高一数学必修四平面向量应用举例

关于高一数学必修四平面向量应用举例所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化利用向量解决平面几何问题举例第2页,共37页，星期六，2024年，5月用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。第3页,共37页，星期六，2024年，5月例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、

DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT利用向量

解决平面

几何问题

举例简述：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化第4页,共37页，星期六，2024年，5月

例2．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、T两点.你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？解：由图可猜想：AR=RT=TC.证明如下：则由得

又而∴由向量基本定理得第5页,共37页，星期六，2024年，5月同理可证：于是故猜想：AR=RT=TC成立.第6页,共37页，星期六，2024年，5月2.5.2向量在物理中的应用举例第7页,共37页，星期六，2024年，5月探究（一）：向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=0第8页,共37页，星期六，2024年，5月思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？夹角越大越费力.第9页,共37页，星期六，2024年，5月思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何？FF1F2Gθ

上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.θ∈[0°，180°)第10页,共37页，星期六，2024年，5月探究（二）：向量在运动学中的应用思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？A第11页,共37页，星期六，2024年，5月思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？v1v2v60°第12页,共37页，星期六，2024年，5月思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？v1v2vABC与上游河岸的夹角为78.73°.思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？第13页,共37页，星期六，2024年，5月“向量法解决几何问题”的两个角度：

非坐标角度和坐标角度例3.如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量证明：（1）PA=EF（2）PA⊥EFABCDPEF第14页,共37页，星期六，2024年，5月1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．2、已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为____________________．3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．第15页,共37页，星期六，2024年，5月1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．ABCDEGF易知△GDE∽△GAB，DE＝AB．12所以，BG＝BE．23CG＝CB+BG＝CB+

BE23＝CB+

(

CA-CB)2312＝(CB+CA)13第16页,共37页，星期六，2024年，5月1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．因此C、G、F三点在同一直线上．所以，AD、BE、CF交于一点．所以CG＝CF，23＝(CB＋CA)13即CG又因为CF＝(CB＋CA)．12ABCDEGF第17页,共37页，星期六，2024年，5月

2、已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为____________________．(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OG＝OA＋

AG＝OA＋AD23＝OA＋(AB＋AC)13＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)13＝OA＋OB＋OC3解：设原点为O，则第18页,共37页，星期六，2024年，5月3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．ABCDEHF证明：设H是高线BE、CF的交点，且设AB＝a，AC＝b，AH＝h，则有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．所以(h－a)·b＝(h－b)·a

＝0．化简得h·(a－b)＝0AH⊥BC．因为BH⊥AC，CH⊥AB．所以，三角形三条高线交于一点．第19页,共37页，星期六，2024年，5月三角形四心的向量表示外重第20页,共37页，星期六，2024年，5月三角形四心的向量表示内垂第21页,共37页，星期六，2024年，5月例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由得出由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。C第22页,共37页，星期六，2024年，5月变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由得出故O是△ABC的重心。C第23页,共37页，星期六，2024年，5月变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心第24页,共37页，星期六，2024年，5月点拨：在△ABC中，由正弦定理有令则由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过△ABC的重心。C第25页,共37页，星期六，2024年，5月例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心第26页,共37页，星期六，2024年，5月点拨：取BC的中点D，则由已知条件可得又因为所以所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过△ABC的外心。A第27页,共37页，星期六，2024年，5月外心的向量表示结论2：△ABC所在平面一定点O，动点P满足

P点轨迹经过△ABC的外心结论1：O是三角形的外心或第28页,共37页，星期六，2024年，5月例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心第29页,共37页，星期六，2024年，5月点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以即故点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。D第30页,共37页，星期六，2024年，5月变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：同理可得D第31页,共37页，星期六，2024年，5月垂心的向量表示结论1：O是△ABC的垂心的充要条件是结论2、动点P满足P点的轨迹经过△ABC的垂心第32页,共37页，星期六，2024年，5月例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所对的三边)点O满足则O点一定是△ABC的（）A外心B内心C重心D垂心点拨：由已知条件可得同理可得则O点一定是△ABC的内心B第33页,共37页，星期六，2024年，5月例5、已知非零向量与满足且，则△ABC为（）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形点拨：从可知的平分线垂直对边BC，故△ABC为等腰三角形；可知cosA=，所以=60°，故△ABC为等边三角形。从D第34页,共37页，星期六，2024年，5月例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三个点,点O