济宁市2024年高考数学一模试卷含解析

济宁市2024年高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若不相等的非零实数％,V,z成等差数列，且x,y,z成等比数列，则二=（）

57

A.----B・—2C.2D・一

22

3.已知三棱柱ABC-451G的所有棱长均相等，侧棱惧，平面ABC,过人用作平面a与8。平行，设平面a与

平面ACG4的交线为/，记直线/与直线4民3CC4所成锐角分别为。，B，y,则这三个角的大小关系为（）

A.a>y>/3B.a=/3>y

C.y>/3>aD.a>(3=Y

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

.2万

D.4+—

3

5.若复数z满足（l+i）z=|3+4"，则z的虚部为（）

55

A.5B,-C.--D.-5

22

6.关于函数/（%）=-sin[x-在区间（g/j的单调性，下列叙述正确的是（）

A.单调递增B.单调递减C.先递减后递增D.先递增后递减

7.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，

图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）

A.1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个

B.第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月份的空气质量最差.

8.如图，在八ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM，

AC=nAN>贝!J"2+〃=（）

N

B

OC

3

A.1B.-C.2D.3

2

9.已知集合A={%|%2<1},B={x|lnx<l},则

A.AB={x|0<x<e}B.AB={%|x<e}

C.AB={x|O<x<e]D.AiB={x\-l<x<e}

10.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计

如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）

40G

35/

30y

25q

20u

15

10

5/

o

储蓄衣食住旅行就医储蓄衣食住旅行就医

A.21250元B.28000元C.29750元D.85000元

11.已知偶函数/（%）在区间（-8,0］内单调递减,

b,。满足（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

y<2

12.若实数X、y满足则z=%+2y的最小值是（）

y>x

A.6B.5C.2D.-

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知“在AABC中，「n=二h二二c二"，类比以上正弦定理，“在三棱锥A-5C。中，侧棱AB与平面ACD所

sinAsinBsinC

S

成的角为£、与平面5Q）所成的角为二，则S道2

3123AAe£）

14.已知圆O:V+y2=4,直线/与圆。交于P,Q两点，A（2,2）,若422+A。=40,则弦PQ的长度的最大

值为.

15.如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折

痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三

棱柱的体积为.

16.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.三

斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜

平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积.所谓“实”、

“隅”指的是在方程/次2=4中，p为“隅，，，g为“实”.即若ABC的大斜、中斜、小斜分别为a,b,c,贝！J

1F（^a2+c2-b2

2a2c2—_——-----.已知点。是边上一点，45°.

S=4-LI2yABCA5AC=3,BC=2,ZACD=

tan/3CD=8+A,贝qABC的面积为.

7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知六面体ABCD所如图所示，跖1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD=45,

FM1

AB=AF=AD=2,以是棱ED上的点，且满足——=-.

MD2

（1）求证：直线8尸〃平面MAC；

（2）求二面角A—MC—。的正弦值.

18.（12分）已知｛4｝为等差数列，也｝为等比数列，｛4｝的前"项和为S"，满足q=3,瓦=1,b2+S2=10,

a5-2b2=a3.

(1)求数列｛aj和也｝的通项公式；

f2

—〃为奇数

⑵令c.=S/，数列｛%｝的前“项和，，求百.

bn,〃为偶数

221

19.(12分)设椭圆C：x彳+v方=l(a〉6〉0)的右焦点为尸，右顶点为A,已知椭圆离心率为,，过点E且与x轴

垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设过点A的直线/与椭圆C交于点3(3不在X轴上)，垂直于/的直线与/交于点与y轴交于点若

BF±HF,且NMQ4WNM4O,求直线/斜率的取值范围.

20.(12分)已知椭圆C:；+y=i,点为半圆为2+丁2=3(丁20)上一动点，若过P作椭圆C的两切线分

别交X轴于"、N两点.

(1)求证：PM1PN；

(2)当-1(时，求pWN|的取值范围.

21.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,点瓦/分别是线段DC,3C的中点，分别将沿AE

折起，ACEF沿EF折起,使得。，。重合于点G,连结AF.

(I)求证：平面GEFL平面GAP；

(II)求直线GF与平面GAE所成角的正弦值.

22.(10分)已知函数〃尤)=卜―1|+卜+3|.

(I)解不等式不⑺之6；

(II)设g(x)=-x2+2再其中。为常数.若方程/(x)=g(x)在(0,+8)上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取

值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

Y+7X7

由题意，可得y=-z2=xy,消去y得好+亚―2z?=0,可得一=—2,继而得到丁=—二,代入即得解

2z2

【详解】

由%y,z成等差数列，

所以y==一，又x,z,y成等比数列，

所以z2=孙，消去y得好+应―2Z2=0，

所以+--2=0,解得土=1或土=—2,

\zjzzZ

因为x,y,z是不相等的非零实数，

X7

所以一二—2,此时y=—

z2

所以=—2—L=—9.

z22

故选：A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

2、B

【解析】

根据函数为偶函数排除AC,再计算/（；）=；ln3>0排除。得到答案.

【详解】

1-I-Y

/（x）=xln--定义域为：（—1』）

1-x

/(-%)=-xln—=xln—=/(x),函数为偶函数，排除A,C

1+x\-x

/(1)=1ln3>0,排除。

故选3

【点睛】

本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.

3、B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，〃G=CG，GEi=AG，设。为AG的中点，。1为Gg的中点,

由图可知过A用且与BC］平行的平面e为平面AB^,所以直线I即为直线AD,,

由题易知，NRAB,NQCB的补角，N，AC分别为。，(3,7,

设三棱柱的棱长为2,

在AQAB中，D[B=2RAB=2,AD1=245,

（2百『+4—（2石『7575

cosZD.AB=——--------cosiz=—!

2x2x261010

在AqBC中，0田=mBC=2,0^=5

cosNOB.（国+"（而）[芯

2x2x«1010

在AD]AC中，CD1=4,AC=2,AQ=275,

cosZD1AC=^=—,/.cos6z=—,

27555

cosa=cosP<cosy,:.a=)3>y.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

4、A

【解析】

观察可知，这个几何体由两部分构成，：一个半圆柱体，底面圆的半径为1,高为2；一个半球体，半径为1,按公式计

算可得体积。

【详解】

设半圆柱体体积为匕，半球体体积为匕，由题得几何体体积为

V=V.+Vy=7rxl2x2x—+—XTTX13X—,故选A。

122323

【点睛】

本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

5、C

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

由(l+i)z=|3+4/|=732+42=5»

得-5_5(l-z)_55

得5不-而而丁丁子

••.z的虚部为-

2

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

6、C

【解析】

先用诱导公式得/(x)=-sin=cosx+(，再根据函数图像平移的方法求解即可.

【详解】

函数/(x)=-sin=cosx+g的图象可由y=cosx向左平移g个单位得到，如图所示,/(尤)在|,加上先

【点睛】

本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.

7、D

【解析】

由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差.故本题答案选D.

8,C

【解析】

连接AO,因为。为5c中点，可由平行四边形法则得AO=g(AB+AC),再将其用人〃，AN表示.由M、0、N

niyj

三点共线可知，其表达式中的系数和'+」=1,即可求出根+〃的值.

22

【详解】

连接40,由。为5c中点可得，

|rnH

AO=-(AB+AC)=—AM+^AN,

M,。、N三点共线，

mn

—=1,

22

m+n=2.

故选：C.

A

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.

9、D

【解析】

因为A={x|尤2<1}={%|-1<%<1},B={x|Inx<1}={%10<x<e),

所以AB={x|O<x<l},AB={x\-l<x<e],故选D.

10、A

【解析】

根据2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%得到就医费用80000x10%=8000,再根据2019年的

就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收入15%,

得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.

【详解】

因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%

所以就医费用80000x10%=8000

因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，

所以2019年的就医费用12750元，

而2019年的就医费用占总收人15%

所以2019年的家庭总收人为12750+15%=85000

而储畜费用占总收人25%

所以储畜费用：85000x25%=21250

故选：A

【点睛】

本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.

11、D

【解析】

2

首先由函数为偶函数，可得函数/（%）在［0,+8）内单调递增，再由log虚G>sin713,即可判定大小

>7

【详解】

因为偶函数/（九）在（f,0］减，所以/（%）在［（）,”）上增,

故选：D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

12>D

【解析】

根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函

数得答案

【详解】

><2

作出不等式组x+y21所表示的可行域如下图所示：

y>x

由z=x+2y得y=—gx+z,平移直线y=-gx+z,

当该直线经过可行域的顶点4时，该直线在丁轴上的截距最小，

113

此时z取最小值，即2=;;+2><—=

mhi222

故选：D.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1a3A/2-^6

io>------------

2

【解析】

类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角.

【详解】

—‘AACQSS1I1T丁3亚-屈

sin^sin—，故SMCD~疝红一娓+版-2'

)124^

【点睛】

本题考查类比推理.类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等.

14、272

【解析】

取PQ的中点为V,由AP2+AQ2=4O可得A〃2—。“2=16,可得M在x+y+2=0上，当最小时，弦PQ

的长才最大.

【详解】

2222

设〃为PQ的中点，2(AP+AQ)=(2AM)+PQ,即AP?+人。=24M2+，

即40=232+2(。。2—。〃2),2Q=AM-+4-OM\AM2-OM~=16.

设M(x,y),贝(J(x—2)2+(y—2)2-(/+y2)=[6,^x+y+2=0,

所以。=a=3,P“=2VL

故答案为：2&

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.

15、1

【解析】

由题意得正三棱柱底面边长6,高为由此能求出所得正三棱柱的体积.

【详解】

如图，作交BC于O,AO=A/122-62=673*

由题意得正三棱柱底面边长防=6,高为h=M，

二所得正三棱柱的体积为：

V=S.-/z=—x6x6xsin60°x^3=27.

iXnLfFtLFr2

故答案为：L

【点睛】

本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求

解能力，求解时注意翻折前后的不变量.

3^/15

l1bK、-----•

4

【解析】

利用正切的和角公式求得tanZACB，再求得cosZACB，利用余弦定理求得A6,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.

【详解】

tanZAC§=tan(ZAC£>+N5C£>)=tanNACD+tanNBC。=一岳，所以cosNACB=—工，由余弦定理可知

1-tanZACDtanZBCD4

222

AB=AC+JBC-2ACBCCOSZACB=16.得AB=4.根据“三斜求积术”可得

S2=-4、a#+22-32]]=曹，所以s=l^.

4[I2JJ164

【点睛】

本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式，余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力，难度

较易.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)Y垂

18

【解析】

(1)连接3。，设BQcAC=O,连接M。.通过证明MO/ABF,证得直线6尸〃平面AMC.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面MAC和平面MCD的法向量，计算出二面角A-MC-。的正弦值.

【详解】

(1)连接6。，设血cAC=O,连接MO,

2

因为AZ)〃_BC,所以/\BOCs/\DOA,所以---=----

OBBCT

DO

-m,A/D2

在一EBD中，因为标=,~OB

所以MO且MOu平面MAC,

故3尸〃平面MAC.

(2)因为AD〃3C,AB=2,BC=1,AD=2,CD=#>,所以ABLAD,

因为BEAF,BE1平面ABCD,所以”J_平面ABC。,

所以AF_LAB,AF1AD,

取AB所在直线为x轴，取AO所在直线为V轴，取AF所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得8(2,0,0),C(2,l,0),D(0,2,0),E(2,0,3),尸(0,0,2)

FM1

所以。尸二(0,—2,2),因为——

MD2

所以DM=：。尸=

所以点M的坐标为

所以AC=(2,1,0),AM=吟3，设加=(x,y,z)为平面"AC的法向量,

2x+y=0

m-AM=0

则=>24，令x=1,解得y=-2,z=1,

m-AC=0—y+—2=0

133

所以m=(1,—2,1),即加=(1,-2,1)为平面MAC的一个法向量.

CM=f-2,-1,|LCD=(-2,1,0)

同理可求得平面MCD的一个法向量为n=(1,2,2)

/1-4+21

所以3〈私〃〉=装工=一丽

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

24

18、(1)an=2n+l,4=2"\(2)T2=^_+("-^.

2n2n+l3

【解析】

(1)设｛4｝的公差为d,｛2｝的公比为q,由基本量法列式求出"国后可得通项公式;

(2)奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和.

【详解】

⑴设｛4｝的公差为d,低｝的公比为q,由d+s?=io,生一2d=%•得：

q+6+d=10/d=2

,3+4d-2q=3+2d'解得;"=2'

nl

.•.%=3+25-1)=2"+1,bn=2-；

(2)由q=3,a“=2〃+1得S,,="(〃+2),

211,

〃为奇数时，c„=—=---------〃为偶数时，c“=2"T,

Snnn+2

T2n=(ci+C3++C2n-1)+(C2+C4++C2«)

11+22，I)=1—」-+2d)=2+2(4T)

=[(1--)+(---)++(-)]+(2+23+

3352n-l2n+l2n+l1-42n+l3

【点睛】

本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前九项和公式，

求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前〃项和公式得出相应结论.数列求和问题，对不是

等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组(并项)求和法，倒序相加

【解析】

2b2c222

(I)由题意可得工=3,e=—,a^b+c,解得即可求出椭圆的C的方程;

aa

(II)由已知设直线I的方程为y=k(x-2)，(际0),联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根

与系数的关系求得B的坐标，再写出所在直线方程，求出H的坐标，由解得yH.由方程组消去y,解

得知,由NMQ4WNAMO,得到xM>1,转化为关于k的不等式，求得k的范围.

【详解】

(I)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3,

所以2工b2二3,

a

1c1

因为椭圆离心率e为大，所以一=大,

2a2

又片="+，

解得4=2,c=l9b—若，

22

所以椭圆C的方程为L+2L=1；

43

（II）设直线/的斜率为左亿。0）,贝!Jy=Mx—2）,设8（%B，〉B），

y=攵(%-2)

2

由fy_得(4K+3)/—16汰2^+16汰2—12=0,

------1------=1

143

解得尤=2,或》=竺£,由题意得％=吟_2

4左2+34左2+3

—12k

从而犷

由（I）知，网1,0）,设H（0,%）,

（Q-4P）

所以阳=（T%）,“=

因为BF上HF,所以BFHF=0,

4左2-912ky9-4k2

所以H

442+3+442+3=0)解得yH

12k

19一4"2

所以直线MH的方程为y=-Lx+,

k12k

y=左(％-2)

20k2+9

设“国,坨），由＜19-4产消去九解得知二所臼'

y=——xH-------

■k12k

在AMAO中，ZMOA<ZMAO^\MA\<\MO\f

222

即(如-2)+yM<xM+yM9

20/+9

>1

所以31，即可询9

解得及〈—逅，或kN®

44

所以直线/的斜率的取值范围为-8,-手[。]手,+8.

【点睛】

本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，

属于难题.

20、（1）见解析；（2）[26,2n].

【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两

切线PM、PN的斜率都存在，可设切线的方程为y-%=左（1-%）,将该直线的方程与椭圆的方程联立，由A=0

可得出关于左的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为-1,进而可得出结论；

（2）求出点〃、N的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出悭叫=加干4^1，换元

/=2—片目1,2],可得出照明=2,2[+力-：，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】

（1）由于点P在半圆好+，2=3（丁》0）上，则焉+$=3.

①当两切线。加、7W中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为x=拒，丁=1或%=-血，y=i,此时

PM1PN；

②当两切线。拉、PN的斜率都存在时，设切线的方程为y—%=左（大一%）（PM、PN的斜率分别为41、左2），

222

,I=>(i+2k)x+4k(yQ-kx0)x+2(yQ-kxQ)-2=0

2222

A=16Z:(y0-fcc0)-4(l+2Z:)[2(y0-fcc0)-2]=0,

2

(XQ-2)k-2x0y0k+(^-1)=0,=-1,:.PMLPN.

综上所述，PM±PN；

c、

(2)根据题意得加x-^,O、NX。-

oAo

\^17I

\MN\=A_Ak]—k?

k\左2k[k]

))

2/t+2(t+lr3

令/=2—片目1,2],则|MN|=14

所以，当1=1时，I肱V|=2瓜当1■=」时，I肱V|.=2A/3.

,IImaxj2।Imin

因此，|〃N|的取值范围是［2百,2指］.

【点睛】

本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.

21、(I)详见解析；(II)逑

9

【解析】

(1)根据比，&4,GELGF,可得GE,平面G4F,故而平面GE尸，平面G4b.

(II)过P作EHLAG于则可证平面G4E,故/网汨为所求角，在AAG产中利用余弦定理计算

cosZFGH,再计算sinNFGH.

【详解】

解：(1)因为侬，64,GELGF,GEGF=G,GEl平面GAP,GVu平面GA尸

所以GEL平面GAb,

又GEt平