《专题复习02平面向量的基本定理、坐标运算及数量积》重难点突破及同步训练

《专题复习02平面向量的基本定理、坐标运算及数量积》重难点突破一、考情分析二、题型分析(一)平面向量的基本定理与坐标表示知识点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．例1．（1）.以下四组向量能作为基底的是（）A． B．C． D．

（2）.设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（）A．与 B．与C．与 D．与（3）.（在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（）A． B．C． D．【变式训练1】．在平行四边形ABCD中，，，，则.（用表示）【变式训练2】．在中，，，若，则（）A． B． C． D．(二)平面向量的坐标运算知识点2平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．(4)a·b＝x1x2＋y1y2.(5)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).例2．（1）.已知，若，则的坐标为（）A． B． C． D．（2）.已知，，则（）A．2 B． C．4 D．【变式训练1】.已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【变式训练2】.已知，为坐标原点.(1)求向量的坐标及；(2)若，求与同向的单位向量的坐标．(三)平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.例3．（1）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.（2）.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3 B．-2C．2 D．3【变式训练1】.已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为()A． B． C．2 D．3【变式训练2】.已知，若，则实数=__________；=__________.【变式训练3】.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【变式训练4】.已知为单位向量，.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值；(四)平面向量的应用（平行与垂直）知识点1平面向量的平行与垂直若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)已知向量，，若，则（）A． B． C． D．(2)．(多选题)已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为2【变式训练1】已知向量满足.若，则_______；______.【变式训练2】．已知，;(1)若，求的值；（2）若，，求的值.《专题02平面向量的基本定理、坐标运算及数量积》重难点突破答案解析二、题型分析(一)平面向量的基本定理与坐标表示知识点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．例1．（1）.以下四组向量能作为基底的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B.（2）.设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C：与不共线，能作为基底.故选：C．（3）.在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得.设内切圆在边上的切点为，则，有，，故.故选：D【变式训练1】．在平行四边形ABCD中，，，，则.（用表示）【答案】【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋＝.故本题答案为.【变式训练2】．在中，，，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此，故本题选D.(二)平面向量的坐标运算知识点2平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．(4)a·b＝x1x2＋y1y2.(5)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).例2．（1）.已知，若，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以,解得:,.所以.故选D.（2）.已知，，则（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C【变式训练1】.已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.已知，为坐标原点.(1)求向量的坐标及；(2)若，求与同向的单位向量的坐标．【答案】(1)，；（2）.【解析】（1）,.（2）,,与同向的单位向量.(三)平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.例3．（1）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【答案】【解析】依题意，故.与方向相反的单位向量为.（2）.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C【变式训练1】.已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为()A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以，此时.故选：B．【变式训练2】.已知，若，则实数=__________；=__________.【答案】00【解析】∵，∴，∵，∴，解得．故答案为．【变式训练3】.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【变式训练4】.已知为单位向量，.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值；【答案】（1）；（2）.【解析】由题得；由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1）；（2）.(四)平面向量的应用（平行与垂直）知识点1平面向量的平行与垂直若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)已知向量，，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，，且，，解得.故选：D.(2)．(多选题)已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为2【答案】CD对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则(1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn(2m•n)()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【变式训练1】已知向量满足.若，则_______；______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m4=0,所以m=4.所以.故答案为：(1).(2).【变式训练2】．已知，;(1)若，求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1），∴，∴；∴.（2），∴，两边平方得，，且，∴∴，∴.《专题02平面向量的基本定理、坐标运算及数量积》同步训练A组基础巩固1.（多选题）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）．AB.C.D.（2,3）2．已知向量，，则（）A． B． C． D．3．已知，若，则的坐标为（）A． B． C． D．4．已知向量，，若，则（）A． B．0 C．1 D．25．（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（）A.且；B.存在相异实数入，使；C.（其中实数满足）；D.已知梯形，其中。6.（多选题）以下选项中，一定是单位向量的有（）A.；B.；C.；D..7．若向量与向量是共线向量,且，则（）A． B．C．或 D．或8．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．9．设，，且三点共线，则__________.10.(1)在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．B组能力提升11．（多选题）已知，如下四个结论正确的是（）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．12．（多选题）下列关于平面向量的说法中不正确的是（）A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则13．在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（）A． B．C． D．14．已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值为()A．aB．2aC．3aD．a2

15．如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、交于点，若，则点在上的位置为（）A．边中点B．边上靠近点的三等分点C．边上靠近点的四等分点D．边上靠近点的五等分点16．己知边长为2的正方形，分别是边上的两个点，，若，则的最小值为_____________.17．在三角形ABC中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．（1）设，，设，求；.（2）求的取值范围；（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．18．已知点、、，是坐标原点.（1）若，求的值；（2）若实数、满足，，求的最大值.《专题02平面向量的基本定理、坐标运算及数量积》同步训练答案解析A组基础巩固1.（多选题）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）．AB.C.D.（2,3）【答案】ABC【解析】设平行四边形的三个顶点分别是，第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个项点的坐标为．∴第四个顶点的坐标为或或．故选ABC。2．已知向量，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得.故选：A3．已知，若，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以,解得:,.所以.故选D.4．已知向量，，若，则（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因为，，且，所以，．5．（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（）A.且；B.存在相异实数入，使；C.（其中实数满足）；D.已知梯形，其中。【答案】AB【解析】A由得，所以，故A正确；B因为存在相异实数入，使；所以，所以，故B正确；C若，则，但不一定共线，故C错误；D梯形中，没有说明哪组对边平行，故D错误.故选AB。6.（多选题）以下选项中，一定是单位向量的有（）A.；B.；C.；D..【答案】AB【解析】，，，.因此，和都是单位向量，故选AB7．若向量与向量是共线向量,且，则（）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】由题意与共线，所以存在实数，使又∴解得∴或．8．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．【解析】①以D点为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，1)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝1.②∵eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝x.∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为1.【答案】119．设，，且三点共线，则__________.【答案】6【解析】根据三点共线，所以，而，，即有，解得．故答案为：6．10.(1)在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．【解析】(1)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1，2)·(－4，2)＝0，故eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝eq\f(1,2)·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5，故选C.(2)方法一：由题意可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝1，则eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1.①因为|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，∠BAD＝60°，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，因此①式可化为1＋eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1.解得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝0(舍去)或eq\f(1,2)，所以AB的长为eq\f(1,2).方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝eq\f(1,2)，DM＝eq\f(\r(3),2).设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)．Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).因为E是CD的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m，\f(\r(3),2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m))＋eq\f(3,4)＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或eq\f(1,2).故AB的长为eq\f(1,2).【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)B组能力提升11．（多选题）已知，如下四个结论正确的是（）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．【答案】BD【解析】由，所以，，，,对于A，，故A错误；对于B，由，，则，即与平行且相等，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：BD12．（多选题）下列关于平面向量的说法中不正确的是（）A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】BC对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；