陕西省2024届高三教学质量检测（一）理科数学试题（附答案）

保密★启用前7.已知定义在R上的函数/（%）,满足（21—）[/（%）-且/（l）+/（—N）=0.若

2024年陕西省高三教学质量检测试题（一）f（l）=—1,则满足|/（z一2）|41的]的取值范围是（）

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

理科数学8.（2一±）（1一力的展开式中/的系数为（）

注意事项：

县（区）1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写A.30B.25C.45D.15

在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

9.若函数/（j;）=y3cos2Z—sin2x-a在区间[。，]]上有两个零点,x2则tan（j?i+x2）=

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回

答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定（）

学校区域均无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.A.用B.—耳C.D.—

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

1256010.已知双曲线C3/一丁=3僧2的一条渐近线I与椭圆E：q+《=l（a>，>0）交于A,B两

合题目要求的.ao

班级L复数占（）则N的虚部为（）

z—=l+i2,点，若IBBI=IAB|,（B，F2是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（）

1—1

A.-3iB.-3C.3iD.3A.73-1B.卓C.（-00,1）D.（-00,0）

2.已知函数的定义域为A,函数g（j?）=log2j：,j：€[十，4]的值域为B,则

姓名1L已知函数/（%）=25由R（l+cos2）,下面说法正确的是（）

()A.函数/（%）的最小正周期为K

A.（0,2）B.（0,2]C.（-00,4]D.（-1,4]

B.函数/⑺在[一年上单调递减

3.我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行

编号，001,002,……,649,650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若

准考证号C.函数八工）的图像关于y轴对称

从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642D.函数八工）的最小值是一挈

84421253313457860736253007328623457889072368960804

12.已知函数/（N）=N—In],对于zg（1,4-oo），不等式—7n<eJ-1~x恒成立，则m的

考号32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.072D.457取值范围是（）

A.（0,1]B.（—oo,]C.（—oo,1）D.（—oo,0）

4.设斗）满足约束条件12z+»>—1,则z=4z—»的最小值为（）e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量。工的夹角为冷，|。|=2|。|=2,则|2。一川=.

A.1B.-jC.-5D.2

14.设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,6,c.若6、a、c成等差数歹L且黑卷二!，则

5.记S,为等差数列｝的前n项和.若a,+%=24,&=48,则数列[——-——，的前2024项

I4+1•an+2I

和为（）c=.

A507R507c506[7=4,2

A，4051b4048,404915.已知F为抛物线C：。为参数）的焦点，过F作两条互相垂直的直线入，乙，直线k

\y=^t

6.一个四面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为

与。交于A，B两点，直线%与C交于D，E两点，则|AB|・|DE|的最小值为.

（

16.已知函数/（工）=根/一”+1有两个极值点为，以，则下列说法正确的序号

A.怜

为.

B.%①若利=4,则函数“力）在传,/传））处的切线方程为2#—y=0；②初可能是负数;

C.47r

③，（孙）+/（x）=l；④若存在aGR,使得"（4+2）—/（%。）|，则

D.8年2

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个20.（12分）已知椭圆C：尹1=l（a>6>0）过M（1,4）,—4,平）两点

试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.（1）求椭圆C的方程；

17.（12分）记数列｛%｝的前〃项和为S“，已知出=—6,且满足S„+1+S„+a2=3a„+1.（2）已知过椭圆。的左顶点A的两条相互垂直的直线分别交椭圆C于P,Q两点，求△APQ

（1）证明：数列是等比数列；面积的最大值.

（2）若数列｛"一a"是以1为首项，3为公差的等差数列，｛6/的前〃项和为T“，求T„.

18.（12分）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机

的。有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准。有机

蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许21.（12分）已知函数/（x）=ln（l—x）+asinx,（aCR）.

限量使用一些低毒，低残留的农药。种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年（1）当a=0时，求函数/（%）在1=—1处的切线方程;

以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高。某公司准备将M万元资金投入到（2）讨论/（1）在区间（0,1）上的零点个数.

该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择.若投资绿色蔬菜一年后可获

得的利润X（万元）的概率分布列如下表所示：

X95126187

Pa0.5b

且X的期望E（X）=119.7；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润丫（万元）与种植成本有

关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题

格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为力（0<力<1）和l—p.若有机蔬菜产品价格

计分.

一年内调整次数"（次）与Y的关系如下表所示：

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

n012

在直角坐标系力。）中，已知直线G过点（4,0）,且倾斜角为普，曲线C的普通方程为/+

Y41.2117.6204.02

（）求的值；

14丁=7,射线Z1的方程/=唇（1>0）,射线12的方程为丁=§“（%>0）.在以坐标原点O

（2）根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当p的在什么范围取值时，公司可以获得

为极点，1轴正半轴为极轴建立极坐标系，

最大投资回报率.（投资回报率=母霆累X100%）

（D求曲线G，Cz的极坐标方程；

（2）射线h与曲线C1交于点M,射线Z2与曲线C2交于点N,求△MON的面积.

19.（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,AD=DC=1,NBCD=

2

■|n，。£：_1面ABCD,BF_L面ABCD,BF=DE=1,点P在线段EF上

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

运动.

（D求证:AD_LBP；已知函数八工〉=1。8乂［,+］|+二2|―加）的定义域为D-

（2）是否存在点P,使得平面PAB与平面ADE所成二面角余弦值为八（1）当a=5时，求D；

维于，若存在,试求点P的位置，若不存在,请说明理由.（2）若存在7,使得不等式/（I）43成立，求实数m的取值范围.

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2024年陕西省高三教学质量检测试题(一)

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

9

l.D(V-^=(l+i)2,/.z=l+3i,.\z的虚部为3.)

ZT1—1

2.B(/(z)(上/，则上...■了一4)&0且Z片0,可得A={2|0<了<4},g(z)的值域8=

{ar|—111^2},・\A口B={x|0VrW2}.)

3.C(从表中第5行第6列开始向右读取数据，前7个数据分别是253,313,457,007,328,

623,072.)

4.C(作出可行域如图阴影部分所示.

由Z=4J:—),得j/=4z—2.

作出直线，o：)=)=4久,并平移I。知，当直线)=41一之过点A时，之取得最小值.

E+2j/-1=0,

由1得A（—1,1）,.,・Nmin=4X（―1）—1=—5.）

[2支+）+1=0,

（即+3H）+（由+4。）=24,

f“4+。5=24,

5.5设{4}的公差为。，由<得

S=48,6%+哙54=48,

1

解得力=-〃.则---------=----八2.

2,d=4.a“=4-6］“।=!„q—

an+1•an+2(4??—2)•(4%十2)8\Zn—1加十1/

(——1——1的前2。24项和为2(l—)

\an+l•a„+2\8\4049/4049

6.B(四面体的直观图如图所示.侧面SAC1底面ABC,且ASAC与^ABC均为s

腰长是您的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=V^,AC=2.故四面体的外接球球/；\

心即为AC的中点。，所以外接球的半径为1,外接球的体积为V=y7t.)4y

7.A「."(了)为奇函数，；./(—z)=—/(z)..."(1)=—1,

故由一14/(工一2)<1,得/(l)</(x-2)<f(-l).又/(了)在(一8,+8)上单调递减,

-1=］一2W1,・'・1,故选A.)

1

8.D(因为(1—iT的通项为C］(一久),，所以(2+5)(1—1)6的展开式中含/的项为

2Cg(—1)2/+(—•C：(—1)424=15*.)

9.D(/(^c)=2COS(2J7+£)—a,令2久+/=无兀,得JJ=--一代#GZ,

xG］。,年］,•••对称轴7=黑,则乃+g=萼，•二tan(%i+及)=tan一)

L2」12663

22

10.A(由已知C：0—4=1,则渐近线/”=加，即/入。氏=60°,又|F|F/=IAB|,

m3m

即QB|=|OA|,且四边形AF.BF,为矩形，所以\AO\=\OF2\=|人工|=c,则|AFJ=存，

乂根据椭圆定义可知IAF"+IA3I=vic+c=2a,所以离心率e=^=^_^=73-l.)

11.D(/'(。)=2cos1+2cos2i=2cos1+2(2cos。-1)=2(2cos2^：+cosx—1)=2(2cosx-1)

,(cosJC+1).cos比+1,・・•当cos久<；时"'(K)VO"(，)单调递减；当cos久〉：时"'(1)〉

0"(1)单调递增，上当cosz=母时，/(%)有最小值.又/(%)=2sinz+sin2z=2sin%(1+cosx),

・••当sin定三一号时"⑴有最小值，即f(^)min=2X(-呼)*(1+})=一婪)

12.B(由mf(x)——x化简可得e^-1—m{x—1)〉久一mlnx,

即exl—m{x—l)〉e山”—mlnz,设F(x)=e'一相7，贝ljF{x—l)>F(lnx)

设g(z)=z—l—In%,贝{Jg\x)=l——=--

xx

g(2)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增，则g(久)>g(l)=0,

又,.,久G(1,+oo)".I—l〉lnF(i)=e"一mx在(1,+8)单调递增，

F'(z)>0恒成立，即e"一/22'0,e">a,・••利&e.)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案:，II

解析：|2a—b|=，(2a—犷=，4aZ—4a•*4X22—4义2X1Xcos等十l'vU

14.答案片

解析：在AABC中，由解=”正弦定理，得3a=56.又"c成等差数列,则6+c=2a,所以

fl2Z?2+?

。=枭,「16,所以3C=+/1_

o3Lab57,

2XyZ?X6

因为ce（o,7t）,所以C——.

2

15.答案：64

解析：因为F为J=4z的焦点，所以F（1,O）.

由题意知直线Zj,12的斜率均存在，且不为。，设I、的斜率为M则Z2的斜率为一十.故直线k，l2

1[y=k{x—1),

的方程分别为夕=上(丁一1),)=——(J;—1).由<得6—2—(2/+4)1+/=0.设A(Ii,

2

k[y=4：X9

)，则+久2=，久1g=所以

%),B(2'[41,IABI=，1+62|—x2I=，1+52•

22

N(叫+72产—4叫才2=11+6•J()-4=)•同理可得|OE|=4(1+^).

2242

缶、一人niinm4(1+%?)?、16(1+^)16(^+2^+1)〔久/占21八、久/

所以|AB||DE|=----2---义4(1£)=-----2----=-------2------=16左十77十2》64

kkk\k/

当且仅当后=;,即左=±1时，取得等号.

16.答案：①④

解析:①若m=4：,/(析=4/—z+1"'(z)=12f-1'[佶)=3-■十]=1'='佶)=3-]=

1,所以函数/（了）在（卷"（；））处的切线方程为y—1=2,y=2x,①选项正确.

②/一及，②选项错误.

③了'（1）=Zmx-1,当m^O时"（式）单调递减，没有极值，当m>0时，由3mx2—1=

0,解得々=工

所以/'（1）在区间（一8,必），（马，+8）上-（7）〉0"（1）单调递增，

在区间（巧，电）上/'（£）〈。"（£）单调递减，

所以11是/"（］）的极大值点，处是/（%）的极小值点，

而37721：—1—0,3mj：l—1—0,mx\—:,mx[=(,

2

mm

所以/(%)+/(%2)=团说—必+1+m^2-12+1=21(^l—1)+12(^2—1)+2=—9(力1+

以)+2=2为定值，③选项错误.④若存在％。GR,使得"(4+2)—fQx。)I〈;，

即|?%(符+2]一(JC0+2)+1—(mj?o—JT0+1)I<}，

7

艮II3mXo+6mj;0+4m一11W1,一十★331彳+6m^r0+4m-，

(3mj：o+6mj70+4m-1)一十

即]，即

I3mjt：o+6很久0+4m—1^—

3

9

由于m>G,所以3//Z/+6机10+4m—1必存在，

2

对于STTIZQ+6mj:0+4m-则有A=36注一12m4m一2)=-12m+15m^09m(4m—5)W。，解

5

得0<Zm^—，所以④选项正确.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题：

17.解析：（1）因为S,+］+S”+劭=3〃叶］,

则当%>2时，S〃+S〃_i+%=3%,

两式相减可得an+1+an=3an+1—3%（"22）,3分

则（2.十1=2%（九>2）,4分

且当n—1时，S?+S］+%=3a2，解得。2=2%，

所以｛凡｝是首项为一6,公比为2的等比数列，

所以Q〃=—6X2〃T=—3X2〃，即Q〃=—3X2"；6分

（2）因为6〃-an=3n—2,则6%=—3义2"+3%—2,8分

则丁35=（d十dH——P6„）=-3X（21+2ZH------|-2"）+lX"+"X（；一八3...................10分

2（，，）2,>+13M

=-3X^^+W+4（«-W）=6-3X2+....................................................12分

1—NNN

Ia+6=0.5

18.解析：(1)由题意得[95。+126X0.5+1876=119.7解得£2—0.4,6=0.1.4分

（2）丫的可能取值为41.2,117.6,204,

F（Y=41.2）=（1一2）［1—（1一2）］=2（1—2），

F（y=117.6）=p［l—（1—力）］+（l一刃（1—2）="+（i—2）2,

P（Y=204）=力（1一力），..................................................................8分

所以丫的分布列为

y41.2117.6204

pp（\—p）"+（1—”pCl—p）

可得E（Y）=41.24（1—2）+117.6[犷+（1—/）21+2042（1一2）=—10"+10/+117.6,

..................................................................................................................................................................10分

由E（X）VE（Y）,得119.7<-10^2+10^+117.6,

10/>2—10力+2.1<0：.（4一0.3）（2一0.7）<0

解得0.3</）<0,7,

即当选择投资有机蔬菜项目时，2的取值范围是（0.3,0.7）,投资回报率最大...........12分

19.解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，•；AB〃CD,AD=DC=CB=1,E

ZBCD=12O°,：.AB=2,：.BDZ=AB2+AD2-2AB-AD•cos60°=3.：.AB2=/T\p

AD2+BD\：.AD±BD.......................................................................................2分/

•.・DE±平面ABCD,ADd平面ABCD,ADE±AD，又;BDp|DE=D,BD、,。'、、、、、

DEU面BFED,.\AD_L平面BFED,..................................................................4分S-------------B

••・BPSBFED,：.AD±BP.......................................................................................................5分

4

（2）解：由已知可得四边形BFED为矩形，由（1）可建立分别以直线DA,DB,DE为1轴，？轴，之

轴的空间直角坐标系.如图所示.令EP=XOW义忘有），

则D(0,0,0),A(l,0,0),B(0,73,0),P(0,A,l),

AB—(—1?0),BP=(0,A—A/3-,1).

设小=(况，N，2)为平面PAB的一个法向量，

(%・AB=0,1一丁+代尸。，

由《一＞仔(

[小•_BP=0,〔(1—西)、+N=0,

^=1,得TIi—（A/S-91>——A）9.......................................................................................................8分

•・・孙=（0,1,0）是平面ADE的一个法向量，..............................................9分

%%I=_________1_________=______1_____=2Vz

10分

""I"-V3+1+(V3-A)2X1V(A-V3)2+419-

L空或竽忌僖,二义卷，此时P为EF的中点...............................12分

9+W=i_

20.解析：（1）由题意得］:奶一即c：［2+J=l.........................................

4分

(2)由题意得直线小"阳的斜率存在且不为0.

A(—2,0)，设1Ap-x=my—2,lAQ-x=——y—2,5分

[x=my-2,°

由2।,得(根9+4)、—4mj;=0,

匕2+城一4=0,

./2m2-84m\会由八/2—8加？4m\

•，P(2IJ,-2_|_4)•同理,Q([_2_(_]，-7_2I-I)•..................................................................6分

\m十4m十4/\4m十14m十1/

①2士1时’小二取口仃/“/二卜+1■卜此时过定点（一春'°）.

②时：■，过点6

M=±l"pQK=—1,0.8分

(T*4，5

3I

4m,4mm十根

x分

S/XAPQ4fhp-^Qi=|22=8210

m+44m+14m4+17m+4

8m-r,-i

m8

1219

4m+一)+94m+一4

mm

加十।——1

m

令『m~\-—》2,当且仅当m=dz1时取等号，

m

1616

•'SAAPQ(匹，且当m=±1时取等号.・,・($△.)12分

max25,

21.解析：（1）当。=0时，/（久）=ln（l一1），其定义域为（一8,1）,

小"）二三"占,八一1）一十"（一1）=2

因此，函数/（了）在X=-1处的切线方程为y—In2=一；（了+1）,即了+2y+l—21n2=0

4分

5

（2）令/（1）=ln（l—z）+asin］,

门］”/、1IQ（1—J：）COSX-1L/C1、

贝Uf（%