第十九章 一次函数 复习讲义-2023-2024学年人教版数学八年级下册

学生：姓名年级科目：高三物理教师：姓名上课时间：2018.05.0214:00 第19章一次函数复习★题型：函数概念基础函数图象应用一次函数定义一次函数性质：图象分布（k、b）、增减性、取值范围、与坐标轴交点平移解析式求解一次函数与方程不等式一次函数的应用题型一：函数概念基础知识讲解：函数通常被定义为在某个变化过程中，如果存在两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之相对应，那么我们就说y是x的函数。这种关系可以用数学表达式y=f(x)来表示，其中f表示对应法则，即x的每一个值对应一个唯一的y值。例题：1.下列图像不能反映y是x的函数的是（

）A． B． C． D．2.下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A、y=B、y=C、y=D、y=·3.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（

）A．r是因变量 B．是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量4.已知一个长方形的周长为14，写出长b与宽a的函数解析式，并求自变量a的取值范围．练习1.下列各图y是x的函数的是（）A． B． C． D．2．求下列函数中自变量的取值范围：(1)y＝2x＋5 (2)y＝(x-1)0 (3)y＝eq\f(\r(2x－1),x－1)3．(1)试求等腰三角形顶角y与底角x之间的函数式，并写出x的取值范围.(2)某油桶有油20升，现在有一进油管和一出油管，进油管每分钟进油4升，出油管每分钟出油6升，现同时打开两管。写出油桶中剩油量Q(升)与开管时间t(分)之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围。题型二：函数图象的应用知识讲解：注意分析x轴、y轴、函数折点、交点所代表的实际意义例题1．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；其中正确的说法有()A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题1图题2图2．如图，函数图象反映的过程是：小强从家里去菜地浇水，有去玉米地除草，然后回家，如果菜地到玉米地的距离为a千米，小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟，则a，b的值分别是()A．1.1，8 B．1.1，12 C．0.9，3 D．0.9，83．在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是()A．10 B．16 C．18 D．20 题3图1 题3图24．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系式用图象表示大致是()A．B．C．D．5．如图，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿着A，D，B以1cm/s的书读匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y随着时间x的变化关系图像，则a的值为．练习1．如图正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动(点P与A不重合)．设P的运动路程为x，则下列图象中表示△ADP的面积y关于x的函数关系()A． B． C． D．2．如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿着“A→B→C→D→A”的路径运动一周，线段AP长度y(cm)与点P运动路程x(cm)之间的函数图象如图所示，则矩形的面积是()A．32cm2B．48cm2C．16eq\r(5)cm2D．32eq\r(5)cm23．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发沿B→C→A运动．如图（1）所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则图（2）中Q点的坐标是()A．(4，4)B．(4，3)C．(4，12)D．(4，6)图（1）图（2）题型三：一次函数定义知识讲解：一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数例题1.下列函数：①y=x；②；③；④y=kx+b；⑤；⑥；⑦其中是一次函数的有：2.(1)如果是一次函数，则m的值是。(2)若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值是。(3)已知是一次函数，且当x增大时，y也随之增大，则m为练习1.已知关于x的函数y=(m-2)x-n+m2-4是正比例函数，则(m-n)2023的值为（

）A．0 B．1 C．-1 D．32.下列函数中：①1-eq\r(2)x；②eq\f(1,x2)；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x)，其中y是x的一次函数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型四：图象与性质主要考点：图象分布（k、b）、增减性、取值范围、与坐标轴交点例题1.关于一次函数y=-2x-5，下列说法错误的是（

）A．函数图象不经过第一象限 B．y随自变量x的增大而减小C．函数图象与y轴交于（0，5）D．当x＜-eq\f(5,2)时，y＞02.在同一平面直角坐标系中，函数y=eq\f(a,x)与y=ax+3的图象大致是（

）A． B． C． D．3.(1)已知y=3x+b，点A(3，y1)，点B(4，y2)在一次函数图像上，那么y1___y2（填“<，=，>”）(2)点A（x1，y1）、B（x2，y2）是正比例函数y＝-2x图象上不同的两点，若t＝(x1-x2)(y1-y2)，则t0.（用“≤、≥、＜、＞、＝”符号表示）(3)如果一次函数y＝kx＋b的图像经过点（m，1）和点（1，m），其中m＞1，那么k、b应满足的条件是_____4．点A(m1，n1)，B(m2，n2)(m1＜m2)在直线y＝kx＋b上，若m1＋m1＝3b，n1＋n2＝kb＋4，b＞2，试比较n1和n2的大小，并说明理由．5．一次函数y=3x+1，若-2＜x＜3，则y的取值范围为；若-4＜y≤1，则x的取值范围为；6.设0＜k＜2，关于x的一次函数y＝kx＋2(1-x)，当1≤x≤2时的最大值是（）A.2k-2 B.k-1 C.k D.k＋17．已知函数，该函数与x轴的交点坐标分别为________；与y轴的交点坐标分别为________；与坐标轴围成的三角形的面积为________；练习1．一次函数y＝kx＋b和正比例函数y＝kbx在同一坐标系内的大致图象是()A． B． C． D．2．若正比例函数y＝(2m-1)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是．3．一次函数y=-3x+1，若-2＜x＜3，则y的取值范围为；若-4≤y＜1，则x的取值范围为；4．已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.(1)求m的值；(2)当x取何值时，0≤y＜4？5．已知点A(m，n)，B(p，q)(m＜p)在直线y＝kx＋b上，m＋p＝2，n＋q＝2b2＋6b＋4．试比较n和q的大小，并说明理由．6．一次函数y=2x+6与一次函数y=-x+3的交点坐标为，两直线与x轴围成的三角形面积为；两直线与y轴围成的三角形面积为；题型五：平移知识讲解：将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。口诀：上加下减，左加右减。例题：1．在同一直角坐标系内，直线y＝mx＋5可由直线y＝-2x＋8向下平移得到，则m＝．2．一次函数y＝2x-3的图象向上平移4个单位得到的函数解析式为；向下平移2个单位得到的函数解析式为．3．在同一直角坐标系内，直线y＝-2x与y＝-2x-3的位置关系为．4．当m满足时，一次函数y＝-2x＋2m-5的图象与y轴交于负半轴．练习：1.平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC在x轴的正半轴，点B(6,2)、C(4,0)，直线y=2x＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过______秒，该直线将平行四边形OABC面积平分．知识点六：解析式知识讲解：一次函数解析式的求解主要采用待定系数法，这种方法通过设定函数的一般形式，然后根据已知条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式。例题：1.已知y-1与x+3成正比例，当x=-1,y=3时，．(1)求出y与x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；

(2)设点（a,-2)在这个函数的图象上，求a的值．

(3)试判断点(-2,5)是否在此函数图像上，并说明理由．2．若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2，求直线的表达式，并作图．若-3≤x≤6，求作其图象.3．一次函数y＝kx＋b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求函数的解析式．4.周长为10cm的等腰三角形，腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系为______，自变量范围为______．练习：1.图中表示的是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图，观察图由所提供的信息，解答下列问题：汽车在前9分钟内的平均速度是______．

（2）求出当16≤x≤30时，s与t的函数关系式为______；

（3）汽车前25分钟走了______千米．2.如图，在平面直角坐标系中A(-2,1)，B(3,4)，若x轴上有一点，使得PA+PB的值最小，则P点坐标为__________．3.如图，在平面直角坐标系中，AC∥y轴，BC∥x轴，点A在直线y=kx+1上，点B的坐标是（9，2），∠ABC=90°AC＝5，BC=3，将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移m个单位长度，此时点B恰好落在直线l上，则m的值是___________．题型七：一次函数与方程不等式知识讲解：一次函数与一元一次方程△y=ax+b与x轴的交点横坐标←→方程ax+b=0的解补充拓展：y=ax+b与y=1的交点横坐标←→方程ax+b=1的解或y=ax+b-1与x轴的交点横坐标←→方程ax+b=1的解①函数角度：一次函数y=ax+b的函数值为0时，自变量x的值是一元一次方程ax+b=0的解，任意一个关于x的方程都可以化为ax+b=0的形式②几何角度：一次函数y=ax+b与x轴的交点横坐标为ax+b=0的解一次函数与二元一次方程组①函数角度：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x+b1=y,a2x+b2＝y))(a1≠a2）的解是函数y=a1x+b1与y=a2x+b2当x为何值时，函数值相同②图象角度：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x+b1=y,a2x+b2＝y))(a1≠a2）的解是函数y=a1x+b1与y=a2x+b2图象的交点举例：两直线相交于点P（m，n），方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x+b1=y,a2x+b2＝y))的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m,y＝n))3.一次函数与不等式①函数角度：一次函数y=ax+b（a≠0），当y＞0或y＜0时，自变量x的取值范围是ax+b＞0或ax+b＜0时的解集②图象角度：一次函数y=ax+b（a≠0）图象在x轴上方或下方时，x的取值范围是ax+b＞0或ax+b＜0的解集举例：如图，可得结论①当ax+b＞0，解集x＞m②当ax+b＜0，解集x＜m③当kx+c＞0，解集x＜n④当kx+c＜0，解集x＞n例题直线y＝x＋2与直线y＝2x-1的交点坐标是．2．如图1，已知直线y＝ax＋b，由图象可知方程ax＋b＝0的解为__________；方程ax＋b＝1的解为__________．图1图2图33．如图2，一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图3，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是4．如图3，直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为（）A．x＞-1 B．x＜-1 C．x＜-2 D．无法确定5.【数学活动回顾】：七年级下册教材P109中我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．

规定：以方程x-y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x-y=0的图象；

结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线

示例：如图1，我们在画方程x-y=0的图象时，可以取点A(-1,-1)和B（2，2）作出直线AB．

【解决问题】请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y＝4,x-y＝-1))中的两个二元一次方程的图象．

(2)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______；

(3)【拓展延伸】

①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程y=x+3的图象l1和y=x-1的图象l2，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y＝-3,x-y＝1))的解的情况__________．

②已知以关于x、y的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x+3y＝20+7m①,3x+4y＝19-14m②))的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上，当t＞m时，化简eq\r(（-7t-2）2)-|1-7t|．练习1.直线y＝2x＋2与直线y＝x-1的交点坐标是．2．如图，两个一次函数y1＝-x＋a与y2＝bx-4的图像交于点P，则下列结论错误的是（

）

A．方程-x+a＝bx-4的解是x＝1 B．不等式-x+a＜-3和不等式bx-4＞-3的解集相同C．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y+x＝a,y-bx＝4))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－3))D．不等式组bx-4＜-x+a＜0的解集是-2＜x＜13．如图，直线y=kx＋b经过A(-1，-2)、B(-2，0)两点，直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为．4．如图，函数和的图像的两个交点坐标为；当时，x的取值范围是题3图题4图知识点八：一次函数应用应用一：分段函数例题x（分钟）0y（米）1000800x（分钟）0y（米）10008006004002002456810AB(1)小文走了多远才返回家拿书？(2)求线段所在直线的函数解析式；(3)当分钟时，求小文与家的距离.2.2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．(1)哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？(2)在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？练习1．甲、乙从同一个地点出发，甲乘坐电动观光车，乙步行，沿着同一条山路上山游玩，两人相约在电动车终点站会合．设乙出发x分钟后行走的路程为y米，图中的折线表示在整个行走过程中y与x的函数关系．甲乘坐的电动观光车平均速度为180米/分．（1）乙行走的总路程是米；他在中途休息了分钟；（2）①当25≤x≤35时，求y关于x的函数关系式；②若甲在乙出发后20分钟乘车，求乙出发后几分钟甲能追上乙？2．保护生态环境，实行“节能减排”的理念已深入人心．我市某工厂从2014年1月开始，进行机器设备更新，产业转型换代的改造，改造期间利润明显下降，从1月份利润60万元逐月等额下降，到5月份利润为20万元；5月底改造完成，从这时起，该厂每个月的利润都比上个月增加15万元．设第x个月的利润为y（万元），函数图像如图．当月利润少于50万元时，为该厂的资金紧张期，问该厂的资金紧张期为那几个月？应用二：方案问题1.某中学初一年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．

(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如