内蒙古通辽甘旗卡第二高级中学2025届高一下数学期末统考模拟试题含解析

内蒙古通辽甘旗卡第二高级中学2025届高一下数学期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长的概率为A． B． C． D．2．如图是函数的部分图象２，则该解析式为（）A． B．C． D．3．已知.为等比数列的前项和，若，，则()A．31 B．32 C．63 D．644．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A． B． C． D．5．一个钟表的分针长为，经过分钟，分针扫过图形的面积是()A． B． C． D．6．己知数列和的通项公式分別内，，若，则数列中最小项的值为（）A． B．24 C．6 D．77．设集合，集合为函数的定义域，则（）A． B． C． D．8．计算的值等于（）A． B． C． D．9．直线与直线垂直，则的值为（）A．3 B． C．2 D．10．函数的简图是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点若，则该双曲线的渐近线方程为________.12．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．13．在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.14．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则___________.15．已知向量，则与的夹角是_________.16．若等差数列和等比数列满足，，则_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.（1）证明：的面积为定值；（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.18．若不等式的解集为.（1）求证：；（2）求不等式的解集.19．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴交于点，设，，，R，求的值．20．（1）解方程：；（2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数；21．在中，角、、的对边分别为、、，为的外接圆半径.（1）若，，，求；（2）在中，若为钝角，求证：；（3）给定三个正实数、、，其中，问：、、满足怎样的关系时，以、为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情兄下，用、、表示.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先求出临界状态时点P的位置，若，则点P与点C的距离必须大于或等于临界状态时与点C的距离，再根据几何概型的概率计算公式求解.【详解】如图所示：当时，此时,若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为2的圆环内，所以弦长的概率为：.故选B.【点睛】本题主要考查几何概型与圆的垂径定理，此类题型首先要求出临界状态时的情况，再判断满足条件的区域.2、D【解析】

根据函数图象依次求出振幅，周期，根据周期求出，将点代入解析式即可得解.【详解】根据图象可得：，最小正周期，，经过，，，，，所以，所以函数解析式为：.故选：D【点睛】此题考查根据函数图象求函数解析式，考查函数的图象和性质，尤其是对振幅周期的辨析，最后求解的值，一般根据最值点求解.3、C【解析】

首先根据题意求出和的值，再计算即可.【详解】有题知：，解得，.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及前项和的求法，属于简单题.4、A【解析】

先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.【详解】由题得，所以a+b=7.故选：A【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、B【解析】

分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可．【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础6、D【解析】

根据两个数列的单调性，可确定数列，也就确定了其中的最小项．【详解】由已知数列是递增数列，数列是递减数列，且计算后知，又，∴数列中最小项的值是1．故选D．【点睛】本题考查数列的单调性，数列的最值．解题时依据题意确定大小即可．本题难度一般．7、B【解析】

解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出.【详解】因为，所以.又因为函数的定义域为，所以.因此，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.8、C【解析】

由三角正弦的倍角公式计算即可．【详解】原式．故选C【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算．9、A【解析】

根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的条件，属于基础题.10、D【解析】

变形为，求出周期排除两个选项，再由函数值正负排除一个，最后一个为正确选项．【详解】函数的周期是，排除AB，又时，，排除C．只有D满足．故选：D.【点睛】本题考查由函数解析式选图象，可通过研究函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性等排除某些选项，还可求出特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势排除一些选项，从而得出正确选项．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意到，联立方程得到，得到答案.【详解】，故.，故，故，故.故双曲线渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12、【解析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13、16【解析】

根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.【详解】根据概率是频率的稳定值的意义，红色球的个数为个；黑色球的个数为个；故白色球的个数为4个.故答案为：16.【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.14、或【解析】

由等比数列的定义得出，可得出，利用两角和与差的余弦公式化简可求得的值.【详解】由于数列是首项为，公差为的等差数列，则，，又数列是等比数列，则，即，即，即，整理得，即，可得，，因此，或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用等差数列和等比数列的定义求参数，同时也涉及了两角和与差的余弦公式的化简计算，考查计算能力，属于中等题.15、【解析】

利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.【详解】由题知，，因为，所以与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.16、【解析】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以,求出的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程．【详解】（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，所以经过，又为中点，所以，所以，所以的面积为定值.（2）因为直线与圆交于两点，，所以的中垂线经过，且过，所以的方程，所以，所以当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆交于点两点，故成立；当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），综上所述，圆的方程为.【点睛】本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力．解题注意几何条件的运用可以简化运算．18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由已知可得是的两根，利用韦达定理，化简可得结论；（2）结合（1）原不等式可化为，利用一元二次不等式的解法可得结果.【详解】（1）∵不等式的解集为∴是的两根,且∴∴，所以;（2）因为，,所以，即,又即，解集为【点睛】本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目．若，则的解集是；的解集是.19、（1）（2）【解析】

（1）设斜率为，则直线的方程为，利用圆的弦长公式，列出方程求得的值，即可得到直线的方程；（2）当直线的斜率不存在时，根据向量的运算，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的运算，求得，得到答案．【详解】（1）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，解得，所以直线的方程为．.（2）当直线的斜率不存在时，不妨设，，，因为，，所以，，所以，，所以．当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，因为直线与轴交于点，所以．直线与圆交于点，，设，，由得，，所以，；因为，，所以，，所以，，所以．综上，．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及向量的坐标运算，其中解答中熟记圆的弦长公式，以及联立方程组，合理利用根与系数的关系和向量的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20、（1）或。（2）、、、，或、、、【解析】

（1）由正弦的倍角公式，化简得，得到解得或，结合正弦和余弦的性质，即可求解；（2）设这四个数分别为，得到，且，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，方程，可得，即，解得或，所以或.（2）由题意，设这四个数分别为，可得，且，解得：或，所以这四个数为：、、、，或、、、.【点睛】本题主要考查了三角方程的求解，以及等差、等比中项的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及等差、等比数列中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21、（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】

（1）利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理求出的值；（2）由余弦定理得出可得证；（3）分类讨论判断三角形的形状与两边、的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可.