人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题14一次函数的图象与性质综合重难点题型专训(原卷版+解析)

专题14一次函数的图象与性质综合重难点题型专训【题型目录】题型一正比例函数的图象与性质问题题型二一次函数的图象问题题型三一次函数的平移问题题型四一次函数的增减性问题题型五一次函数值的大小比较题型六一次函数的规律探究题题型七一次函数的图象与性质综合问题【经典例题一正比例函数的图象与性质问题】【知识归纳】一、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条过原点的直线。（1）k>0时，从左向右看图象呈上升趋势；（2）k<0时，从左向右看图象呈下降趋势。二、正比例函数的图象和性质1、正比例函数y=kx(k≠0)中x和y的取值均为全体实数，又因为x=0时总有y=0，所以其图象是一条过原点(0,0)的直线。根据正比例函数解析式y=kx(k≠0)，当x=1时，可得y=k。所以，正比例函数的图象除原点外，还过(1,k)点。正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k的正负（即斜率k的正负）决定着正比例函数的增减和所过的象限。（1）当正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k>0时为增函数，其函数图象从左向右看时呈现上升趋势，并且除原点外还过一、三象限。（2）当正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k<0时为减函数，其函数图象从左向右看时呈现下降趋势，并且除原点外还过二、四象限。正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k的绝对值决定着正比例函数的图象的倾斜程度。（1）|k|越大时，图象与y轴的夹角就越小，图象就越“陡峭”，函数值y随自变量x变化的就越“快”。（2）|k|越小时，图象与y轴的夹角就越大，图象就越“平缓”，函数值y随自变量x变化的就越“慢”。【例1】（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C． D．2【变式训练】【变式1】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A． B．C． D．【变式2】（2022·广东·广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是_____．【变式3】（2022·陕西·西安市第三中学八年级期中）已知正比例函数图像经过点，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点是否在这个函数图像上；(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．【经典例题二一次函数的图象问题】【解题技巧】一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：【例2】（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（）A．若x满足，则当时，函数y有最小值B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是【变式训练】【变式1】（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）对于函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、三、四象限C．当时， D．随的增大而减小【变式2】（2022·河南省实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是_____．【变式3】（2022·陕西榆林·八年级期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P为直线l上的动点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求点P的坐标；(3)在第一象限内是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题三一次函数的平移问题】【解题技巧】知识点：一次函数的平移将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间【例3】（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）已知直线与x轴交于点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，将直线向下平移个单位得到直线，直线交x轴于点B，若点A与点B关于y轴对称，则m的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【变式训练】【变式1】（2022·广东·丰顺县球山中学八年级阶段练习）如图，已知一条直线经过点，，将这条直线向左平移与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的函数解析式为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022·北京十一晋元中学八年级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是_____，b的值是_____．【变式3】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）．(1)求直线l对应的函数表达式；(2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值．【经典例题四一次函数的增减性问题】知识点：直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0：经过第一、二、三象限k>0，b<0：经过第一、三、四象限k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k<0，b>0：经过第一、二、四象限k<0，b<0：经过第二、三、四象限k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。【例4】（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为（）A． B． C．2或6 D．或6【变式训练】【变式1】（2022·安徽·天长市炳辉中学八年级阶段练习）已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（）A． B． C． D．【变式2】（2022·上海·上外附中九年级阶段练习）当时，函数的值恒大于0，则实数k的取值范围是___________．【变式3】（2022·江苏南通·八年级期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象．(1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；(2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积；(3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围．【经典例题五一次函数值的大小比较】【例5】（2022秋·重庆·八年级校考期中）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论正确的有（

）①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”；④是函数，的“逼近区间”；A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【变式训练】【变式1】（2022·江苏泰州·八年级期末）若关于x的一次函数的图像过点、、，则下列关于与的大小关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2022·江苏·八年级专题练习）关于函数和函数，有以下结论：①当时，的取值范围是②随x的增大而增大③函数的图像与函数的图像的交点一定在第一象限④若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则其中所有正确结论的序号是______．【变式3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）已知一次函数，其中．(1)若点在的图象上，求a的值；(2)当时，，求的函数解析式；(3)对于一次函数，其中，若对于任意实数x，总有，直接写出m的取值范围．【经典例题六一次函数的规律探究题】【例6】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2022·河南省实验中学八年级期中）正方形…按如图所示放置，点和点…，分别在直线和轴上的坐标分别为，则的坐标是()A． B．C． D．【变式2】（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线交轴于点，以为直角边长作等腰，再过点作等腰△交直线于点，再过点再作等腰△交直线于点，以此类推，继续作等腰△，，△，其中点都在直线上，点都在轴上，且，，都为直角．则点的坐标为__，点的坐标为__．【例3】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．【经典例题七一次函数的图象与性质综合问题】【例7】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（

）A． B．3 C．4 D．5【变式训练】【变式1】（2023·广西玉林·一模）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为___________．【变式3】（2022·山东济宁·九年级期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．x…-5-4-3-2-1012345…y=…a-303b…(2)根据表中的数据，在图中补全该函数图象；(3)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．(4)已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）【培优检测】1．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（

）A．B．直线l过坐标为的点C．若点，在直线l上，则D．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期末）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，点在轴上，点在函数图像上，均垂直于轴，若均为等腰直角三角形，则的面积是（

）A．16 B．64 C．256 D．10244．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（

）A．22 B．20 C．18 D．165．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点，交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为（）A．（） B．（） C．（） D．（）6．（2022秋·八年级课时练习）如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是（

）A． B． C． D．7．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．9．（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）已知一次函数的图像经过点且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则一次函数的解析式为______．10．（2022春·广东河源·八年级校考期末）正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是_____．11．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位长度的速度沿轴向下平移，经过___________秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．12．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD在第一象限内，轴，，直线沿x轴向其正方向平移，在平移过程中，直线被四边形截得的线段长为t，直线向右平移的距离为m，图2是t与m之间的函数图像，则四边形的面积为__________．13．（2022秋·山西晋中·八年级校考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．14．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．15．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴交于点，与轴交于点.(1)求的值及的面积；(2)已知点，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标.16．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．(1)求直线的函数表达式；(2)在x轴上有一点P，满足，求P点的坐标；(3)在（2）的条件下，过点P作，交y轴于点Q，直接写出点Q的坐标．17．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线交于点D，交y轴于点G．的面积为面积的．(1)点D的坐标为___________；(2)过点C作，交交于F，垂足为E，求证：；(3)请探究在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明提由．18．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．(1)求点A，B的坐标．(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．19．（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．(1)求和的值；(2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴正方向运动．设点的运动时间为秒．当的面积为时，求的值；20．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点．直线：与直线交于点C．(1)求直线的解析式．(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当时，求的面积．(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．专题14一次函数的图象与性质综合重难点题型专训【题型目录】题型一正比例函数的图象与性质问题题型二一次函数的图象问题题型三一次函数的平移问题题型四一次函数的增减性问题题型五一次函数值的大小比较题型六一次函数的规律探究题题型七一次函数的图象与性质综合问题【经典例题一正比例函数的图象与性质问题】【知识归纳】一、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条过原点的直线。（1）k>0时，从左向右看图象呈上升趋势；（2）k<0时，从左向右看图象呈下降趋势。二、正比例函数的图象和性质1、正比例函数y=kx(k≠0)中x和y的取值均为全体实数，又因为x=0时总有y=0，所以其图象是一条过原点(0,0)的直线。根据正比例函数解析式y=kx(k≠0)，当x=1时，可得y=k。所以，正比例函数的图象除原点外，还过(1,k)点。正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k的正负（即斜率k的正负）决定着正比例函数的增减和所过的象限。（1）当正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k>0时为增函数，其函数图象从左向右看时呈现上升趋势，并且除原点外还过一、三象限。（2）当正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k<0时为减函数，其函数图象从左向右看时呈现下降趋势，并且除原点外还过二、四象限。正比例函数y=kx(k≠0)的正比例系数k的绝对值决定着正比例函数的图象的倾斜程度。（1）|k|越大时，图象与y轴的夹角就越小，图象就越“陡峭”，函数值y随自变量x变化的就越“快”。（2）|k|越小时，图象与y轴的夹角就越大，图象就越“平缓”，函数值y随自变量x变化的就越“慢”。【例1】（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．【详解】解：如图：过点B作于点C，，，是等边三角形，，，，点B的坐标为，把点B的坐标代入解析式，得，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键．【变式训练】【变式1】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．【变式2】（2022·广东·广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是_____．【答案】【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，∵16个边长为1的正方形面积为16，∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，∵OB＝4，∴AB＝5×2÷4＝，∴A（，4），即4＝k，解得k＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键．【变式3】（2022·陕西·西安市第三中学八年级期中）已知正比例函数图像经过点，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点是否在这个函数图像上；(3)图像上两点，，如果，比较，的大小．【答案】(1)(2)不在(3)【分析】（1）将代入，利用待定系数法求解；（2）将代入（1）中所求解析式，看y值是否为即可；（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点，时，解得这个函数的解析式为；（2）解：将代入中得：，点不在这个函数图象上；（3）解：，随x的增大而减小，又．【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系数判断函数图象的增减性．【经典例题二一次函数的图象问题】【解题技巧】一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：【例2】（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（）A．若x满足，则当时，函数y有最小值B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是【答案】A【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可．【详解】解：一次函数的图象经过点，∴，解得：，∴，∵，∴y随x的增大而减小，A、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意；B、当时，，当时，，∴与坐标轴的两个交点分别为，，∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意；C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意；D、当时，，解得：；当时，，解得：；∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】题目主要考查确定一次函数解析式的方法、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．【变式训练】【变式1】（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）对于函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、三、四象限C．当时， D．随的增大而减小【答案】D【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、当时，，图象不经过点，选项错误，不符合题意；B、它的图象经过第一、二、四象限，选项错误，不符合题意；C、与轴交于，选项错误，不符合题意；D、，∴随的增大而减小，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．【变式2】（2022·河南省实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是_____．【答案】【分析】先求得的坐标，然后由勾股定理求出，再由折叠的性质得出，求得，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程即可求得点的坐标，即可求得平移后的解析式．【详解】解：∵直线，与轴分别相交于两点，令，解得，令，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，设，∴，在中，，即，解得，∴，∴平移后的直线的解析式为．故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点的坐标是解题的关键．【变式3】（2022·陕西榆林·八年级期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P为直线l上的动点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求点P的坐标；(3)在第一象限内是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)点P的坐标为或；(3)点E的坐标为或．【分析】（1）对于直线，分别令x、y等于0，即可求得点A、B坐标，解方程组即可求得点C的坐标；（2）根据三角形的面积公式列式，求解即可；（3）分①当点B为直角顶点，②当点A为直角顶点时，过点E作y轴或x轴的垂线，构造全等三角形，分别求出相应的点E的坐标即可．【详解】（1）解：对于，当时，；当时，，解得，∴．联立解得∴点C的坐标为；（2）解：∵；，，点P在直线l上，∴，点P的纵坐标为6．解得，∴点P的坐标为或；（3）解：①当点B为直角顶点时，如图1：过点E作轴于点G，则．∴，∴，∴，∴，∴此时点E的坐标为；②当点A为直角顶点时，如图2：作轴于点H，则，∴，∴，∴，∴，∴此时点E的坐标为．综上可知，第一象限内存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点E的坐标为或．【点睛】此题考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造直角三角形、全等三角形，解题过程中还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用．【经典例题三一次函数的平移问题】【解题技巧】知识点：一次函数的平移将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间【例3】（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）已知直线与x轴交于点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，将直线向下平移个单位得到直线，直线交x轴于点B，若点A与点B关于y轴对称，则m的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】先根据题意画出图形，求出直线、的关系式，得出的值即可．【详解】解：根据题意，如图所示：设点C的坐标为：，∵点A与点B关于y轴对称，∴点B的坐标为，∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，点，∴，解得：，∴点C坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴，∵直线由直线平移得到，∴设直线的关系式为，把代入得：，解得：，∴直线的关系式为，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了直线的平移，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的一般方法．【变式训练】【变式1】（2022·广东·丰顺县球山中学八年级阶段练习）如图，已知一条直线经过点，，将这条直线向左平移与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．【详解】解：设直线AB的解析式为，∵，在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为；∵将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，平移后的图形与原图形平行，∴设平移以后的函数解析式为：．∵,,∴,,∴，解得，∴设平移以后的函数解析式为：故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，等腰三角形的性质，熟知利用待定系数法求解一次函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022·北京十一晋元中学八年级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是_____，b的值是_____．【答案】

7

【分析】在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线y＝x平行，交x轴于点E，F，过D作DG⊥x轴于G，在图2中，取（2，0），（5，b），（a，b），（10，0），求出OE＝2，OA＝5，CF＝b，则AE＝3，OF＝a，OB＝10，根据的面积为10，求出DG＝2，得到DE即为b值．【详解】解：在图1中，过点D，A，B，C作直线与已知直线y＝x平行，交x轴于点E，F，过D作DG⊥x轴于G，在图2中，取（2，0），（5，b），（a，b），（10，0），图1中点A对应图2中的点，得出OA＝5，图1中点E对应图2中的点，得出OE＝2，DE＝b，则AE＝3，图1中点F对应图2中的点，得出OF＝a，图1中点B对应图2中的点，得出OB＝10，∵a＝OB＝OB﹣BF，BF＝AE＝3，OB＝10∴a＝7，∵的面积为10，AB＝OB﹣OA＝10﹣5＝5，∴DG＝2，在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，∴DE＝=，故答案是：7，．【点睛】此题考查了平行四边形与函数图象的结合，正确掌握平行四边形的性质，直线y＝x与坐标轴夹角45°的性质，一次函数图象平行的性质，勾股定理，正确理解函数图象得到相关信息是解题的关键．【变式3】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）．(1)求直线l对应的函数表达式；(2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值．【答案】(1)y＝3x＋3；(2)t＝．【分析】（1）用待定系数法求解析式；（2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，易证△BCH≌△CAG（AAS），设OG＝x，根据全等三角形的性质可得方程2−x＝x，解方程可得C点坐标，即可求出t的值．（1）解：设直线l的函数表达式：y＝kx＋b，代入A（−1，0），B（0，3），得，解得，∴直线l对应的函数表达式：y＝3x＋3；（2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，图象如下：则∠BHC＝∠CGA＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°，∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴∠BCA＝90°，BC＝AC，∴∠BCH＋∠GCA＝90°，∴∠HBC＝∠GCA，∴△BCH≌△CAG（AAS），∴BH＝CG，HC＝AG，设OG＝x，则AG＝HC＝1＋x，∴CG＝3−（1＋x）＝2−x，∴2−x＝x，解得x＝1，∴C（1，1），设直线l平移后的解析式为y＝3（x−t）＋3，代入C点坐标，得3（1−t）＋3＝1，解得t＝．【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，熟练掌握一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强．【经典例题四一次函数的增减性问题】知识点：直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0：经过第一、二、三象限k>0，b<0：经过第一、三、四象限k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k<0，b>0：经过第一、二、四象限k<0，b<0：经过第二、三、四象限k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。【例4】（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为（）A． B． C．2或6 D．或6【答案】D【分析】分两种情况：当时，当时，分别列出关于m的方程即可求解．【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大，∴当时，，∴，解得符合题意，当时，一次函数y随x增大而减小，∴当时，，∴，解得，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性与比例系数的关系是关键．【变式训练】【变式1】（2022·安徽·天长市炳辉中学八年级阶段练习）已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的图像与y轴正半轴相交且y随x的增大而减小，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，结合k为整数可确定一次函数的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出当时x的取值范围．【详解】解：∵一次函数的图像与y轴正半轴相交，y随x的增大而减小，∴，解得：，∵k为整数，∴k＝－2，∴一次函数的解析式为y＝−3x＋1，当y＝－5时，即−3x＋1＝－5，解得：x＝2；当y＝4时，即−3x＋1＝4，解得：x＝−1，∴当时，x的取值范围为−1＜x＜2．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的性质以及解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．【变式2】（2022·上海·上外附中九年级阶段练习）当时，函数的值恒大于0，则实数k的取值范围是___________．【答案】【分析】先根据一次函数的图象是一条直线可知要使函数的值恒大于0，则需要两个端点值都大于0；再验证当y是常函数，即当时是否满足题意即可．【详解】解：∵当时，函数的值恒大于0，∴当和时，的值都大于0，当时，，当时，，∴，解得：，当时，，∴实数k的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像是一条直线是解题的关键．【变式3】（2022·江苏南通·八年级期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象．(1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；(2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积；(3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围．【答案】(1)图见解析，(2)2(3)或【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可；（2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可；（3）根据题意得出经过定点，该图象与x轴交点，利用一次函数的增减性质求解即可．（1）解：如图所示即为所求函数图象：y=x+1，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1，∴，解得∴线段AD所在直线的解析式为y=x+1，∴，解得∴由（1）得：∴△ABC的面积；（3）∵直线（，且为常数）当时，∴经过定点当时，∴该图象与x轴交点①当时∵，由图象可知，解之得∴②当时，由图象可知，始终有综上所述，或．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．【经典例题五一次函数值的大小比较】【例5】（2022秋·重庆·八年级校考期中）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论正确的有（

）①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”；④是函数，的“逼近区间”；A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．逐项进行分析判断即可．【详解】解：①令，，，∵，∴，∴函数，在上不是“逼近函数”；故①不正确，不符合题意；②令，，，∵，∴，∴函数，在上是“逼近函数”，故②正确，符合题意；③令，，，∵，∴，∴不是函数，的“逼近区间”，故③不正确，不符合题意；④令，，，∵，∴，∴是函数，的“逼近区间”，故④正确，符合题意；综上：正确的有②④．故选∶D．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．【变式训练】【变式1】（2022·江苏泰州·八年级期末）若关于x的一次函数的图像过点、、，则下列关于与的大小关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一次函数的性质可得出y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b，y3=-2（n+2）+b，将y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b代入y1+y3中整理后可得出y1+y3=2y2．【详解】解：∵关于x的一次函数y=-2x+b的图象过点（n，y1）、（n+1，y2）、（n+2，y3），∴y1=-2n+b，y2=-2（n+1）+b，y3=-2（n+2）+b，∴y1+y3=-2n+b-2（n+2）+b=-4n-4+2b=2[-2（n+1）+b]=2y2．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．【变式2】（2022·江苏·八年级专题练习）关于函数和函数，有以下结论：①当时，的取值范围是②随x的增大而增大③函数的图像与函数的图像的交点一定在第一象限④若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则其中所有正确结论的序号是______．【答案】①④【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可．【详解】解：①当x＝0时，y1＝−1，当x＝1时，y1＝1，而一次函数y1＝2x−1，y随x的增大而增大，所以−1＜y1＜1，所以①正确；②一次函数y2＝−x＋m（m＞0），y随x的增大而减小，因此②不正确；③联立，解得，则函数y1的图像与函数y2的图像的交点坐标为（），当0＜m＜时，，此时交点在第四象限，所以③不正确；④若点（a，−2）在函数y1图像上，(b，)在函数y2图像上，则2a−1＝−2，−b＋m，即，b＝m−，当m＞0时，，即b＞a，因此④正确；综上所述，正确的结论有①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的图像和性质，掌握一次函数的图像和性质是正确解答的前提．【变式3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）已知一次函数，其中．(1)若点在的图象上，求a的值；(2)当时，，求的函数解析式；(3)对于一次函数，其中，若对于任意实数x，总有，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据点在y1的图象上，待定系数法求解析式，可以求得a的值；（2）根据当时，和分类讨论的方法可以求得a的值，从而可以写出y1的函数表达式；（3）根据题意，，根据，得出相应的不等式组，即可得到m的取值范围．（1）将点代入得，，∴．（2）∵当时，，∴当，即时，由函数的增减性，可得：当时，，即，解得：，此时，函数解析式为：；当，即时，由函数的增减性，可得：当时，，即，解得：，此时，函数解析式为：，综上可得，的函数解析式或；（3）对于一次函数，其中，若对于任意实数x，总有，所以，，解得：．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行线的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．【经典例题六一次函数的规律探究题】【例6】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）如图.在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么的纵坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…如图，∵在直线上，∴，∴，∴，设，，，…，，则有，，…又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，∴，，…∴，，…，将点坐标依次代入直线解析式得到：，，，…，又∵，∴，，，…，故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2022·河南省实验中学八年级期中）正方形…按如图所示放置，点和点…，分别在直线和轴上的坐标分别为，则的坐标是()A． B．C． D．【答案】A【分析】先由的坐标为，点的坐标为，可得正方形边长为1，正方形边长为2，即可求得的坐标是，的坐标是，然后又待定系数法求得直线的解析式，由点的坐标，利用解析式求得点的坐标，利用坐标，利用解析式求得点的坐标，利用的坐标，利用解析式求得点的坐标，进而求出，继而可得，观察可得规律的坐标是．【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为，∴正方形边长为1，正方形边长为2，∴，∴的坐标是，的坐标是，设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式是．∵点的坐标为轴，∴时，，∴点的坐标为，∴正方形边长为，∵点的坐标为，轴，∴时，，∴点的坐标为，∴正方形边长为，∴，∵点的坐标为轴，∴时，，∴，∴正方形边长为，∴，点的坐标分别为，点横坐标关系：，…点横坐规律为，，…点纵坐标规律为：、…∴的横坐标是，纵坐标是，，∴的坐标是．故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象的性质，点的坐标规律，正确的求出相关点的坐标，找到规律是解决问题的关键．【变式2】（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线交轴于点，以为直角边长作等腰，再过点作等腰△交直线于点，再过点再作等腰△交直线于点，以此类推，继续作等腰△，，△，其中点都在直线上，点都在轴上，且，，都为直角．则点的坐标为__，点的坐标为__．【答案】

，【分析】先求出点坐标，根据等腰三角形的性质可得出的长，故可得出的坐标，同理即可得出，的坐标，找出规律即可．【详解】解：直线交轴于点，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，同理可得，，，，故答案为：，，．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【例3】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据求解即可；（2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，∴k=，故答案为：；（2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，∴k1=，∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)，∴k1=，∴k1k2=-2×=-1．【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键．【经典例题七一次函数的图象与性质综合问题】【例7】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，根据解析式求出，，由勾股定理求得，结合旋转可知，设，由勾股定理，代入点的坐标有，解得，即，结合解得不合题意舍去，所以，设过，直线解析式为：代入法求出直线方程，从而得到利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，直线与轴、轴交于点、点，则，，，顺时针旋转，，，，，，，设，则，，，解得，，，即，解得：或，当时（舍去），当时，，设过，直线解析式为：，则有：，解得，，与x轴交点为：，，，故选：A．【点睛】本题考查了旋转、勾股定理、等腰直角三角形的性质、一次函数解析式与交点坐标以及三角形面积公式；解题的关键勾股定理求边长，用代入法求直线解析式．【变式训练】【变式1】（2023·广西玉林·一模）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在x轴上方作等边△AOF，证明△AOB≌△AFC（SAS），所以点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，再根据勾股定理，即可解答．【详解】解：点在直线上，，，，，，，在轴上方作等边，

，，即，又，，≌，，

点的轨迹为定直线，作点关于直线的对称点，连接，，，当点、、在同一条直线上时，的值最小，，，，

∴，AG=2×2=4，，∴,∴∵关于M的对称，∴，的最小值故选：D．【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件好问题作出辅助线【变式2】（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，点P为x轴上一动点，以QP为腰作等腰，当最小时，点H的坐标为___________．【答案】【分析】作、垂直于轴于、，证明≌，推出，，设，得，求出点的运动轨迹，找到最小值的情况，求出的解析式，再和联立，即可求出点H坐标．【详解】解：作、垂直于轴于、，则，则，为等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，设，得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连交于点，当点与点重合时最小，此时F，设直线的解析式为，将F代入，得：，解得：，，联立：，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3】（2022·山东济宁·九年级期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．x…-5-4-3-2-1012345…y=…a-303b…(2)根据表中的数据，在图中补全该函数图象；(3)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．(4)已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)，(2)补全该函数图象见解析(3)①×；②√；③√(4)不等式＞2x﹣1的解集为x＜-1或﹣0.3＜x＜1.8【分析】（1）分别将和代入解析式求得y的值即可；（2）先描点，再连线即可；（3）根据函数图象和函数的增减性及对称性逐项判断即可；（4）写出的图像在下部所对应的自变量取值范围即可．【详解】（1）当时，；当时，，∴，故答案为；（2）画出函数的图象如图：（3）根据函数图象：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值﹣3，说法正确；③当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，说法正确；（4）由图象可知：不等式的解集为或．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质、函数与不等式，掌握用描点法画出函数图象和数形结合的思想是解答本题的关键．【培优检测】1．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（

）A．B．直线l过坐标为的点C．若点，在直线l上，则D．【答案】D【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．【详解】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，∴，∴，故A正确，不符合题意；将点代入，得：，∴，∴直线l的解析式为，当时，，∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，又∵，∴，故C正确，不符合题意；∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，∴当时，，即，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期末）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点B关于x轴的对称点，由待定系数法求出的解析式，再根据的解析式即可求出点P的坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，，，设直线的解析式为，把点A、点的坐标分别代入，得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，，故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．3．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，点在轴上，点在函数图像上，均垂直于轴，若均为等腰直角三角形，则的面积是（

）A．16 B．64 C．256 D．1024【答案】C【分析】根据可得，，因为为等腰直角三角形，可得出，则，因为均为等腰直角三角形，则，可得均为等腰直角三角形，故，同理可得，则，根据规律求出，然后根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵对于，当时，；当时，，∴．∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，同理可得，则，∴，∵为等腰直角三角形，∴．故选C．【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（

）A．22 B．20 C．18 D．16【答案】B【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论．【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令，得，令，则，∴，，∴，过A作交于F，过F作轴于E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设直线的函数表达式为：，∴，解得，∴直线的函数表达式为：，∴，∴，∴的面积是，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点，交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为（）A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【分析】根据菱形的性质证明和都是等边三角形，求出直线解析式为，直线的解析式为，联立方程组即可求出点的坐标．【详解】解：∵菱形的顶点为原点，，∴，∵，∴和都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴直线解析式为，直线的解析式为，联立方程组：，解得：，∴点的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．6．（2022秋·八年级课时练习）如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标．【详解】延长交x轴于点D，如图所示：∵由反射可知：，又∵，∴，在和中，∴，∴∵∴∴∵，设的直线的解析式为，∴，解得，∴的直线的解析式为，∴当时，，∴．故选C．【点睛】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键．7．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m．【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∴∠DAO+∠BAM=90°，∴∠DAO=∠ABM，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM(AAS)，∴OA=BM，OD=AM，∵B(3,1)，∴BM=1，OM=3，∴OA=1，∴AM=OM-OA=2，∴OD=2，同理可证△CDN≌△DAO，∴DN=OA=1，CN=DO=2，∴ON=OD+DN=3，∴C(2,3)，∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上，∴3k+4=1，∴k=-1，∴直线l的解析式为y=-x+4，设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)，∵点C在直线l上，∴-2+4=3-m，解得：m=1，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．8．（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．【答案】D【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：则PA+PB的最小值即为的长，将点A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴点A坐标为（3，6），将点A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴点B坐标为（0，3），根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．9．（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）已知一次函数的图像经过点且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则一次函数的解析式为______．【答案】或【分析】由题意可设函数解析式为，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式．【详解】解：设一次函数的解析式为，令，得，则一次函数的图象与x轴交点坐标为，∴，解得：，∴一次函数解析式为：或．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化．10．（2022春·广东河源·八年级校考期末）正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是_____．【答案】【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，求得的坐标，然后根据，，的坐标归纳总结规律得出的坐标即可．【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为，∴正方形边长为，正方形边长为，∴的坐标是，A2的坐标是，代入得，解得，则直线的解析式是：，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴点的坐标为，∵的横坐标是：，的纵坐标是：，的横坐标是：，的纵坐标是：，的横坐标是：，的纵坐标是：，…∴横坐标是：，的纵坐标是：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、坐标的变化规律等知识点，根据B点的坐标总结规律是解答本题的关键．11．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位长度的速度沿轴向下平移，经过___________秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．【答案】6【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解．【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，设t秒后直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，则直线经过平行四边形的对角线的交点∵点，∴平行四边形对角线的交点坐标为当过时，则解得：，∴向下平移个单位得到，∴经过秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．故答案为：6．【点睛】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线经过对角线的交点是解题的关键．12．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD在第一象限内，轴，，直线沿x轴向其正方向平移，在平移过程中，直线被四边形截得的线段长为t，直线向右平移的距离为m，图2是t与m之间的函数图像，则四边形的面积为__________．【答案】20【分析】根据图形可得，再根据一次函数的平移规律，求出平移后经过点A的函数表达式和平移后经过的函数表达式，即可求出，最后根据梯形的面积公式求解即可．【详解】解：过点A、点B和点D分别作直线的平行线，过点B的平行线交与点E．由图2可知，当时，t随m的增大而增大，∴直线向右平移3个单位长度后经过点A，∵当时，t为定值，∴直线向右平移5个单位长度后经过点B，向右平移6个单位长度后经过点D，当时，t随m的增大而减小，∴直线向右平移12个单位长度后经过点C，∵轴，∴，直线向右平移3个单位长度后经过点A，∴平移后的直线表达式为：，直线向右平移5个单位长度后经过，∴直线的函数表达式为：，∴，∴四边形的面积为．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想，根据一次函数的平移规律得出平移后的函数表达式是解题的关键．13．（2022秋·山西晋中·八年级校考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．【答案】【分析】先求出两点的坐标，根据折叠，得到，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．【详解】解：∵，当时，；当时，；∴，∴，∴∵将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，∴，∴，，在中，，即：，∴，∵点在轴的负半轴上，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．14．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．【答案】3或【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，当时，即，解得：．当时，，∴．∴．∴．∵，点C在射线上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．如图1所示，当时，，∴；如图2所示，当时，，∴．综上所述，的长为3或．故答案为：3或．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．15．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴交于点，与轴交于点.(1)求的值及的面积；(2)已知点，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标.【答案】(1)，(2)点的坐标为或【分析】（1）由题意将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，根据直线方程求得点B的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答；（2）根据题意进行分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可．【详解】（1）解：将点代入直线，解得，∴．当时，．∴，∴．∵当时，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．由（1）知，，∴；①当点在轴下方时，，∴，∵点在轴下方，∴．当时，代入得，，解得：．∴；②当点在轴上方时，，∴，∵点在轴上方，∴．当时，代入得，，