.【答案】(1);(2);(3)不是数列中的项,理由见解析【分析】(1)将点A、点B代入函数解析式,求得a,b即可.(2)易得,再由等差数列前n项和公式得到,解不等式即可.(3)令,再论证方程是否有正整数解即可.【详解】(1)因为函数的图像过点和,所以,解得,所以.(2)由(1)知:,所以所以,即为,所以,解得,故(3)由(2)知,设,令,当时,,,,,由(2)知当时,易知,当时,,所以单调递增,当时,,当时,.因此不是数列中的项.3.(22-23高三·湖北·联考)已知等比数列的前项和为,首项,若,,成等差数列且.(1)求数列的通项公式;(2)为整数,是否存在正整数使成立?若存在,求正整数及;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在时满足条件,理由见解析.【分析】(1)由已知求出,即可;(2)根据等比数列求和公式求出,然后将数列的通项公式及代入化简即可解决问题.【详解】(1)设等比数列的公比为,则即,∴,∴或.又即,∵,∴,,∴.(2),,∴,∵为整数,∴时.∴存在时满足条件.题型六:恒成立求参:奇偶讨论型正负相间讨论型:1.奇偶项正负相间型求和,可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶,一般情况下,先求偶,再求奇。求奇时候,直接代入偶数项公式,再加上最后的奇数项通项。3.分奇偶讨论时,对于奇数,带入时要代入1,3,5等奇数。对于偶数,代入时要代入2.4.6.·····1.(重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题)已知数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)若,数列前项和为,是否存在实数,使得对任意,恒成立,若存在,求出实数的所有取值;若处存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,0.【分析】(1)根据给定的递推公式,探讨数列的性质,再求出其通项公式作答.(2)由(1)求出,利用错位相减法求出,再结合数列不等式恒成立求解作答.【详解】(1)数列的前项和为,,当时,,两式相减得:,即有,而,即,因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以数列的通项公式是.(2)由(1)知,,,则,两式相减得:,于是得,显然,,假设存在实数,使得对任意,恒成立,则存在实数,使得对任意恒成立,即,成立,当为正偶数时,,当为正奇数时,,从而,所以存在实数,使得对任意,恒成立,的值为0.2.(天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题)已知为等差数列,为等比数列,.(1)求和的通项公式;(2)令,求数列的前n项和;(3)记.是否存在实数,使得对任意的,恒有?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1),(2)(3)见解析【分析】(1)根据等差、等比数列通项公式,结合题设求基本量,进而写出和的通项公式;(2)由(1)得,应用错位相减法求前项和;(3)由(1)得,要使题设不等式恒成立即在上恒成立,讨论的奇偶性,判断是否存在使之成立.【详解】(1)若的公差为,结合题设可得:,又,故,∴,若的公比为且,结合题设可得:,又,故,∴.(2)由(1)知:,∴,∴,以上两式相减,得:,∴.(3)由题设,,要使任意恒有,∴,则恒成立当为奇数时,恒成立,而,故当且时,存在使其成立;当为偶数时,恒成立,而,故当且时,存在使其成立;综上,存在实数,使得对任意的,恒有.3.(22-23高三·吉林·阶段练习)数列中,,点在直线上.求数列的通项公式;令,数列的前n项和为.求;是否存在整数,使得不等式恒成立?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2).【分析】(1)由题意结合等差数列的定义可知数列为等差数列,公差为,据此求解其通项公式即可;(2)(ⅰ)由题意可得,然后裂项求和确定其前n项和即可.(ⅱ)由题意分类讨论为奇数和为偶数两种情况可得取值集合为.【详解】(1)因为,在直线,所以,即数列为等差数列,公差为,所以-1.(2)(ⅰ),,.(ⅱ)存在整数使得不等式(n∈N)恒成立.因为=.要使得不等式(n∈N)恒成立,应有:当为奇数时,,即-.所以当时,的最大值为-,所以只需-.当为偶数时,,所以当时,的最小值为,所以只需.可知存在,且.又为整数,所以取值集合为.题型七:下标数列下标数列下标数列,最常用的是直接函数代入型,下标数列,要注意随着下标数列的代入,对应的项数和新数列的性质,以及系数列与原母数列是否存在着联系,以利用解题突破1.(2023江苏高考模拟)已知数列满足:(为常数),数列中,。⑴求;⑵证明:数列为等差数列;⑶求证:数列中存在三项构成等比数列时,为有理数。【答案】(1),,;(2)首项为,公差为的等差数列;(3)见解析.【详解】⑴由已知,得,⑵,又数列是首项为,公差为的等差数列⑶证明:由⑵知若三个不同的项成等比数列,、、为非负整数,且,则:,得若,则,得,这与矛盾。若,则、、为非负整数是有理数2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设是等差数列,是等比数列.已知,,,.(1)求和的通项公式;(2)数列满足,设数列的前项和为,求.【答案】(1),;(2).【分析】(1)设是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,根据条件求出,,再代入通项公式即可;(2)利用等差数列和等比数列的前项和公式求和,即可得答案;【详解】(1)设是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,由,,,,可得,,解得,,则,,;(2).3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合,数列满足(1)定义数列,证明:为等比数列(2)记数列的前项和为,求满足的正整数【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】(1)根据数列的递推公式求出,再根据等比数列的定义可证结论正确;(2)求出,再根据累加法求出,然后解方程可得结果.【详解】(1)依题意可得,,,,当时,,又,都适合上式,所以,因为,所以为等比数列.(2)依题意得,,,所以,又,,,,,所以,所以,由,得,得,得,得,得.题型八:高斯取整数列型取整函数表示不超过的最大整数,又叫做“高斯函数”,1.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,,,(1)求数列和的通项公式;(2)表示不超过x的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;(3),求数列的前项和.【答案】(1),(2)(3)【分析】(1)设出数列公比,数列公差,结合题意计算即可得;(2)由,即可得,令,由的值,可得数列的单调性,计算出前五项,即可得的取值范围;(3)分奇偶讨论后,分别借助错位相减法与裂项相消法求和计算即可得.【详解】(1)设数列首项,设公比,设数列首项,设公差,∵,即,∴,(舍去),,∴.;(2),其中,∴,集合,设,,所以当时,,当时,.计算可得,,,,,因为集合有4个元素,;(3),,设,,则,所以,当n为奇数时,,设,所以.2.(23-24高三·河北保定·)已知等差数列的前项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,定义为不超过的最大整数,例如,,求数列的前项和.(说明:)【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得,由此可得;(2)采用分组求和和裂项相消法可求得,由取整运算定义可得,分类讨论可求得.【详解】(1)设等差数列的公差为,由得:,解得:,.(2)由(1)得:,,;则当时,;当时,;当时,;综上所述:.3.(23-24高三上·天津)已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,,,(1)求数列和的通项公式;(2)表示不超过x的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;(3),数列的前项和为,求证:.【答案】(1),(2)(3)证明见解析【分析】(1)设出公比和公差,得到方程组,求出公比和公差,求出通项公式;(2)求出,设,作差法得到其单调性,结合集合有4个元素,求出;(3)设,错位相减法求和得到,设,裂项相消法得到,从而求出,求和证明出结论.【详解】(1)设数列首项,设公比,设数列首项,设公差,∵,即,∴,(舍去),,∴.;(2),其中,∴,集合,设,,所以当时,,当时,.计算可得,,,,,因为集合有4个元素,.(3),,设①,②,上式①-②得,,所以,当n为奇数时,,则,.题型九:前n项积型不等式恒成立求参注意区分“和”与“积”的公式:1.通项与前项和的关系是:2.可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积:1.,得2.时,,所以1.(23-24高三·江西·阶段练习)已知数列和满足,,且.(1)求和的通项公式;(2)若,求数列的前n项和;(3)若对任意的,恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(1),,(2)(3)【分析】(1)利用条件得到的关系,再利用倒数法,结合等差数列的定义即可得解;(2)利用裂项求和法即可得解;(3)构造新数列,将问题转化为,再利用作商法求得,从而得解.【详解】(1)依题意,易知,由,得,又,所以(),整理得(),又,则,所以数列是首项为,公差为2的等差数列,则,所以,所以.(2)易知,所以.(3)原不等式可化为,设,则,因为,又,所以,则,即是单调递增数列,所以,由,得,即实数k的取值范围为.2.(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)已知数列满足,数列满足.(1)求,的值及数列的通项公式;(2)若(,),求的取值范围;(3)在数列中,是否存在正整数,,使,,(,,)构成等比数列?若存在,求符合条件的一组的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1),,;(2)(3)存在,.【分析】(1)由与数列的递推关系证明是等差数列,进而得通项;(2)分离参数得,再构造数列,研究单调性求解最值可得的取值范围;(3)由,,构成等比数列得,由整数的性质【详解】(1)(1)由已知得:,.因为,,所以,而,所以是以1为首项,2为公差的等差数列,所以数列的通项公式为.(2)不等式化为:,设,则,所以在上单调递增,所以,因为在上恒成立,所以,所以的取值范围为.(3)若,,(,,)构成等比数列,则,即:,所以,由于,均为正整数,所以奇数必须是完全平方数,又因为,所以,则为奇数的平方,不妨取,,所以,当时,,,即:,不满足题意,舍去;当时,,,即:,,不满足题意,舍去;当时,,,即:,.所以符合条件的一组的值可以是.3.(22-23高三·四川成都)设数列的前项和为,且,数列满足,其中.(1)证明为等差数列,求数列的通项公式;(2)求数列的前项和为;(3)求使不等式,对任意正整数都成立的最大实数的值.【答案】(1)证明见解析;(2)(3)【分析】(1)根据数列递推式可得,整理变形结合等差数列定义即可证明结论,并求得数列的通项公式;(2)利用错位相减法即可求得答案;(3)将原不等式化为,即可分离参数,继而构造函数,判断其单调性,将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,即可求得答案.【详解】(1)当时,,则,当时,,即,即是以为首项,公差为1的等差数列,故(2)由(1)可得,故,故,则,故;(3),则,即,即对任意正整数都成立,令,则,故,即随着n的增大而增大,故,即,即实数的最大值为.题型十:先放缩再求和型证明不等式常用的数列放缩式还有:,等,解题过程中,注意观察数列特征选择合适的放缩方法.1.(2024·全国·模拟预测)已知数列不为常数数列且各项均为正数,数列的前n项和为,,满足,其中是不为零的常数,.(1)是否存在使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(2)若数列是公比为的等比数列,证明:(且).【答案】(1)存在,(2)证明见解析.【分析】(1)由与的关系和等差数列的性质求出的值,或由等差数列的通项公式与前n项和公式代入已知条件中求解.(2)由已知求出数列的通项,得,结合等比数列前n项和公式证明结论.【详解】(1)方法一:由题意可知①,②,由得.因为且,所以.所以③.若存在使得数列为等差数列,则(k是不为0的常数,),代入③化简得到.由于不为常数数列且各项均为正数,所以解得所以.此时,满足且为等差数列.方法二:若是公差为d的等差数列,由,则,整理得到,所以由③可得或.(i)若,由①②解得;(ii)若,代入①②解得,与题意不符.综合以上可知存在使得为公差等于1的等差数列.(2)由于是公比为的等比数列,,所以,又,所以.令可知,所以.因为且,所以,所以,所以,又因为,所以.由于,且当时,,所以,原不等式成立.2.(2024·河北邢台·二模)已知数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据,作差得到,从而是以为首项,为公比的等比数列,即可求出其通项公式;(2)由(1)知,再利用放缩法证明即可.【详解】(1)由,当时,,则,当时,,两式相减得,即,因此数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.(2)由(1)知.当时,;当时,,所以,所以,所以当时,.综上,.3.(21-22高三·北京·强基计划)已知数列是公差d不等于0的等差数列,且是等比数列,其中.(1)求的值.(2)若,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)根据基本量法可求,从而可求的前项和.(2)利用代数变形可得,可证明,从而证明题设中的不等式.【详解】(1)根据题意,有,因此,从而数列是首项为,公比为2的等比数列,有.从而.(2)根据题意,有,因此,分析通项,只需要证明,也即,也即,也即,也即,这显然成立,命题得证.题型十一:插入数型:等差型插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数,使这个数构成等差数列,可通过构造新数列来求解个数构成等差数列,公差记为,所以:1.(2023·江苏苏州·统考三模)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为2,且满足.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,求证:.【答案】任意选取①②③,(1);(2)证明见解析;【分析】(1)选①,已知式变形得,数列是等比数列,求出后,利用可求得(已知);选②,用累加法求得;选③,替换后同选①;(2)求出,先说明时成立,时,用二项式定理展开可证.【详解】(1)选①,,则,又,所以数列是等比数列,公比为2,所以,,时,,又,所以;选②,,则;选③,,则,即,以下同选①;(2)由(1),所以,时,,时,,时,,时,,时,,上面展开式中至少有6项,所以,综上,.2.(2023上海闵行·统考一模)已知数列的各项均为整数,其前n项和为.规定:若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列为“r关联数列”.(1)若数列为“6关联数列”,求数列的通项公式;(2)在(1)的条件下,求出,并证明:对任意,;(3)若数列为“6关联数列”,当时,在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求,并探究在数列中是否存在三项,,其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2),证明见解析(3),不存在,理由见解析【分析】(1)根据题意得到,,且.解得即可求出的通项公式.(2)由(1)得,利用换元法证明数列的最小项为,即可证明对任意,.(3)由(1)可知,当时,,由此可得出.假设在数列中存在三项,,(其中,,成等差数列)成等比数列,则,推导出故,这与题设矛盾,所以在数列中不存在三项,,(其中,,成等差数列)成等比数列.【详解】(1)∵为“6关联数列”,∴前6项为等差数列,从第5项起为等比数列.∴,,且.即,解得.∴.(2)由(1)得.::,:,可见数列的最小项为.,由列举法知:当时,;当时,(),设,则,.(3)由(1)可知,当时,,因为:,.故:.假设在数列中存在三项,,(其中,,成等差数列)成等比数列,则:,即:,即(*)因为,,成等差数列,所以,(*)式可以化简为,即:,故,这与题设矛盾.所以在数列中不存在三项,,(其中,,成等差数列)成等比数列.3.(2023·安徽马鞍山·高三阶段练习)设数列的前项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【详解】试题分析:(1)给出与的关系,求,常用思路:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与的关系,再求;由推时,别漏掉这种情况,大部分学生好遗忘;(2)一般地,如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前项的和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后做差求解;(3)利用不等式放缩时掌握好规律,怎样从条件证明出结论.试题解析:(Ⅰ)∵,∴,两式相减,得,4分又,∴,∴5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,所以,,8分(解法1)则,,两式相减,得所以.13分(解法2)设,∴;∴.13分题型十二:插入数列型插入数混合型混合型插入数列,其突破口在于:在插入这些数中,数列提供了多少项,其余都是插入进来的。1.(2023·浙江金华·统考模拟预测)已知数列的前项和,,且.数列满足,.(1)求数列,的通项公式;(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中,在任意的,之间插入项,从而构成一个新数列,求数列的前100项的和.【答案】(1),(2)【分析】(1)根据与的关系,可得出,变形可得.然后根据等比数列的通项公式,即可得出.由已知可得,累乘法即可得出;(2)设100项中,来自于数列中的有项.根据已知可推得,然后根据等差数列以及等比数列的前项和公式,即可得出答案.【详解】(1)由已知可得,当时,有,,两式相减得:.又因为,所以,,满足上式.所以,.又,所以是以4为首项,2为公比的等比数列,所以,即.又,所以,所以.又,所以,当时,有,,,,,两边同时相乘可得,,所以,.(2)设100项中,来自于数列中的有项.若第100项来自于,则应有,整理可得,,该方程没有正整数解,不满足题意;若第100项来自于,则应有,整理可得,.当时,有不满足,,故,所以,数列中含有10项数列中的项,含有90项数列中的项.所以,.2.(2023福建福州·高三福建省福州格致中学校考)已知各项均为正数的数列中,且满足,数列的前n项和为,满足.(1)求数列,的通项公式;(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列,求数列中前40项的和.【答案】(1),;(2).【分析】(1)利用平方差公式将变形,得出数列是等差,可求出数列的通项;利用消去得到与的递推关系,得出数列是等比数列,可求出通项;(2)分析中前40项中与各有多少项,分别求和即可.【详解】(1)由题设得:,∵,则,故是首项,公差为2的等差数列,∴,当时,得:,当,由①,②,由①-②整理得:,,∴,故,∴数列是首项为1,公比为3的等比数列,故.(2)
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