山东省2024年高考冲刺数学模拟试题含解析

山东省2024年高考冲刺数学模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人=出|x>0},B={xIx2-x+b=0},若Ac6={3},则6=()

A.-6B.6C.5D.-5

22

2.已知双曲线C:三—•=1(a>0,Z?>0),以点尸（瓦0）为圆心，。为半径作圆P,圆尸与双曲线C的一条

ab

渐近线交于N两点,若NMPN=90°,则C的离心率为（）

A.72B.73D.立

2

3.若函数〃%）=（炉-如+2）/（6=2.71828…为自然对数的底数）在区间［1,2］上不是单调函数，则实数加的取值

范围是（）

510

A.25TC.

4.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（）

（子始）

A.S>1B.S>2C.S>lg99D.5>lg98

5.若复数z=（3T）（1+。，则|z|=（）

A.2夜B.2V5C.VWD.20

6.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［0,+8）的是（）

A.y=|lg（尤+1）1B.y=£C.丁=2"D.y=ln|%|

7.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所

示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线皿时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等

区域，。表示其面积，S为△OAZ的面积，将Gini=£称为基尼系数.

累

计

收

入

一

，

曰

分

比

累计人口百分比（%）

对于下列说法：

①Gini越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为丁=/（*）,则对Vxe（0,l）,均有3>1；

X

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=V（xe［0,l］）,则Gini=（；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x\x^［0,1］）,则Gini=；.

其中正确的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

8.已知复数Z1=1+5(aeR),Z2=l+2i(i为虚数单位)，若五为纯虚数，则。=(

)

Z2

11

A.—2B.2C.-----D.一

22

9.已知复数2=。+»,"氏，若|z|=2,则。的值为（）

A.1B.73C.±1D.±73

10.已知复数z满足z-（l+2z）=5（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知函数/(x)=ga?+x2(a>o).若存在实数^(—1,0),且x°w—使得/(%)=/(—；),则实数。的

取值范围为()

22121Q

A.(j,5)B.(j,3)0(3,5)C.(y,6)D.(—,4)0(4,6)

12.已知三棱柱

ABC-A4G的6个顶点都在球O的球面上.若43=3,AC=4,AB±AC,AAi^12,则球O的半径为()

A.B.2回C.yD.3M

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在ABC中，AB=6BC=1,ZC=—,则AC=.

14.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候

选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比

值)最高可能为百分之.

“我身边的榜样”评选选票

候选人符号

甲注：

1.同意回“。”，不同意lSl“x”.

乙2.母称选票“。”的个藜不超过2时才为有效票.

丙

15

15.若J（。一公=—,则。=

o3

16.已知双曲线与-与=1(心0,方>0)与抛物线V=8x有一个共同的焦点尸，两曲线的一个交点为P,若|尸P|=5,则点

a"b~

F到双曲线的渐近线的距离为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在ABC中，A、B、C的对应边分别为。、b、。，已知a=2,c=2百，cosC=一一.

2

(1)求A；

(2)设M为中点，求的长.

18.(12分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为矩形，侧面？底面ABC。，”为棱A5的中点，E

为棱。C上任意一,点,且不与Z）点、C点重合.AB=2,AD=PA.—LPH-A/2•

（1）求证：平面APE*_L平面ABC。；

（2）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为好？若存在，求出点E的位置；若不存在，请

3

说明理由.

22

19.（12分）已知椭圆£:=+==1（。〉6〉0）的左，右焦点分别为K，F2,\FlF2\^2,M是椭圆E上的一个动

ab

点，且△〃耳心的面积的最大值为JL

（1）求椭圆E的标准方程，

（2）若A（q,O）,3（0,①，四边形A3C。内接于椭圆E,AB//CD,记直线A。，5c的斜率分别为匕，k2,求证:左凡

为定值.

20.（12分）如图，过点又（2,2）且平行与*轴的直线交椭圆］+丁=机（加〉0）于4、B两点,且

（1）求椭圆的标准方程；

11

（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D,直线AC、5。分别交直线％=2于点E、F,求证：加耳一口可是

定值.

21.（12分）如图1,AAZJC与AABC是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30°ZABC=ZADC=90°，AB=2,连接是BD,石边6。上一点，过E作EF11BD,交CD

于点r，沿所将ACEF向上翻折，得到如图2所示的六面体尸-ABE阳,

p

I)

图I图2

(1)求证：BD1AP;

J?

(2)设BE=2ECQeR),若平面PEF上底面ABEFD，若平面R43与平面PD户所成角的余弦值为手，求X的

值；

(3)若平面PE产，底面A3EFD，求六面体尸-A3EFD的体积的最大值.

22.(10分)如图，在四面体ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=3O。，二面角C—AB—。为60，求异面直线与所成角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由AcB={3},得3eB,代入集合B即可得。.

【详解】

AnB={3},:.3EB,:.9-3+b^0,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

2,A

【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆尸与双曲线C的一条渐近线交于两点，且NMPN=90。，则可根据圆心

到渐近线距离为三a列出方程，求解离心率.

2

【详解】

不妨设双曲线C的一条渐近线法-殴=。与圆P交于

A2A2J?

因为NMPN=90°,所以圆心尸到法-冲=0的距离为：/=一=二。,

J/+/c2

即2c2-2/=缶°，因为e=£〉l,所以解得e=0.

a

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题.对于离心率求解问题，关键是建立

关于a，c的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关

系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.

3、B

【解析】

求得了(%)的导函数/1(X),由此构造函数g(x)=X2+(2-m)x+2-m,根据题意可知g(x)在(1,2)上有变号零点.

由此令g(x)=0,利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.

【详解】

［尤2+^2-m)x+2-m^,

设g(x)=x2+(2-m)x+2-m,

要使/(%)在区间［1,2］上不是单调函数，

即g。)在(1,2)上有变号零点,令g(%)=0,

则x2+2x+2=m(x+l),

令/=x+l«2,3）,则问题即〃z=f在小（2,3）上有零点，由于/+:在（2,3）上递增,所以机的取值范围是

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于

中档题.

4、C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，，=1,S=lg2；

3

第二次，，=2,S=lg2+lg-=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

・・・；

99

第九十八次，1=98,S=lg98+lg—=lg99；

98

第九十九次，i=99,S=lg99+lg^=lgl00=2,

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

5、B

【解析】

化简得到z=（3—/）（1+z）=4+2"再计算模长得到答案.

【详解】

z=(3-z)(l+z)=4+2z,故目=而=2逐.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.

6,B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A,y=|ig(x+i)|图象如下图所示：

则函数y=|ig(x+i)|在定义域上不单调，4错误;

则y=4在定义域上单调递增，且值域为3正确;

对于C,y=2"的图象如下图所示：

则函数y=2'单调递增，但值域为(0,+“)，C错误;

对于。，y=InW的图象如下图所示：

则函数y=hi|x|在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

7、A

【解析】

对于①，根据基尼系数公式Gini=£,可得基尼系数越小，不平等区域的面积4越小，国民分配越公平，所以①正确.

对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得Vxe(O,l),均有/(x)<X,可得△丑<1,所以②错误.对于

X

1

③，因为。气&-r心小上-宗相金，所以Gini=£=¥=:，所以③错误.对于④，因为

23633

2

1

a=[\x-^)dx=(^x2~~x4)lo=7.所以Gini=?=?=〈，所以④正确.故选A.

J。244d12

2

8、C

【解析】

把4=1+5(。€r)，Z2=1+27・代入且，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可.

Z2

【详解】

<ZI=1+勿(〃£尺)，z2=1+2z,

Z11+ai(1+山)(1一2i)1+2Qa-2.

,--=----------=----------------------------=---------------1------------1

''z21+2/(1+20(1-2055'

•.•五为纯虚数,

Z2

1+2〃=0

解得。=—

〃一2w02

故选c.

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.

9、D

【解析】

由复数模的定义可得：|z|=7tz2+l=2,求解关于实数。的方程可得：(1=土瓜

本题选择O选项.

10、D

【解析】

根据复数运算，求得z,再求其对应点即可判断.

【详解】

z=W^=l-2i,故其对应点的坐标为(1,-2).

其位于第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.

11、D

【解析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结

果.

【详解】

r2

/(x)=ox+2x,令［(x)=0,得石=0,x2=——.

a

其单调性及极值情况如下：

_2

X0(。,+8)

a

++

/’(%)0-0

极小

/(X)极大值

值

-pOl,使得/（%）=/

若存在犬0kJI

312

（如图1）或---<---<---（如图2）.

ala

（图1）

（图2）

于是可得ae|7,41

（4,6）,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,

画出图象数形结合，属于较难题目.

12、C

【解析】

因为直三棱柱中，AB=3,AC=4,也旬=12,AB±AC,所以5c=5,且3c为过底面ABC的截面圆的直径.取5c

中点。,则底面A3C,则。在侧面5CG51内，矩形BCGS的对角线长即为球直径，所以2R=卮=

13

13,即nnR=—

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC?+AC-2=0,即可解得AC的值.

【详解】

解：AB=8，BC=1,AC,

由余弦定理AB2=AC2+BC2一2AC.fiC.cosC,

n]-^3=AC2+l-2xACxlx（-1）,整理可得：AC2+AC-2=0,

二解得AC=1或-2（舍去）.

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

14、91

【解析】

设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为％丁*,由此可构造不等式组化简得到z=x+9,由投票有效率越高二越小,

可知2皿=9,由此计算可得投票有效率.

【详解】

不妨设共有选票100张，投1票的有X,2票的有y,3票的有z,则由题意可得：

尤+2y+3z=88+75+46=209

<x+y+z=100,化简得：z—x=9,即z=%+9,

x,y,z&N

投票有效率越高，Z越小，则尤=0,z=9,

100-9

故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为"一x100%=91%.

故答案为：91%.

【点睛】

本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.

15、2

【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值.

【详解】

解：若二①一丁）公,贝!|[办一：工3卜=：,

即o-g=g，所以a=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,

属于基础题.

16、G

【解析】

设点P为(毛，阳)，由抛物线定义知，|阳=/+2=5,求出点尸坐标代入双曲线方程得到a,匕的关系式，求出双曲

线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

由题意得尸(2,0),因为点尸在抛物线户8丫上，FP|=5,设点「为(飞，为)，

%o=3

由抛物线定义知,|闭=%+2=5,解得<

%=±2^/6

lY2V2924

不妨取P(3,2#),代入双曲线旨g=1,得/亨

A

又因为层+"=4,解得a=l,b=M，因为双曲线的渐近线方程为y=±—x,

a

所以双曲线的渐近线为产士6*,由点到直线的距离公式可得，

点尸到双曲线的渐近线的距离

故答案为：G

【点睛】

本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是

求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17>(1)30;(2)币.

【解析】

(1)直接根据特殊角的三角函数值求出C,结合正弦定理求出4；

(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.

【详解】

Icn

解：(1)VcosC=——,且OvC<%,AC=120°,由正弦定理-----=-----

2sinAsinA

220.■A1

sinAsin120°2

VC=120°

•••4锐角，，4=30。

(2)VA=30°,C=120°

.•.6=30。

b=a=2

...在AMC中，由余弦定理得AM?=402+0^2—24。。^.cosC

=7

AM=E

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

18、(1)证明见解析(2)存在，E为。C中点

【解析】

(1)证明AP,面A5CD,即证明平面APE，平面ABC。；(2)以A为坐标原点，AO为》轴正方向，A3为了轴

以411+221瓜1

正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量方法得cos0==+，解得力=

网.网V3-V422+l32

所以E为。C中点.

【详解】

(1)由于〃为中点，AH=-AB=1.

2

又PH=①，故PH?=^2+.2,

所以，田为直角三角形且ZPAH=90°,

即B4LAB.

又因为K4u面？AB,面面A3CD=AB,面？AB上面ABC。，

故人？_1_面ABC。，

又B4u面Q4E,所以面巳4石_1面438.

(2)由(1)知AP上面ABC。，又四边形ABC。为矩形，则AP,AD,两两垂直.

以A为坐标原点，AO为*轴正方向，A3为y轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系.

则A(O,O,O),P(O,O,1),H(0,l,0),C(l,2,0),设E(l,22,0),2G(0,1),

则AP=(0,0,l),AE=(L22,0),PH=(0,1,-1),HC=(1,1,0),

设平面APE的法向量为加=(x,y,z),

,m-AP=0fz=0

则有＜7令x=-2X,则y=l,

m-AE=0[x+22y=0

则平面APE的一个法向量为%=(-22,1,0),

同理可得平面PHC的一个法向量为“=(-1,1,1)，

设平面APE与平面PHC所成角为0,

同闻11+221瓜1

则由题意可得cos8=S^=-।=^=一,解得2=:，

同同行“力+132

所以点E为。C中点.

【点睛】

本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22

19、(1)—+^=1(2)证明见解析

43

【解析】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△孙月的面积取得最大值班,

求出”,仇c,即可得答案；

(2)根据题意可知A(2,0),8(0,6),因为AB//CD,所以可设直线C。的方程为

y=-¥1+m(机/6),。(再,%),。(%,必)，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到%，%的关系，再代入斜

率公式可证得左#2为定值.

【详解】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，

当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值

c=l

所以<gx2cx》=6,所以。=2,b=M，

a2=b2+c2

22

故椭圆E的标准方程为L+上=1.

43

(2)根据题意可知A(2,0),B(0,V3),因为AB//CD,

所以可设直线CD的方程为

消去y可得6x?-4s/3mx+4m2-12=0,

匚匚1“2GmBrl26m

所以3+%2=q-，即X]=—\—一马•

直线AD的斜率卜=一^=

iXi—2%]—2

直线BC的斜率,_%-6

K2~

%2

所以

(再-2)%2

3_3

_4X,A2~2A2=1,故左上为定值.

(占-2)々4

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运

算求解能力，求解时注意坐标法的运用.

22

20、(1)工+匕=1；(2)证明见解析.

2412

【解析】

(1)由题意求得A,3的坐标，代入椭圆方程求得优，由此求得椭圆的标准方程.

(2)设出直线CD的方程，联立直线CD的方程和椭圆方程，可得关于》的一元二次方程，设出的坐标，分别

11

求出直线AC与直线的方程，从而求得乱尸两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得西一口河为定值.

【详解】

(1)由已知可得：4(—4,2),5(4,2)

代入椭圆方程得：帆=12

22

二椭圆方程为工+上=1;

2412

(2)设直线。的方程为丁=左(%—2)+2,代入£+29=24,得:

(1+242)9+8k(l-k)x+8k2—16左一16=0

设C(玉,％),D(x2,y2),则有石+%=等二8左2-16左-16

2

1十乙K-l+2k

k(x,-2),、6k(x,-2)

则AC的方程为3='।,，(x+4)+2,令x=2,得％="1+2

玉+4、玉+4

k(x^)—2)/、—2k(X)—2)

5。的方程为3=<2<X_4)+2,令％=2,得力=一='+2

X2-4X2-4

1111_+4x2-4

MEMFyE-22-yF6k^xx-2)2k^x2-2)

(西+4)(%-2)—3(%—4)(%—2)—2x^2+10(石+4)—32

左[罚元再+%)+町

6Mx-2)(X2-2)62—2(

-2，+132

8左2—16左一16_2弘(左-1)+4

6k

1+2左21+2左2+

—16左2+32左+32+80左2—80A—32—64左2—48左2

=F--------------------------------------------------------------------------=----------------=—诉毕

6%[8左2—16左一16—16左2+16左+4+8左2]-72k3'卡，

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题.

21、(1)证明见解析(2)2=-(3)位叵

49

【解析】

(1)根据折叠图形，BDLAC,PNL&),由线面垂直的判定定理可得比)，平面PAN,再根据APu平面P4V,

得到应)，AP.

(2)根据PN_LEN，石FLAC,以N为坐标原点，NA,NE,NP为x,%z轴建立空间直角坐标系，根据

AB=AD=2,BD=BC=2^/3,AM=1,CM=3,=可知，EF=^^,PN=CN=^-，表示相应点

1+21+2

|5-42|手求解.

的坐标，分别求得平面与平面OEP的法向量，代入cos(s")

(3)设所求几何体的体积为V,设CN=x(O<x<3)为高，则RN=苧x，表示梯形5E尸。和/A5O的面积由

2y/3x(3-x)

V=1x----------J--------+；x2gxl=器(_》3+12,，再利用导数求最值.

【详解】

(1)证明：不妨设跖与AC的交点为N,8。与AC的交点为M

由题知，CD=3C,NDCA=N3G4=30°,则有5。LAC

又BDIIEF,则有EFLAC

由折叠可知,PN1瓦，所以可证PN1BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面。4N,

则有6£＞，平面BAN

又因为APu平面PAM,

所以5DLAP....

(2)解：依题意，有PNJ_EN,平面PEF，平面，

又PNu平面PEF,

则有PNA平面跖D,PN1AC,又由题意知，EFLAC

如图所示：

以N为坐标原点，NA,NE,NP为羽yz轴建立如图所示的空间直角坐标系

由题意知AB=AD=2,BD=BC=2y/3,AM=l,CM=3

由=可知，

EF=*"N=3

1+2

则N(O,O,O),P]O,O,«[,A[23,O,O

3232

,D-"0

T+I1+2

吕，-厉J]

则有AP=,BP=

MR1+41+Ay

、

FP,DP=

7

设平面ABP与平面DFP的法向量分别为"2=(石,X,Z]),72=(九2，%，Z2)

AP-m=0卜(慧"+3'。*=(3,后4则

则有<n

BP-m=0-V32%1-(2+1)^+V3z1=0''

FP-n-0

则

DP・n=0

所以cos(m,n

因为Xe(O,l),解得

(3)设所求几何体的体积为V,设CN=X(O<X<3),

则FN=3x，

3

2号迄x

13JGT

V=­x-----+-X2A^X1

322

=当&+1](3一41

y'=-y-(^2-4)=-y-(^-2)(^+2)

二当0<x<2时，V'>0,当2<%<3时，V'<0

.•・V(x)在(0,2)是增函数，在(2,3)上是减函数

，当x=2时，丫有最大值，

即匕”邛(-8+12x2)=竽

，六面体P-AEBED的体积的最大值是3且

9

【点睛】

本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的

思想和运算求解的能力，属于难题.

22、(1)证明见解析

⑵近

6

【解析】

(1)取AC中点/，连接得。BLAC,可得£4=£6=尸(二，

可证DFA^t.DFB,可得DFLFB,进而D尸，平面ABC,即可证明结论；

(2)设瓦G,“分别为边AB,CD,的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得GP//AD,GH//BC,EF//BC,

可