专题2.13二元一次方程组的应用大题专练（6）其他问题（重难点培优30题七下浙教）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.13二元一次方程组的应用大题专练（6）其他问题（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022春·浙江台州·七年级统考期末）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛．(1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？(2)现有大桶和小桶共23个，且大桶的个数小于小桶个数的2倍．如果这些桶能装下50斛的酒，求所有满足条件的大桶和小桶的个数？【答案】(1)1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛；(2)需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个．【分析】（1）设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组求解即可；（2）设需要m个大桶，（23-m）个小桶，列出不等式组求解即可．（1）设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶以盛酒y斛，5x+2y=17x+5y=8解得x=3y=1答：1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛；（2）设需要m个大桶，（23-m）个小桶，则0<m<2(23-m)解得：272≤m<46当m=14时，23-m=23-14=9；当m=15时，23-m=23-15=8；答：需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系和不等式关系是解题关键．2．（2020·浙江杭州·七年级期末）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”其译文是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子．”（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：解：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：__________①①+②，得______________，∴x+y=______________．小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；对于实数x，y，定义新运算；x※y=ax+by-1，其中a，b是常数．已知3※5=4，2※3=2，求【答案】（1）见解析；（2）0【分析】（1）将两式相加，再把结果两边同时除以7，可得结果；（2）根据3※5=4和2※3=2得到3a+5b=5①2a+3b=3②，②×2-①可得：a+b=1，从而可得1※1【详解】解：（1）设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：5x+2y=19①2x+5y=16②①+②，得7x+7y=35，∴x+y=5，∴1头牛、1只羊共值5两银子；（2）∵x※y=ax+by-1，且3※5=4，∴3a+5b-1=42a+3b-1=2，即3a+5b=5①②×2-①可得：a+b=1，∴1※1=a+b-1=0．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，理解整体思想的运用．3．（2020春·浙江金华·七年级统考期中）“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？【答案】甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱【分析】设甜果买了x个，苦果买了y个，先求出每个甜果和每个苦果的价钱，再根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列方程组，可求出x、y的值，进而可求出买甜果和苦果的钱数．【详解】设甜果买了x个，苦果买了y个，∵十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，∴甜果每个119文，苦果每个4∵九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，∴x+y=100011解得：x=657y=343∴119x=803答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．4．（2021春·浙江杭州·七年级统考期末）（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问：（1）马牛各价几何？（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？【答案】（1）马每匹6两，牛每头4两；（2）118两【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，通过有理数运算，即可得到答案．【详解】（1）设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得：4x+6y=48解得：x=6∴马每匹6两，牛每头4两；（2）结合（1）的结论，得马一十三匹、牛十头共价：13×6＋10×4＝118两．【点睛】本题考查了二元一次方程组、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．5．（2021春·浙江·七年级期末）古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？（1）试用一元一次方程解决上述问题．（2）如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组并详细写出求解过程．【答案】（1）笼中有鸡23只，兔12只；（2）见解析【分析】（1）设笼中有鸡x只，根据题意得到等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=94，根据此等式列方程求解即可．（2）根据上有三十五头，得方程x+y=35；根据下有九十四足，得方程2x+4y=94，联立得方程组，解之即可．【详解】解：（1）设笼中有鸡x只，则有兔35-x只，由题意可得：2x+4（35-x）=94，解得：x=23，∴笼中有鸡23只，兔12只；（2）假设鸡有x只，兔有y只，根据题意，得x+y=352x+4y=94解得x=23y=12∴鸡有23只，兔有12只．【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程（组），并能够熟练解方程（组）．6．（2019春·浙江衢州·七年级统考期中）列方程(组)解应用题：《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？【答案】有7人，该物品价值53元．【分析】设有x人，该物品价值y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】设有x人，该物品价值y元，根据题意得：8x-y=3解得：x=7y=53答：有7人，该物品价值53元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．7．（2018春·七年级单元测试）《一千零一夜》中：有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”【答案】树上原有7只鸽子，树下有5只鸽子．【详解】本题考查的是方程组的应用根据等量关系：若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13设树上有只鸽子，树下有只鸽子，由题意得，解得，答：树上有只鸽子，树下有只鸽子．8．（2022春·浙江丽水·七年级青田县第二中学校考阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．(1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有x、y的代数式表示）(2)根据题意，列出二元一次方程组为__________．(3)求原来的两位数．【答案】(1)10x+y，10y+x(2){(3)35【分析】（1）两位数的值=十位数字×10+个位数字；（2）根据题意的等量关系即可得出方程组；（3）解出（2）的方程组即可得出原来的两位数．(1)解：原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x；故答案为：10x+y，10y+x；(2)由题意可列出二元一次方程组为：{x+y=8故答案为：{(3)由（2）可得：{整理为：{x+y=8解得：{故原两位数是35．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字×10+个位数字．9．（2021春·浙江·七年级期中）阅读材料并完成题目：【材料一】我们可以将任意两位数记为ab（其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数字，且a≠0），显然ab=10a+b【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字0，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“惟勤数”，如36的“惟勤数”为306若将一个两位正整数N减5后得到一个新数，我称这个新数为N的“惟真数”，如36的“惟真数”为31．（1）76的“惟勤数”是_________，“惟真数”是_________；（2）求证：对任意一个两位正整数ab，其“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）有一个两位数xy，其“惟勤数”与“惟真数”之和为439，其“惟真数”的各位数字之和为10，请通过列方程求这个两位数．【答案】（1）706，71；（2）见解析；（3）42【分析】（1）根据“惟勤数”和“惟真数”的定义可得结果；（2）分别算出这个两位正整数的“惟勤数”和“惟真数”，再相减即可证明；（3）首先得到55x+y=222，分5≤y≤9和0≤y≤4两种情况分别列方程组，根据结果进行取舍．【详解】解：（1）76的“惟勤数”是706，“惟真数”是71；（2）两位正整数ab，其“惟勤数”是100a+b，“惟真数”是10a+b-5，∴100a+b-（10a+b-5）=100a+b-10a-b+5=90a+5=5（18a+1），∴“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；（3）由题意可得：100x+y+10x+y-5=439，则55x+y=222，当5≤y≤9时，x+y-5=10，即x+y=15，解55x+y=222x+y=15得：x=当0≤y≤4时，x-1+y+10-5=10，x+y=6，解55x+y=222x+y=6得：x=4∴这个两位数为42．【点睛】本题考查了新定义在数字问题中的应用，二元一次方程组的应用，读懂定义并正确列式，是解题的关键．10．（2020秋·浙江湖州·七年级统考期末）2019年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．【答案】2，9.【分析】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y，根据二阶幻圆的要求，列出方程组，即可求解.【详解】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y．根据题意得：3+6+7+y=4+6+7+8x+3+y+11=4+6+7+8，解得：x=2故答案是:2，9【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键.11．（2019春·浙江杭州·七年级统考期中）某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名热练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车．（1）每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？（2）如果工厂招聘n名新工人（0＜n＜10）．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里．请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少千公里？【答案】（1）每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车；（2）工厂可以找出2名、4名、6名或8名新工人；（3）9.9．【分析】（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆自行车．根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆自行车”和“2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆自行车”列方程组求解．（2）设工厂有m名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据m，n都是正整数和0<n<10，进行分析n的值的情况；（3）设一个轮胎用作前轮使用m千公里，用作后轮使用n千公里，根据题意得：，解得a+b即可．【详解】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意得：，解得：．答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车．（2）设抽调熟练工a名，根据题意得：（2n+4a）×30＝600，∴n＝10﹣2a，∴或或或．答：工厂可以找出2名、4名、6名或6名新工人．（3）设一个轮胎用作前轮使用m千公里，用作后轮使用n千公里，根据题意得：，∴a+b＝9.9．答：一对轮胎能行驶的最长路程是9.9千公里．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用.12．（2019春·浙江绍兴·七年级统考期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁【分析】设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，根据老师和学生年龄差不变来列方程组解答．【详解】设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：x-y＝解得x＝答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目的关键，老师和学生年龄差不变．13．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．(1)如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．(2)如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．(3)如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF=14GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形【答案】(1)S(2)S(3)S【分析】（1）根据面积等于大正方形面积-小正方形面积或等于两个长方形面积之和即可得出结论；（2）用a，b表示S1和S2，根据S1=4，S2=1，求出a和b的值，将a和b的值代入S3（3）设AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．用a，b表示NE,FC，根据三角形AHF的面积为3列出式子，进而即可求解．．（1）根据题意可知，S（2）因为S1=4=（a+b）（b-a），又因为S2=1，所以DG=1，即b-a=1，所以a+b=4；所以a+b=4b-a=1解得：a=3

S3表示边长为（2a-b）的正方形的面积，S即S3（3）如图，设AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．∵四边形GFEH为正方形，HF为对角线，∴∠ADF=90°，∠DFM=45°∴△DMF为等腰直角三角形，则NE=DF=DM=14aFC=b-14aS△AHF＝12AM•HN+12AM=12AM(HN+DF=12(b−14a=3．S△EFC＝12FC•EF＝12(b−14a)•a【点睛】本题考查整式乘法与图形面积，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的关键；（2）（3）中解题的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．14．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．(1)如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的12，求x和y满足的关系式（不含a，b【答案】(1)小长方形的相邻两边长是10，25(2)①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值13；②【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为60m和45（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为x和y，依题意，可有x+2y=602x+y=45解得x=10y=25故小长方形的相邻两边长分别是10，25；（2）①∵1个小长方形的周长为2x+y1个大长方形的周长为2(a+b)=2(2x+y+x+2y)=6(x+y)，∴2(x+y):2(a+b)=2(x+y)故1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值13②依题意有：(2x+y)(x+2y)=2×3xy，整理，得2x故x和y满足的关系式为2x【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型．15．（2018春·浙江丽水·七年级统考期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）【答案】(1)a=60(2)①2m+n；m+2n；②24，27，30【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．（1）由题意得：2a+b+10=170a+2b+30=170解得a=60b=40故答案为：60，40；（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；故答案为：2m+n；m+2n；②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．∵所裁得的板材恰好用完，∴2m+n3=m+2n2，化简得∵n，m皆为整数，∴m为4的整数倍，又∵30≤m≤40，∴m可取32，36，40，此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．故答案为：24或27或30．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．16．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒.设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.x块甲方式加工的纸板y块乙方式加工的纸板A板块2xB板块(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完，能做多少个礼盒？(3)若现有B板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完，则a的最小值为___________.(请直接写出答案)【答案】(1)4y，6x(2)12(3)9【分析】（1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可；（2）设未知数，列方程组求解即可；（3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可．（1）解：由甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量可知，x块纸板按甲方式进行加工，可得到A版块2x块，B版块6y块，y块纸板按乙方式进行加工，可得A版块6y块，故答案为：6y，4y；（2）由题意可得，x+y=142x+4y=2×6x解得：x=4y=10即有4块采用甲方式进行加工，10块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为6×4÷2=12（个）；（3）由题意得，x+y=a2x+4y=2解得x=2a-2∵x、a都是正整数，∴a的最小整数值为9，故答案为：9．【点睛】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键．17．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）陈师傅要给一块长6米，宽5米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长是宽的3倍，已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖价格和3块B款瓷砖价格相等，请回答以下问题：(1)分别求出每款瓷砖的单价；(2)陈师傅购买瓷砖时，A款瓷砖在以原价8折的价格进行促销活动，结果陈师傅共花了6600元购买两种瓷砖，且两种瓷砖的数量相差不超过20块，则两种瓷砖各买了多少块？(3)陈师傅打算将长6米，宽5米长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖（如图所示），铺地时B款瓷砖恰好用了52块，则铺地时要用多少块A款地砖？【答案】(1)A款地砖每块90元，B款地砖每块60元(2)A款地砖买了50块，B款地砖买了50块或者A款地砖买了45块，B款地砖买了56块或者A款地砖买了55块，B款地砖买了44块(3)36块地砖【分析】（1）列方程组求解；（2）设未知数列方程，再根据条件求其正整数解；（3）根据题意，先求A瓷砖的面积，再根据面积求瓷砖的数量．（1）解：设A款地砖每块x元，B款地砖每块y元，则x+y=1502x=3y，所以答：A款地砖每块90元，B款地砖每块60元．（2）设A款地砖买了a块，B款地砖买了b块则70a+60b=6600-20≤a-b≤20因为两种瓷砖的数量都相差不超过20块且都为正整数所以a=b=50或a=45，b=56或a=55，b=44．（3）设在长6米的边上铺了B款瓷砖m块，则B款瓷砖的长为6m米，宽为22m+5m-4=52，m=8所以长6米的边上铺了8块B款瓷砖，宽5米的边上铺了20块B款瓷砖，所以中间部分需要用6×6＝36块地砖．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．18．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．建兰中学欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？(3)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元(2)这批消毒液可使用5天(3)分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；（3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将8.4L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗10ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m＋n）最小的方案即可得出结论．（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，依题意得：3x＋解得：x＝答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）解：设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，依题意，得：10a＋25b＝2500，∴2a＋5b＝500，∴200a+500b1000×10答：这批消毒液可使用5天．（3）解：设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，依题意，得：200m＋500n＋10（m＋n）＝8400，∴m＝∵m，n均为正整数，∴m＝23n∵要使分装时总损耗10（m＋n）最小，∴m=6n=14即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．19．（2022春·浙江嘉兴·七年级校考期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～79套（含79套）80套及以上每套服装的价格100元80元60元经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：(1)甲、乙两个乐团各有多少名学生？(2)现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．【答案】(1)甲乐团有30人；乙乐团有45人(2)共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可；（2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可．（1）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人，根据题意，得x+y=75100x+80y=6600，解得x=30答：甲乐团有30人；乙乐团有45人；（2）解：由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13﹣35∵每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，∴a=5b=10或a=10∴共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．【点睛】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．20．（2021春·浙江金华·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．(1)求医用口罩和洗手液的单价；(2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，两种口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．【答案】(1)医用口罩的单价为2.5元，洗手液的单价为30元(2)有3种购买方案：①购买N95口罩60个，购买医用口罩1140个，购买洗手液73瓶；②购买N95口罩120个，购买医用口罩1080个，购买洗手液66瓶；③购买N95口罩180个，购买医用口罩1020个，购买洗手液59瓶．【分析】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意列二元一次方程组，利用加减法解方程组即可；（2）设购买N95口罩a个，且a≤200，a为正整数），购买洗手液b瓶，则买医用口罩(1200-a)个，根据总费用5400元，列二元一次方程，再结合a、【详解】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得800x+120y=5400+2001200x+80y=5400整理得：20x+3y=14030x+2y=135，解得x=2.5答：医用口罩的单价为2.5元，洗手液的单价为30元．（2）设购买N95口罩a个,且a≤200，a为正整数，购买洗手液b瓶，则买医用口罩(1200-a)个，根据题意得2.5(1200-a)+6a+30b=5400，整理得：3.5a+30b=2400，即有b=80-7a∵a、b都为正整数，∴a=60b=73，a=120b=66，即有3种购买方案答：有3种购买方案：①购买N95口罩60个，购买医用口罩1140个，购买洗手液73瓶；②购买N95口罩120个，购买医用口罩1080个，购买洗手液66瓶；③购买N95口罩180个，购买医用口罩1020个，购买洗手液59瓶．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）某校701班学生通过捐零花钱的形式，筹集一定数目的资金购买笔和写字本送给农村希望小学的同学．若每人捐4元，则比需要筹集的资金少20元；若每人捐5元，则比需要筹集的资金多25元．已知写字本的单价比笔的单价少4元，且用18元买写字本的数量和用30元买笔的数量相同．(1)求701班的学生数和需要筹集的资金数．(2)求出这种笔和写字本的单价．(3)若用筹集的资金全部购买这种笔和写字本，并且笔和写字本都买，但笔的数量不超过5支，请列出所有购买的方案．【答案】(1)701班有学生45人，需要筹集资金200元(2)笔的单价是10元/支，写字本的单价是6元/本(3)①购买笔2支，写字本30本;②购买笔5支，写字本25本【分析】（1）首先设701班有x名学生，需要筹集的资金为y元，根据“每人捐4元，则比需要筹集的资金少20元；若每人捐5元，则比需要筹集的资金多25元”列出二元一次方程组解出即可；（2）设笔的单价为z元/支，则写字本的单价为（z－4）元/本，根据条件列出分式方程，解出即可；（3）设购买笔m支，写字本n本，列出关于m、n的二元一次方程，解出方程的正整数解即可．【详解】（1）解：设701班有x名学生，需要筹集的资金为y元，则：4x+20=y5x-25=y，解得x=45y=200答：701班有学生45人，需要筹集资金200元；（2）解：设笔的单价为z元/支，则写字本的单价为（z－4）元/本，则：18z-4=解得z=10经检验，z=10是原方程的解，且符合题意.

答：笔的单价是10元/支，写字本的单价是6元/本；（3）解：设购买笔m支，写字本n本，则：10m+6n=200，即①m=2，n=30;②m=5，n=25．【点睛】本题主要考查分式方程很二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目的等量关系式．22．（2022春·浙江丽水·七年级统考期末）某校有一块500m2的劳动教育基地种植A，B两种蔬菜，已知A种蔬菜的平均产量约为2kg/m2，(1)A，B两种蔬菜的种植面积分别为多少m2(2)学校预通过义卖这批蔬菜筹集4000元助学金，义卖活动要求蔬菜销售单价为整数且不超过5元/kg，那么这两种蔬菜的义卖单价可分别定为多少元/【答案】(1)A种蔬菜的种植面积为200m2，B(2)A种蔬菜的义卖单价可定为4元/kg，B种蔬菜的义卖单价可定为2元/kg或A种蔬菜的义卖单价可定为1元/kg，B种蔬菜的义卖单价可定为【分析】（1）设A种蔬菜的种植面积为xm2，B种蔬菜的种植面积为（2）设A种蔬菜的义卖单价可定为a元/kg，B种蔬菜的义卖单价可定为b元/kg，根据a,b为正整数且不超过（1）解：设A种蔬菜的种植面积为xm2，B种蔬菜的种植面积为由题意得：x+y=5002x+4y=1600解得：x=200y=300答：A种蔬菜的种植面积为200m2，B种蔬菜的种植面积为（2）设A种蔬菜的义卖单价可定为a元/kg，B种蔬菜的义卖单价可定为b元/由题意得：2×200a+4×300b=4000，整理得：a=10-3b，∵a、b为正整数且不超过5，∴当b=1时，a=7(不合题意舍去)；当b=2时，a=4；当b=3时，a=1；综上所述，当a=4，b=2或当a=1，b=3时，符合题意，答：A种蔬菜的义卖单价可定为4元/kg，B种蔬菜的义卖单价可定为2元/kg或A种蔬菜的义卖单价可定为1元/kg，B种蔬菜的义卖单价可定为3【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出二元一次方程（组）是解题的关键．23．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）某场篮球赛，门票共两种，价格分别为：成人票30元/张，儿童票10元/张．门票总收入为：6900元．(1)若售出门票总数290张，求售出的成人票张数．(2)设售出门票总数a张，其中儿童票b张．①求a，b满足的数量关系．②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值．【答案】(1)200张(2)①3a-2b=690；②30【分析】（1）设售出的成人票x张，儿童票y张，由“门票总收入：6900元和售出门票总数290张”列出方程组，求解即可；（2）①由门票总收入：6900元，可得30（a-b）+10b=6900，即可求解；②由题意可列出方程组，即可求解．（1）解：设售出的成人票x张，儿童票y张，由题意可得：30x+10y=6900x+y=290解得：x=200y=90答：售出的成人票200张；（2）①由题意可得：30（a-b）+10b=6900，∴3a-2b=690；②由题意可得：3a-2b=690a-b=7b+10解得：a=250b=30答：b的值为30．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程组和函数关系式．24．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600(1)全部物资可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车辆来运送．(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(3)已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？【答案】(1)5(2)需要甲型车8辆、乙型车10辆(3)方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车；安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省【分析】（1）根据需要丙型车的辆数=（需要运送物质的总重量-甲型汽车运送货物的总重量-丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14-m-n）辆，根据一次正好运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14-m-n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．（1）解：（120﹣5×6﹣8×5）÷10=5（辆）．故答案为：5．（2）解：设需甲型车x辆，乙型车y辆，依题意，得：5x+8y=120400x+500y=8200解得：x=8y=10答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．（3）解：设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，依题意，得：5m+8n+10(14﹣m﹣n)=120，∴n=10﹣52m又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，∴m=0n=10或m=2n=5或∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车；方案1所需运费为500×10+600×4=7400（元）；方案2所需运费为400×2+500×5+600×7=7500（元）；方案3所需运费为400×4+600×10=7600（元）．∵7400＜7500＜7600，∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．25．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨；用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运13吨．(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)该物流公司现有31吨救灾物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运5吨(2)有两种租车方案：①租A型车2辆，B型车5辆；②租A型车7辆，B型车2辆【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由题意，该物流公司现有31吨救灾物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满，列出二元一次方程，求出非负整数解即可．【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨由题意得2x+y=11x+2y=13解得x=3y=5答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运5吨；（2）解：由题意，得3a+5b=31．∵a，b均为非负整数，∴a=2b=5或a=7答：有两种租车方案：①租A型车2辆，B型车5辆；②租A型车7辆，B型车2辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．26．（2022春·浙江温州·七年级统考期中）近期国内新冠疫情多点暴发，疫情防控形势异常严峻．为加强校园疫情防控，某校欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要36元，购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．(2)该校购置了甲种消毒液a瓶，乙种消毒液b瓶，两种消毒液的总体积为12600ml，请根据（1(3)为节约成本，该校第二次购买散装免洗手消毒液进行分装．现需将12600ml的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10【答案】(1)甲种消毒液的单价为8元，乙种消毒液的单价为20元(2)504元(3)30【分析】（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，根据题中等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）利用等量关系求出a，b的关系，再利用（1）整体代入求解即可；（3）设分装200ml的有m瓶，500ml的有n瓶，利用等量关系列出二元一次方程，列出所有的可能结果，再分别计算出每种情况的损耗，比较即可求解．（1）解：设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，由题意可得：2x+y=36①解得；x=8y=20∴甲种消毒液的单价为8元，乙种消毒液的单价为20元；（2）∵甲种消毒液a瓶，乙种消毒液b瓶，两种消毒液的总体积为12600ml，∴200a+500b=12600，化简，得：2a+5b=126，∵8a+20b=4（2a+5b）=4×126=504（元），∴这批消毒液的总费用为504元；（3）设分装200ml的有m瓶，500ml的有n瓶，∵分装时平均每瓶需损耗10mL，每瓶均装满，∴（200+10）m+（500+10）n=12600，∴m=60-177n∵m，n为整数，∴当n=0时，m=60，总损耗为：10（m+n）=600ml，当n=7时，m=43，总损耗为：10（m+n）=500ml，当n=14时，m=26，总损耗为：10（m+n）=400ml，当n=21时，m=9，总损耗为：10（m+n）=300ml，∵600＞500＞400＞300，∴当n=21时，m=9，总损耗最小，此时两种空瓶个数为：m+n=30（个）．【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．27．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）为开展“光盘行动”，某学校食堂规定：每天午餐“光盘”的学生，餐后可获得奖品香蕉和橘子．两天时间里，学校食堂采购奖品香蕉和橘子分别花费了400元和600元，已知这两天食堂所采购的香蕉比橘子少10千克，香蕉单价是橘子单价的80%．(1)橘子和香蕉的单价分别是每千克多少元？(2)若每千克香蕉有8根，每千克橘子有10只，且第一天每人可获得1根香蕉和3只橘子，第二天每人可获得2根香蕉和2只橘子，则这两天分别有多少学生获得奖品？【答案】(1)橘子每千克10元，香蕉每千克8元(2)第一天有100人获得奖品，第二天有150人获得奖品【分析】（1）设橘子单价为每千克x元，根据这两天食堂所采购的香蕉比橘子少10千克，列分式方程，求解即可；（2）设第一天有m人获得奖品，第二天有n人获得奖品，根据题意列二元一次方程组，求解即可．（1）解：设橘子单价为每千克x元，根据题意，得40080%x解得x=10，经检验，x=10是原方程的根，且符合题意；10×80%=8(元)，答：橘子每千克10元，香蕉每千克8元；（2）解：设第一天有m人获得奖品，第二天有n人获得奖品，根据题意，得m+2n=400解得m=100y=150答：第一天有100人获得奖品，第