2023-2024学年高考数学专项复习-平面向量（附答案）

2023-2024学年高考数学专项复习一一平面向量

决胜2024年高考数学专项特训:平面向量（解答题篇）

1.已知向量3=（2,3）,^=（1,-2）.

（1）求3+23的坐标及归+24；

⑵若"花与府+B共线，求实数几的值.

2.己知向量（2加+”）1+（加+“）6以｛。勺｝——«.-p11ULILLUL

为基底的分解式为2q+e2,其中a=ex+e2,b=ex-e2.

（1）求加，〃的值；

-+4-rrrrt

（2）若°=（2加+〃）〃+（加+〃）6，且C〃（Q+妨），求左的值.

3a2-2bc

3.的内角的对边分别为Q也。，已知“5C的周长为6,万•就

2

(1)求。的值；

(2)求A的最大值.

4.如图，在直角梯形。48c中，。4〃€3,。4，。。,。4=25。=2。。,屈为/8上靠近5的三等

分点，OM交ZC于。.

(1)用力和次表示两;

⑵求证：OD=3DM-

5.在“8c中，角4民C的对边分别为0也c,且4=当，fesinC=sinC+V3cosC.

⑴求c的长；

(2)设M为边8c的中点，若线段的长不大于6,求6的长的最大值.

6.在梯形/BCD中，AB//CD,AD=V7,ZACD=60°,sinZADC=.

14

(1)求/C;

⑵若AC，BC,求前.丽的值.

7.已知圆W过点（4,0）,（1,百），（2,2）三个点.

（1）求圆M的标准方程；

（2）过圆W外点P向圆M引两条切线，且切点分别为N,B两点,求方.而最小值.

8.在。8C中，AD为边8c的中线，证明:

(l)AB2+AC2=2(AD2+BD2)；

(2)4AD2=AB2+AC2+2AB-AC-COSABAC.

9.已知“8c的内角45,C的对边分别为a/,c,面积为S,2s=道益•/.

⑴求A；

(2)若“3C的周长为20,面积为10g,求a.

10.在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为(0,1)和(0,-1),设A48W的面积为S,

内切圆半径为厂，当y=3时，记顶点M的轨迹为曲线C.

r

(1)求C的方程；

(2)已知点E,F,P,。在C上，且直线E尸与尸。相交于点A,记EF,尸。的斜率分别为匕，

%.

⑴设E尸的中点为G,尸。的中点为证明：存在唯一常数2,使得当左向=4时，OGLOH.

k4

(ii)若,=£，当IIE尸HP0II最大时，求四边形E母■。的面积.

''k23

11.已知向量原在满足同=1,问=2,且扇5的夹角为60。.

(1)求1+B的模；

⑵若府-6在与而+B互相垂直，求力的值.

12.在中，内角4,B,。的对边分别为Q,b,c,若Q3cosc-ccosB)=/.

⑴求证：b1=2c2;

(2)若BA-BC=c,加inA=y[2，求b.

13.已知向量a=(l,2),6=(cosa,sina),c=(-l,0).

(1)求W+4的最大值，并求此时a的值；

⑵若ae[o,2),求的取值范围.

14.单位向量"，B满足(a+2B)-(a-5)=-g.

⑴求Z与B夹角的余弦值：

⑵若磊+B与Z+33的夹角为锐角，求实数左的取值范围.

15.如图，在等腰梯形/BCD中，ABHDC,48=25。=2。。=2。4,河为线段8。中点，AM

与AD交于点N,P为线段CD上的一个动点.

⑴用荏和石表示重7;

4AN

⑵求——;

v'NM

⑶设玄=xZ^+yN,求中的取值范围.

16.已知双曲线过点尸(36,-亚)且与椭圆/+4/=16有相同的焦点耳£,

(1)求双曲线的标准方程；

⑵若点M&")(/>0,冽<0)在双曲线上，且斯•近=0,求/与加的值.

17.已知向量a=(cosx-sinx,sinx),向量1=(cosx+sinx,26cosx),/(x)=a-b.

(1)求〃x)的最小正周期；

(2)求/(x)在0,|无)上零点和极值点的个数.

18.已知尸是抛物线瓦》2=2Q(0>0)的焦点，加(%,4)是抛物线E上一点，N(0,7)与点

产不重合，点厂关于点M的对称点为P,且标.标=0.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)若过点(0,2)的直线与抛物线£交于4B两点,求成•丽的最大值.

答案：

1.(1)(4,-1),V17

(2)1或一1

【分析】(1)由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解.

(2)由向量平行的充要条件列出方程即可得解.

【详解】(1)由题意3=(2,3),3=(1,-2),所以@+2在=(2,3)+20,-2)=(2,3)+(2,-4)=(4,-1),

所以5+2日=,42+(-1)2=听.

(2)由题意1+2彼=(2+2,3-22)与；14+5=(24+1,32-2)平行，

所以当且仅当。+2乂3"2)-(2彳+1)(3-2司=0,化简得比_7=0，

解得彳=±1,即实数2的值为1或-1.

m=1

2.(1)1

n=——

【分析】(1)由平面向量基本定理，列方程组求冽，〃的值;

(2)利用向量共线的条件，计算左的值.

、r,irur、Li-ur;irur-irur

［详解］(1)(2m+n)a+(m+n)b—(2m+nq+弓)+(加+nq_q)=(3冽+2〃)q+机q=2砂q,

m=\

3m+2n=2

则有,,解得

m=ln=-

2

rrr1+¥，由力/戚+/)，有苫=2状+/),

(2)c=(2m+n)a+(m+n)b=

3r1rrr，解得左=g.

即14+万6=%(4+粕)，贝lb£

5九k

3.(1)2

【分析】(1)由题意结合数量积定义、余弦定理即可求解.

(2)由题意结合余弦定理以及基本不等式相关推论即可求解.

【详解】（I）AB-AC—cbcosA—-------------=-------------，

22

即（6+c）2—4/.

因为“8C的周长为6,所以（6-°）2=4/,

解得4=2.

（2）由（I）可知6+。=4.

2222

,c+b-a（b+c^-2bc-a6611

-2bc~2bc~be~^+CV-2,当且仅当6=c时，等号成立.

IT

故当b=c=2时，A取得最大值

——►2—►2—►

4.（1）OM=-OA+-OC

⑵证明见解析

—►1—»2—►

【分析】(1)根据已知条件可得。5=彳。4,AM=-AB再结合向量的加减法和平面向量

239

基本定理可求得结果；

___.2—►2—►

(2)由题意可得历=/两，再结合OM=§CM+§OC和42。三点共线，可求出心从而

可证得结论.

【详解】(1)-：OA=2BC,

--1----

:.CB=-OA,

2

又M为AB上靠近5的三等分点，

—►2—►

AM=—AB.

3

―►2—►—

AM=-(OB-OA)

=|(OC+CS)

2—►1—»2—»

=-OC+-OA一一OA

333

2―►1—►

=-OC——OA,

33

——>—►——►>(2—►1—2—►2—•

:.OM=OA+AM=OA+\-OC——OA\=-OA+-OC-

(33J33

(2)QOM交AC于D,.•.'55=t痴，

由(1)知两=2厉+工区.

33

―►——►(2—>2—2t—►It―►

:.OD=tOM=t\-OA+-OC\=—OA+—OC.

33J33

；42C三点共线,

2t2t3

,•.y+y-h解得t一，

4

:.OD=-OM.

4

即丽=3DM

5.⑴c=2

(2)2

【分析】（1）由正弦定理结合三角形的内角关系即可求出c的长；

uuur1/UUTuuurx

（2）因为M为边5C的中点，所以=+两边平方，结合平面向量的数量积公

式求解可得b的范围，则最大值可求.

【详解】（1）在。中，由正弦定理得6sinC=csiaS.

又bsinC=sinC+V3cosC,故csiaS=sinC+VJcosC,即csin5=2sin.

又因为4=g,所以csin5=2sin（C+/）,即csinS=2sin（兀一3）,

故csin5=2sinB.在^ABC中,

由于0<8<兀，所以sinSw0,所以c=2.

（2）设线段ZM的长为》,则

因为M为边BC的中点，所以⑷1=/（Z8+ZC）.

两边平方得而之=；（应+2万及+/）,即f=；（4+2X2X6XCOSF+/1.

又因为所以/+26W8,解得一4W6W2.

又6〉0,所以0<b<2.所以6的长的最大值为2.

6.(1)3

9

(2)］或9

【分析】（1）在A/C。中，由正弦定理求出答案；

（2）求出8C=/Ctan/A4c=3若，在A/CD中，由余弦定理得到CD=1或2,利用向量数

量积公式求出答案.

ACV7

ArAD

【详解】⑴在中’由正弦定理皿不二目万即3收一sin60°，

14

得&C=g巫，解得/C=3；

214

(2)由/B〃CD,得NR4C=ZACD=60。,因为/C13C,

所以2C=ACtanABAC=373.

在"CD中，由余弦定理cosNACD=包。一'”,

2ACCD

得CD2-3CD+2=(CD-2)(C£>-1)=0,

即CD=1或2,经检验，均满足要求，

因为ZBCD=60°+90°=150°,

所以比.丽=冈.同cos(180。-150dl=|。=：或9.

7.(l)(x-2)2+y2=4

(2)8近-12

【分析】（1）设圆的一般方程为/+y2+Dx+Ey+F=0,将三个点坐标分别代入，求出。、£、

厂的值，再化简成标准方程即可；

（2）将向量9.而转化为（同"疝）（同"西，再利用数量积公式化简，用半径表示|西|

长，消元，利用均值不等式求最值.

【详解】⑴设圆的一般方程为/+/+Dx+Ey+尸=0,将（4,0）,（1,句，（2,2）分别代入得

16+4D+尸=0。二一4

<1+3+。+力石+产=0,解得,<E=0,

4+4+2D+2石+尸=0F=0

所以圆的一般方程为/+/_4、=0,化为标准方程为（％-2『+/=4.

(2)如图所示，PA=PM+MA^PB=PM+MB^

谡/PMA=/PMB=a,且半径|M4|=|A®|=2,

所以苏.而二（两+砌（西+砌二府+PMMB+PM^A+MA^M1

=PM?+\PM\^cos(7i-a)+jPA7|jcos(7E-a+~^A-|^fB-|cos2z

=PM2-2\PM\cosa-21两•cos6Z+4cos%=PM2cosa+4COS2G

在直角三角形BIN中可知，|尸M=业史=二一,

cosacosa

所以方•丽—―8+4cos2a=-4—8+4(2cos2a-l

cosacosa'

2

=­\—+8COS6Z-12>2A/—\-x8cos2a-12=872-12,

cosaVcosa

当且仅当^^=8cos2a,即cos2a=正时取等，

cos-a2

所以江■厢的最小值为8近-12.

8.（1）证明见解析

（2）证明见解析

［分析】（1）在△3/M和ABDC中，利用余弦定理得到AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB

和/C?=/。+8。+2/£）.①兀0$//。8，两式相加，即可求解；

（2）根据题意，得到2而=方+就，结合向量的运算，即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示，在△8D4和ABDC中，

由余弦定理，可得/C?=/£)2+c_02_24D.cz)cos/4DC;

AB2=AD2+BD2-2.AD-BDcosZADB，

因为4D为边3C的中线，所以AD=CO,//OC+N4DB=7i,

=AD2+BD2+2AD-BDcosZADB

所以/笈+=2AD2+2BD2.

(2)解：在一BC中，因为4D为边8C的中线，

由2而=万+二,可得415?=2^+就就‘

即4AD2=AB2+AC2+2AB.AC-cosABAC.

71

9.⑴，=§

（2）a=7

【分析】（1）利用平面向量数量积的定义、三角形的面积公式可求出taiM=g,结合角的取

值范围可求得角的值；

（2）结合余弦定理及面积与周长公式整理计算即可.

【详解】（1）由题意可得2s=2xfcsiM=Accos/,

所以tanA=A/3，

因为Ne（O,兀），所以/=热

（2）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,

即b1+c2-bc=a2.

因为S=，6csin工=10V5,所以6c=40.

23

因为a+6+c=20,

所以。2=/+一A=（6+cP-3bc=（20-a）2-120,

整理得40a=280,所以。=7.

22

10.(1)2_+1-=1(x^0)

(2)(i)证明见解析；(ii)现也

【分析】（1）根据题意可得g（M5|+|M4|+|"B|）7=3r,化简得|M4|+|〃为=4>|/圻，由

椭圆定义可解;

（2）（i）（法一）由直线E尸的方程为了=《x+l,与椭圆方程联立，根据根与系数的关系可

得G（—"1___4_一3左4

倚（3左；+4'3好+4）'同理可得”（福士，丸7），又利用向量数量积运算

OGOH=9左左2+16=0,求出入g；

(3左;+4)(3后;+4)

44

（法二）设E（X]，M）,F（x,y）,G（x,y）,由点差法得先•后宓=-丁，则后。。=-才，同理

22003

kH=9

°~^k欲使,pjljk0G-kOH=-1,求得kxk2；

44k4

5）由弦长公式可得此=4-诉,倒…G':亡屋则

34

利用换元法和基本不等式知七=±1时取最大值'不妨设此时

41F）

后2=1，左=§，直线"'和尸。的夹角为凡则tanO=,,从而sin0=冷再由弦长公式求出|尸。|、

1^1，即可求解.

【详解】(1)由题意得卜M8|+|M4|+|Affi>r=3r,

易知|建4|+|"5|=4>|/圻,

由椭圆定义可知，动点M在以A,B为焦点，且长轴长为4的椭圆上,

22

又"不能在直线48上，・・・。的方程为：匕+土=1（%。0）.

43

（2）（2）（i）（法一）设E（X],弘），F（x2,y2）,G（x0,y0）,

易知直线EF的方程为y=klx+l,

(22

匕+土=1

联立,43

y=勺x+1

/口。o—6k,

得(3占+4)x+6左％—9=0,x{+x2=—~

3/C1+4

x,+修-3k,.14

x=--------=------,/=用X。+1=------,

023后；+4'/°103k；+4'

即G(肃？春)，

一3左4

同理可得'"(才？瓦彳),

：.OG-OH=9^+16,

(3#+4)(3%+4)

欲使。G_LOH,贝1J丽.丽=0,

即9kxk2+16=94+16=0,2=—■—,

.•.存在唯一常数人=得，使得当印2=4时，OGLOH.

(法二)设£(国,弘)，F(x2,y2),G(x0,y0),

易知E尸的斜率匕不为零，否则G与A重合，

欲使。G_LOH,则以将在x轴上，又b为尸。的中点,

则尸。，尤轴，这与PQ过A矛盾，

故勺片0,同理有a片0,

—~\——-=1

则：:，可得上造必十为=4

2

yf&-X2x+x3

—+^-=1}2

易知与二七2%、”1

且自L比=士="匹，左=9,

x

Xo匹+丁2石+%2石—2

2

44

/.kx-kOG即自G=一翥，

4

同理可得，k=~—,

OH3k2

欲使OG_LO〃，则噎(LT，

「・(-2)*(-Tj-)="I,左/2=，

3kl3k29

存在唯一常数4=得，使得当她=4时，OGLOH.

(ii)由⑴易矢口不+%=瑟］，且再三=诟三，

1

|EF|=Jl+4-必|+弓)2-4%弓=Jl+k；-J，"1第：；+4)=4-§J+4，

44

即此=4-叩,同理可得，闸…

k44434

.•大"”―吁叩-一许L

记片=/〉0,

34It771

11=1

..JE尸H尸。4?+313/+4、（=+3）（3/+4）=12‘12x2+25=7,

IZiH---------rZD

t

当且仅当，=1,即左2=±1时取等，

4

由椭圆的对称性，不妨设此时左2=1，国=M

且直线石尸和尸。的夹角为e,

3-ii-

则tan9=，^=：,不难求得sin”也，

1+lxl710

3

424425

此时，易知因…且I砂＞4-4^二了.

；.四边形E尸尸。的面积为:|P0||EB|sin9=；xmxmx^=4*.

方法点睛：1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（无1，%），（工2,%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或＞）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为再+%、玉龙2（或M+%、%%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

2.中点弦问题

常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有网+%,

%+%,三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得

玉-x2

斜率.同时设点设线联立化解韦达判别也可充分的破解中点问题.

11.(1)V7

(2)2=8或4=-3.

【分析】⑴根据向量落石满足同=中=2,且痴的夹角为60。，^\a+b^a2+2a-b+b2

求解；

(2)根据然一方与然+B互相垂直，由3-6可•(府+可/常-5协坂-6Z?=C求解.

【详解】⑴因为向量4万满足同=胴=2,且色石的夹角为60。，

所以忖+可2=片+2a-b+b2=1+2x1x2xcos60°+4=7,

解得M+»=g；

(2)因为府-4与府+B互相垂直，

所以卜)-6可｛/LG+B)=不将-5Aa-b-6br,

=22-52xlx2xCOS60°-24=0,

即分_54-24=0,解得4=8或2=—3.

12.(1)证明见解析；

(2)b=V2.

【分析】(1)由余弦定理结合已知推理即得.

(2)根据给定条件，利用数量积定义、正弦定理求出。，再由余弦定理结合(1)求解即得.

【详解】(1)在AASC中，由余弦定理及a3cosc-ccos5)=02,

222222

z-a+b-ca+c-b

倚H。2=ab7cosC-accos8n=--------------------------------=bl2-c2,

22

所以〃=202.

(2)在中，由瓦5.芯=c，得accosB=c,BPacosB=1,

由bsin/二行及正弦定理得asin5=6sin4=逝，两式平方相加得/=3,

于是a=百，由余弦定理得〃=/+，-2QCCOSB,又拄=2也,

贝12c2=3+<?—2c,即。2+20_3=0，而c>0,解得。=1,因此〃=2,

所以6=VL

13.(1)最大值为2,a=n+2kK,keZ

⑵(1,；+向

【分析】(1)利用平面向量的坐标运算，求出模，表示为函数，求最值即可.

(2)利用坐标运算得到乘积，转化为函数合理求值即可.

【详解】(1)Q=(l,2),5=(cosa,sina)c=(—l,0)/.B+c=(cosa—l,sina)

=Vcos2a-2coscr+1+sin2a=j2-2cosa

当cosa=—l时，忸+。|最大，止匕时忸+0=2,a=R+2kR,keZ

(2)«=(1,2),^=(cosa,sina\:.a-b=cos<7+2sina=&inQ+^?)tan(p=(pE(0,

•.・ee(0,|■1++设6=夕+0，易知6是第一象限角，故原式转化为

/'(6)=石sin6,结合正弦函数性质得f⑼在用上单调递增，

当6时，ta“=:，易知6是第一象限角，故sinO=@，£%=1，

25

当6=夕+,时，sin。/®旧,岳+亚，+拒,

310102

故/(。)€(1,；+75),即Z归e(l,；+而，

14.(1)|

⑵C3U5+»

【分析】(1)利用向量数量积的运算法则求得再由模长与数量积求得"与B夹角的余

弦值；

(2)由题意得,。+5)«+3可>0且总+B与Z+3反不共线，从而得到关于左的不等式组，解

之即可得解.

【详解】(1)因为同期=1,(“+2可._5)=4,

所以〃+a-b-2b2=——,即1+〃-3—2=——,贝=

333

/_r\a-b1i

则cos«/)=丽=],即"与B夹角的余弦值鼠

(2)因为炀+B与£+3彼的夹角为锐角，

所以(兀+即,+3可＞0且筋+B与£+3万不共线，

当人a+B与a+3石共线时，有左。+石=2(。+3可，ka+b=Aa+3Ab＜

1

由(1)知Q_与3不共线，所以[Ik=A解得左=：,

[1=343

所以当后+B与£+36不共线时，£,

由(左a+B)・(Q+3可＞0,得左〃+(3左+1)〃石+3户＞0,

即左+(3左+l)x；+3〉0,施军得左＞—g,

所以左＞-g且左即实数上的取值范围为1*jug,+，).

15.(1)ZA?=|A8+1ZD

AN

(2)——=4A

NM

-3"

⑶°q

【分析】(i)由向量的线性运算法则计算；

(2)由题意得否士商=4下,由共起点的三向量终点共线的充要条件求出乙即

可得出答案；

(3)由题意，可设加=加方(04加wg],代入/=丁丽+了正中并整理可得

AC^(x+ym)AB+(y-x)AD,又芯=：方+而，根据平面向量基本定理得出方程组，然

后结合二次函数的性质可得结论.

【详解】(1)由向量的线性运算法则，可得而=方+画7,①

AM=AD+DC+CM＜②

因为M为线段4s中点，则两=-丽7,

________

联立①②得：2AM^AB+AD+DC-AB+AD,

——►3—►1—►

整理得：AM=-AB+-AD.

42

—(■(,(3—►1—►।3t—t—,

(2)由4”与5。交于点N,=tAM=t\-AB+-AD\=-AB+-AD,

142J42

由共起点的三向量终点共线的充要条件知，号+!=1,解得：f=2.

425

>4——►AN

所以=即二7二4.

5NM

(3)由题意，可设DP=冽/B]()V加V；),

代入/=工丽+)；2?中并整理可得

AC=x(45-/£))+»(40+0尸)=(x+ym)AB+(j；-x)AD.

1□

又AC=AD+DC=—AB+AD,故J,2,可得：x=y-l,2(m+\

y-x=l、

13

因为04机W],所以，

23

xy=(y-^)y=y2-y=\y一，在单调递增,

I42

33

则当y=l时，（孙L=0，当尸5时，（孙）mJW'

E3

所以,孙的取值范围为0，z.

(2)t=3,