《7.3 复数的三角表示》考点讲解复习与同步训练

《7.3复数的三角表示》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）；（2）.【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）；（2）.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）；（2）；（3）；（4）.3．（将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）；（2）-2i；（3）；（4）.考法二复数的辅角【例2】复数的辐角主值为（）A． B． C． D．【一隅三反】1.复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（）A． B． C． D．2．若复数（i为虚数单位），则为（）A． B．120° C．240° D．210°3．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．， B． C． D．考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．（）A． B． C． D．2．（）A．3 B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．算下列各式，并作出几何解释：（1）（2）（3）（4）.《7.3复数的三角表示》考点讲解答案解析考法一复数的三角表示【例1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.（2）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.【例1-2】．把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.（2）.【一隅三反】1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.2．将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.3．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）；（2）-2i；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）∵，，，又，∴，∴.（2）∵，，，又，∴，∴.（3）∵，，，又，∴，∴.（4）∵，，，又，∴.∴.考法二复数的辅角【例2】复数的辐角主值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】,故复数z的辐角主值为.故选：D【一隅三反】1.复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C2．若复数（i为虚数单位），则为（）A． B．120° C．240° D．210°【答案】C【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，且，所以.故选：C.3．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．， B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，则，，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【一隅三反】1．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C2．（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B3．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.4．计算下列各式，并作出几何解释：（1）（2）（3）（4）.【答案】（1）-4，几何解释见解析（2），几何解释见解析（3），几何解释见解析（4），几何解释见解析【解析】（1）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的向量，则即为积所对应的向量.（2）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的向量，则即为积所对应的向量.（3）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.（4）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.《7.3复数的三角表示（精练）》同步练习【题组一复数的三角表示】1．将复数化成代数形式，正确的是（）A．4 B．-4 C． D．2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6；（2）1+i；（3）；（4）；3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.4．把下列复数表示成代数形式：（1）；（2）；（3）（4）.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）；（2）20；（3）.6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）-5i；（2）-10；（3）；（4）.7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4；（2）；（3）；（4）.【题组二复数的辅角】1．下列各角不是复数的辐角的是（）A． B． C． D．2．复数的辐角主值是（）A． B． C． D．3．复数的辐角主值是（）A． B． C． D．4．复数，则_______.【题组三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】1．（）A．1 B．-1 C． D．2．（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．（）A． B． C． D．5．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.6．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.7．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【题组四综合运用】1．（多选）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数2．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．①③3．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（）.A． B．1 C． D．4．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.5．已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.6．若复数满足，则的代数形式是_____________.7.一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）《7.3复数的三角表示（精练）》同步练习答案解析【题组一复数的三角表示】1．将复数化成代数形式，正确的是（）A．4 B．-4 C． D．【答案】D【解析】故选：D.2．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）6；（2）1+i；（3）；（4）；【答案】（1）,画向量见解析（2）,画向量见解析（3）,画向量见解析（4）,画向量见解析【解析】（1）6对应的向量如答图中，，又，.（2）对应的向量如答图中，，又.（3）对应的向量如答图中，又，.（4）对应的向量如答图中，，又，.3．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式.（1）；（2）（3）；（5）.【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式.；（2）括号前面是负数，不是三角形式，（3）括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，；（4）是三角形式．（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式，4．把下列复数表示成代数形式：（1）；（2）；（3）（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.5．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）；（2）20；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：（1）∵，，，又，∴，∴；（2）∵，，，又，∴，∴；（3）∵，，，又，∴，∴．6．将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）-5i；（2）-10；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）∵，，又，∴，∴；（2）∵，，，又，∴，∴；（3）∵，，，又，∴，∴；（4）∵，，，又，∴，∴．7．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；作图见解析（2）；作图见解析（3）；作图见解析（4）;作图见解析【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.分别对应向量，如图所示.【题组二复数的辅角】1．下列各角不是复数的辐角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.∴当时，；当时，；当时，；故选：C．2．复数的辐角主值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，，∴辐角主值，故选：D．3．复数的辐角主值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.故选：B.4．复数，则_______.【答案】【解析】复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.【题组三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】1．（）A．1 B．-1 C． D．【答案】C【解析】故选：C.2．（）A． B． C． D．【答案】D【解析】故选：D.3．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C.4．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B.5．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）原式（2）原式；（3）原式；（4）原式.6．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.另解（4）题还可以这样解：原式.7．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.另解第（3）题还可以这样解：原式.第（4）题还可以这样解：原式.【题组四综合运用】1．（多选）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【答案】AC【解析】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；对于D选项，，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.2．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．①③【答案】A【解析】因为，故，故①正确.，所以，，故③正确，④错误.而.故②正确，故选：A．3．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（）.A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由题意得，，所以，故选：C4．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.【