《6.3平面向量基本定理及坐标表示》同步检测试卷与答案（5课时）

《6.3.1平面向量基本定理》同步检测试卷一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A．， B．，C．， D．，2．在中，，则等于（）A． B． C． D．3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（）．A． B．C． D．4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是()A． B． C． D．5．中所在的平面上的点满足，则（）A． B．C． D．6．设，是不共线的两个向量，且，则（）A． B． C． D．7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则()A． B． C． D．8在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（）A． B． C． D．9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．， B．，C．， D．，10.（多选）已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（）A． B．C． D．11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=012．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（）A． B． C． D．二、拓展提升13．如图，设，，又，试用，表示．14．如图，在任意四边形ABCD中，（1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证：.（2）已知，用，表示向量.15．已知点G是的重心,M是边的中点.若过的重心G,且,求证:.答案解析一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．2．在中，，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（）．A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，所以.4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知,平面内的任一向量都可以唯一表示成,∴是平面内表示所有向量的一个基底,.∴不共线,∴.故m的取值范围是.5．中所在的平面上的点满足，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，所以，6．设，是不共线的两个向量，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，是不共线的两个向量,所以由平面向量基本定理知：若，则，7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则()A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为的中点，所以，而，即有，又，所以．8．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意可得，，故，∴.9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．10．（多选）已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】M为△ABC的重心，M是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A，由于△ABC为任意三角形，故中线不一定相等，则不一定相等，故A错误；对于B，D为BC的中点，，，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC【详解】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.12．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（）A． B． C． D．【答案】AD【详解】由条件可，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有，所以，D正确.二、拓展提升13．如图，设，，又，试用，表示．【答案】.【详解】解：，由已知可得：，所以，故．14．如图，在任意四边形ABCD中，（1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证：.（2）已知，用，表示向量.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为E､F分别是AD､BC的中点，所以，，由题意，，两式相加得，即；（2）因为，所以，所以.15．已知点G是的重心,M是边的中点.若过的重心G,且,求证:.【答案】见解析【详解】因为M是边的中点,所以.因为G是的重心,所以.由P,G,Q三点共线,所以有且只有一个实数,使，，，又因为不共线，，消去，整理得,故.《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》同步检测试卷一、基础巩固1．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（）A． B． C． D．2．下列可作为正交分解的基底的是（）A．等边三角形中的和B．锐角三角形中的和C．以角A为直角的直角三角形中的和D．钝角三角形中的和3．已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或 B．或C．或 D．或4．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量按向量=(1，2)平移后，所得向量的坐标是（）A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3)5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（）A．(－7，0) B．(7，6)C．(6，7) D．(7，－6)6．在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（）A． B． C． D．7．已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（）A．3 B． C． D．8.的最小值为()A． B． C．4 D．89．（多选）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（）A． B． C． D．(7，9)10．（多选）已知向量，，对平面内的任一向量，下列结论中错误的是（）A．存在唯一的一对实数x，y，使得B．若，，则，且C．若，，且，则的起点是原点OD．若，，且的终点坐标是，则11．（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）A． B． C． D．12．（多选）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为二、拓展提升13．已知是直线l上的一个单位向量，向量与都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出与的坐标：（1），；（2），.14．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求的坐标.15．已知向量，．（1）若，求实数x的值；（2）若，求实数x的值．答案解析一、基础巩固1．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据减法运算法则，求得，如下图：在，的方向上进行分解，容易知：2．下列可作为正交分解的基底的是（）A．等边三角形中的和B．锐角三角形中的和C．以角A为直角的直角三角形中的和D．钝角三角形中的和【答案】C【详解】选项A中，与的夹角为60°；选项B中，与的夹角为锐角；选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意.选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意.3．已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】因为，，所以向量，所以与向量共线的单位向量为或.4．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量按向量=(1，2)平移后，所得向量的坐标是（）A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3)【答案】A【详解】由题意，∴．5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（）A．(－7，0) B．(7，6)C．(6，7) D．(7，－6)【答案】D【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以.设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，即解得，因此D点坐标为(7，－6)．6．在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，，又，，.7．已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】因为样本点为（）且，所以所以，；又回归直线方程为过，∴，解得．8．的最小值为()A． B． C．4 D．8【答案】B【详解】它表示动点到定点与到定点的距离和，关于轴的对称点为，故，9．（多选）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（）A． B． C． D．(7，9)【答案】ABC【详解】由点，，则选项A.,所以A选项正确.选项B.,所以B选项正确.选项C.,所以C选项正确.选项D.,所以选项D不正确10．（多选）已知向量，，对平面内的任一向量，下列结论中错误的是（）A．存在唯一的一对实数x，y，使得B．若，，则，且C．若，，且，则的起点是原点OD．若，，且的终点坐标是，则【答案】BCD【详解】由平面向量基本定理，可知A中结论正确；，，，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当的终点坐标是时，是以的起点是原点为前提的，故D中结论错误．11（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个项点的坐标为．∴第四个顶点的坐标为或或．12．（多选）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为【答案】BCD【详解】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，，所以选项A错误；，，在方向上的投影为，所以选项D正确.二、拓展提升13．已知是直线l上的一个单位向量，向量与都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出与的坐标：（1），；（2），.【答案】（1）的坐标为的坐标为（2）的坐标为，的坐标为2【详解】解：（1），，∴的坐标为的坐标为.（2）的坐标为，的坐标为2.14．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求的坐标.【答案】，，【详解】解：，又是（标准）正交基底，，即的坐标为，同理的坐标为，的坐标为.15．已知向量，．（1）若，求实数x的值；（2）若，求实数x的值．【答案】(1)．(2)．【详解】解：（1）因为，，．，解得．（2），．，，，解得．《6.3.3平面向量加、减运算坐标表示》同步检测试卷一、基础巩固1．已知向量，，则（）．A． B． C． D．2．已知两点，，，则点坐标是（）A． B． C． D．3．已知点，若，且点在直线上，则的值为()A． B． C． D．4．已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数A．0 B．1 C． D．5．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于A． B． C． D．6．已知，，则与平行的单位向量为()A． B．或C．或 D．7．在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（）A． B． C． D．8．已知点分的比为，设，则的值为（）A． B． C． D．9．（多选）已知，如下四个结论正确的是（）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．10．（多选）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（）A． B． C． D．11．（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（）A．(1,0) B．(0,1) C．(−1,0) D．(0,−1)12．）（多选）已知向量，，则下列叙述中，不正确是（）A．存在实数x，使 B．存在实数x，使C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使二、拓展提升13．如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标．14．已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标.15．如图，在平面直角坐标系中，，，.（1）求点，点的坐标；（2）求四边形的面积.答案解析一、基础巩固1．已知向量，，则（）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为向量，，则.2．已知两点，，，则点坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设点，由点，，所以，，又，所以，解得，则点坐标是.3．已知点，若，且点在直线上，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设点P的坐标为（x，y）所以，由所以有（x﹣2，y﹣3）＝+λ得：由点P在直线上则有＝，．4．已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数A．0 B．1 C． D．【答案】B【详解】点P在y轴上5．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，6．已知，，则与平行的单位向量为()A． B．或C．或 D．【答案】B【详解】解：∵，，，，则与平行的单位向量为，化简得，或．7．在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，，因为，所以，又为矩形内一点，且，则，不妨令，，则，又，所以，因此，当时，取得最大值，即的最大值为.8．已知点分的比为，设，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为点分的比为,所以,由得,得,得,所以,解得.9．（多选）已知，如下四个结论正确的是（）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．【答案】BD【详解】由，所以，，，,对于A，，故A错误；对于B，由，，则，即与平行且相等，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；10．（多选）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】AD【详解】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则，解得，所以，11．（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（）A．(1,0) B．(0,1) C．(−1,0) D．(0,−1)【答案】AC【详解】若,则,解得,,满足题意;若,则,解得,,不满足题意;因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.12．（多选）已知向量，，则下列叙述中，不正确是（）A．存在实数x，使 B．存在实数x，使C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使【答案】ABC【详解】由，得，无实数解，故A中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故B中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故心中叙述错误；由，得，即，所以，，故D中叙述正确．二、拓展提升13．如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标．【答案】【详解】解：设顶点D的坐标为．，，，，，又，所以．即解得所以顶点D的坐标为．14．已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标.【答案】【详解】解：如图，设点的坐标为，点到的距离为，点到的距离为，由平行线分线段成比例得：，，，，，，解得：，点的坐标为．15．如图，在平面直角坐标系中，，，.（1）求点，点的坐标；（2）求四边形的面积.【答案】（1）（2）【详解】（1）在平面直角坐标系中，，所以，又，设，则，，所以点；又，所以，即点；（2）由（1）可得，，，所以，即；又，所以四边形为等腰梯形；连接，延长交轴于点，则，均为等边三角形..《6.3.4平面向量数乘运算坐标表示》同步检测试卷一、基础巩固1．向量=(3，2)可以用下列向量组表示出来的是（）A．=(0，0)，=(1，2) B．=(-1，2)，=(5，-2)C．=(3，5)，=(6，10) D．=(2，-3)，=(-2，3)2．已知向量，，则与（）A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行3．设向量=(1，4)，=(2，x)，.若，则实数x的值是（）A．-4 B．2 C．4 D．84．设向量，，，且满足，则（）A． B． C． D．25．设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（）A．（3，1） B．（1，﹣1）C．（3，-1）或（-1，1） D．（3，1）或（1，﹣1）6．若，，三点共线，则实数的值是（）A．6 B． C． D．27．若平面向量与向量平行，且，则（）A． B． C．或 D．8．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为（）A． B． C．或 D．或9．（多选）已知向量则（）A． B．C． D．10．（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．11．（多选）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（）A． B．C． D．12．（多选）已知向量，，则（）A． B．C． D．与的夹角为二、拓展提升13．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若＝2，求点C的坐标．14．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.15．已知点及，求：（1）若点在第二象限，求的取值范围,（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．答案解析一、基础巩固1．向量=(3，2)可以用下列向量组表示出来的是（）A．=(0，0)，=(1，2) B．=(-1，2)，=(5，-2)C．=(3，5)，=(6，10) D．=(2，-3)，=(-2，3)【答案】B【详解】由题意知，A选项中，C，D选项中两个向量均共线，都不符合基底条件，2．已知向量，，则与（）A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行【答案】C【详解】向量，，，因此，与平行且反向.3．设向量=(1，4)，=(2，x)，.若，则实数x的值是（）A．-4 B．2 C．4 D．8【答案】D【详解】因为==所以=(3，4+x)，因为，所以4+x=12，得x=8.4．设向量，，，且满足，则（）A． B． C． D．2【答案】D【详解】根据题意，向量，，，则，若，则有，解可得：，5．设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（）A．（3，1） B．（1，﹣1）C．（3，-1）或（-1，1） D．（3，1）或（1，﹣1）【答案】D【详解】解：，，∴，点在直线上，且，∴，或，故，或，故点坐标为或，6．若，，三点共线，则实数的值是（）A．6 B． C． D．2【答案】B【详解】因为三点，，共线，所以,若，，三点共线，则和共线可得：，解得；7．若平面向量与向量平行，且，则（）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】由题.又且平面向量与向量平行.故,即或.8．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或，9．（多选）已知向量则（）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由题意可得.因为，所以，则A正确，B错误；对于C，D，因为，所以，则C错误，D正确.10．（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】BC【详解】∵，，，∴，∴；∵，∴．11．（多选）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（）A． B．C． D．【答案】AD【详解】，A选项，，故满足题意D选项，，故满足题意B、C选项中的不与平行12．（多选）已知向量，，则（）A． B．C． D．与的夹角为【答案】ACD【详解】因为，，所以，，所以，故A正确；因为，所以与不平行，故B错误；又，故C正确；因为，所以与的夹角为，故D正确.二、拓展提升13．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若＝2，求点C的坐标．【答案】（1）a＋b＝2；（2）(5，－3)．【详解】（1）由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，因为A，B，C三点共线，所以∥．所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2．（2）因为＝2，所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．所以解得所以点C的坐标为(5，－3)．14．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.15．已知点及，求：（1）若点在第二象限，求的取值范围,（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）首先写出向量的坐标，即点的坐标，根据点在第二象限，列不等式求的取值范围；（2）若是平行四边形，只需满足，验证是否存在.试题解析：(1),…3分由题意得解得.(2)若四边形要是平行四边形，只要,而，，由此需要,但此方程无实数解，所以四边形不可能是平行四边形.《6.3.5平面向量数量积坐标表示》同步检测试卷一、基础巩固1．向量，，则（）A．1 B． C．7 D．02．已知向量，，，若，则（）A．5 B． C．10 D．3．若向量和向量平行,则()A． B． C． D．4．已知向量，，若，且，则实数（）A． B．C． D．5．已知向量,若,则()A．1 B． C． D．6．已知向量，，且，则实数（）A．3 B． C．-2 D．27．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．向量且，若，且，则的数量积为（）A．1 B．0 C．2 D．39．（多选）如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．10．（多选）已知向量，，则下列叙述中，正确的是（）A．存在实数x，使 B．存在实数x，m，使C．存在实数x，使 D．存在实数x，m，使11．（多选）已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为12．（多选）如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，C．对任意，不成立D．的最小值为4二、拓展提升13．已知向量，．（1）若，求；（2）若，求向量在方向上的投影．14．已知，.（1）若为与的夹角，求的值；（2）若与垂直，求的值.15．（1）已知，，当为何值时，与垂直；（2）已知向量，，.若点、、能构成三角形，求实数满足的条件；（3）已知向量，求向量，使，并且与的夹角为.答案解析一、基础巩固1．向量，，则（）A．1 B． C．7 D．0【答案】A【详解】，，.2．已知向量，，，若，则（）A．5 B． C．10 D．【答案】B【详解】因为向量，，所以.因为，所以，所以，解得，故，则，3．若向量和向量平行,则()A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得,,得，即,故，∴.4．已知向量，，若，且，则实数（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为向量，，则，又，所以，解得.5．已知向量,若,则()A．1 B． C． D．【答案】A【详解】由，得，整理得，所以，6．已知向量