2024年江西省宜春市考数学一模试卷（含解析）

2024年江西省宜春市上高二中中考数学一模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各数中，比-2小的数是（）

A.0B.-1C.-3D.3

2.如图是一个玻璃烧杯，图2是玻璃烧杯抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则

它的俯视图为（）

正面

C.

D.

3.下列计算正确的是()

A.3a+26=5abB.(-2a)2=-4a2

C.(a+l)2=a2+2a+1D.a3-a4=a12

4.将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点。在BC的延长线上，EF//BC,乙B=LEDF=9Q°,乙4=

45°,NF=60。，则ZCED的度数是()

B.20°C.25°D.30°

5.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上，小明用

边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品-“奔跑

者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）

6.对于抛物线y=a/+4ax-m（aK0）与久轴的交点为4（一1,0）,吕3,。），则下列说法：

①一元二次方程a-+4ax-m=。的两根为久】=-1,x2=-3；

②原抛物线与y轴交于点C,CD〃*轴交抛物线于。点，则CD=4；

③点E（l,y］）、点F（-4,无）在原抛物线上，则为〉为；

④抛物线丫=-a/-4ax+m与原抛物线关于x轴对称.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.要使分式高有意义，久的取值范围为.

8.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为

国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000

亿次，将数据3000亿用科学记数法表示为.

9.某校教师对该校学生的学习兴趣进行了一次抽样调查，把学生的学习兴趣分为三个层次，4层次：很感

兴趣，B层次:较感兴趣，C层次：不感兴趣，并将调查结果绘制成了图1和图2的统计图（不完整），根据图

中所给的信息估计该校1200名学生中，C层次的学生约有人.

10.中国古代数学家杨辉的佃亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共

六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问长

比宽多多少步？经过计算长比宽多步.

11.如图，面积为24的。4BCD中，对角线平分乙4BC,过点。作DE1BD交

BC的延长线于点E,DE=6,贝UsinNE的值为.

12.在△力BC中，ZC=90°,NA=25。，点。是的中点，将。B绕点。向三角形外部旋转a角时(0。<a<

180°),得到OP,当AACP恰为轴对称图形时，a的值为______.

三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13.(本小题6分)

⑴计算：(-i)-2+2sin60°-|l-<3|；

3x2

(2)解不等式组：Of--->1.

(4%—5<3%+2

14.(本小题6分)

先化简，再求值：(2%八2Q---与)+；其中％=V-2-

15.(本小题6分)

为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动.某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈

基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机

选取部分学生进入“健美操”社团.

(1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为；

（2）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生

中恰好是1男1女的概率.

16.（本小题6分）

如图，平行四边形4BCD的顶点4在射线0E上，点B,C在射线OF上，且04=0C,请仅用无刻度的直尺,

按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在图1中，作NE0F的平分线。P；

（2）在图2中，作一点M,使以点。，A,C,M为顶点的四边形为菱形.

图1图2

17.（本小题6分）

某高层房屋主体工程完工后，为方便运送装修材料，安装了如图所示的施工升降机.设货柜（货柜底面厚度

忽略不计）从地面开始匀速上升到房屋顶端的运送时间为x（s）,货柜底部离地面的距离为y（m）.

（1）安装施工升降机后，经实验测量得到如下数据.请根据表格中的数据求出y关于久的函数解析式，并求出

m,的值;

x/s1011121314

y/mm5.285.766.24n

（2）若高层房屋主体的高度为38.4m,请求出乘货柜从地面到达房屋顶端所需要的时间.

货柜

18.（本小题8分）

某校八年级共有300位学生.为了解该年级学生地理、生物两门课程的学习情况，从中随机抽取60位学生进

行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理和分析，下面给出了部分信息:

信息1：如图是地理课程成绩的频数分布直方图（数据分成6组：第一组40Wx<50；第二组50W万<60；

第三组60Wx<70；第四组70W光<80；第五组80Wx<90；第六组90WxW100).

信息2：地理课程测试在第四组70<%<80的成绩是：707171717373757576.57778787979.5

信息3：地理、生物两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表.

课程平均数中位数众数

地理73.8m83.5

生物72.27082

根据以上信息，回答下列问题：

(1)地理课程成绩在80<%<90的学生人数为.并补全频数分布直方图；

(2)所抽取的60位学生地理课程成绩的中位数落在第组，这60位学生地理课程测试成绩的中位数小

为;

(3)在此次测试中，某学生的地理课程成绩为75分、生物课程成绩为71分，该生成绩排名更靠前的课程是

地理还是生物？说明理由；

(4)假设该校八年级学生都参加此次测试，估计地理课程成绩超过73.8分的人数.

地理课程成绩频数分布直方图

成绩/分

19.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系久Oy中，点在反比例函数y=((久<0)的图象上，点B在04的延长线上,

BDly轴，垂足为。，BD与反比例函数的图象相交于点C,连接AC,AD.

(1)求该反比例函数的解析式.

□

若设点。的坐标为求线段的长.

(2)S-CD=Q4(0,m),

20.(本小题8分)

图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点B,D,A,F在同一直线上，支杆力C

可绕点4活动，DE是可伸缩横杆,已知4D=AE=0.8m,DE=0.64m,BD=CE=0.3m.

(1)求活动宣传栏板与地面的夹角乙48c的度数；

(2)如图3,小明站在活动宣传栏板前的点H处看宣传栏时(点H,B,C在同一直线上)，若视线G4垂直宣传

栏板于点4,此时测得=1.16m,求小明的眼睛G离地面的距离.(参考数据：s讥66.5。=0.92,

sjn36.5°®0.59,cos66.5°«0.40,cos36.5°«0.80,tan66.5°«2.30,tan36.5°«0.74,结果精确到

0.1m)

图1图2图3

21.(本小题9分)

如图，。。是A4BC的外接圆，ZC=60°,AD是。。的直径，Q是4。延长线上的一点，且BQ=4B.

(1)求证：BQ是。。的切线；

(2)若4Q=6.

①求。。的半径；

②P是劣弧AB上的一个动点，过点P作EF〃4B,EF分别交C4、CB的延长线于E、F两点，连接OP,当OP

和2B之间是什么位置关系时，线段EF取得最大值？判断并说明理由.

22.(本小题9分)

已知抛物线y=ax2+bx+3中(a,b是常数)与y轴的交点为4,点4与点B关于抛物线的对称轴对称，二次

函数y=ax2+bx+3中(6,c是常数)的自变量久与函数值y的部分对应值如下表：

X-10134

y=ax2+hx+3800

(1)下列结论正确的是

A抛物线的对称轴是直线x=1

3.当％=2时,y有最大值一1

C当x<2时，y随x的增大而增大

。点4的坐标是(0,3)点B的坐标是(4,3)

(2)求二次函数y=ax2+bx+3的解析式；

⑶己知点在抛物线y=ax2+bx+3上，设4B4M的面积为S.求S与ni的函数关系式并画出函数图

象.并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？

23.(本小题12分)

定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”.如图1,四边形4BCD中，AD=CD,乙4+

“=180。，则四边形4BCD叫作“等补四边形”.

(1)概念理解

①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是

A平行四边形8.菱形C.矩形D.正方形

②等补四边形ABCD中，若NB：ZC：ND=2：3：4,则N4=°；

③如图1,在四边形4BCD中，BD平分乙4BC,AD=CD,BC>B4求证：四边形力BCD是等补四边形.

(2)探究发现

如图2,在等补四边形4BCD中，AB=AD,连接4C,AC是否平分ABCD?请说明理由.

(3)拓展应用

如图3,在等补四边形4BCD中，AB=AD,其外角NE4D的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=

5,求DF的长.

图I图2图3

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：将这些数在数轴上表示出来：

，，，，I1

-3-2-10123

-3<-2<—1<0<3,

・・•比一2小的数是一3,

故选：C.

利用数轴表示这些数，从而比较大小.

本题考查数轴表示数，比较有理数的大小，在数轴表示的数右边总比左边的大.

2.【答案】A

【解析】解：它的俯视图为两个同心圆.

故选：A.

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三

视图.回物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等.

3.【答案】C

【解析】解：43a与26不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、(-2a)2=4a2,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、(a+1)2=a?+2a+1,原计算正确，故此选项符合题意；

D、a3-a4=a7,原计算错误，故此选项不符合题意；

故选：C.

根据完全平方公式，合并同类项、积的乘方、同底数幕的乘法的运算法则逐一计算可得.

本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、合并同类项、积的乘方、同底数募的乘法运

算法则及同类项概念等知识点.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，牢记“两直线平行，内错角相

等”是解题的关键.

根据三角形的内角和定理，得Z4C8=45。，NDEF=30。，根据EF〃8c可得NBDE=NDEF=30。，根据

三角形的外角性质得N4CB=ABDE+MED,进而可得答案.

【解答】

解：•••Z.B=90°,乙4=45°,

.­./.ACB=45°.

•••乙EDF=90°,ZF=60°,

.­.乙DEF=30°.

•••EF//BC,

：.乙BDE=乙DEF=30°,

/-ACB—Z-BDE+/.CED,

.­./.CED=/.ACB-乙BDE=45°-30°=15°.

故选A.

5.【答案】D

【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积=：X^X42=1«g2),

oZ

平行四边形面积为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,

最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,则

A、阴影部分的面积为2+2=4(cm2),不符合题意;

B、阴影部分的面积为1+2=3mm2),不符合题意;

阴影部分的面积为4+2=6(cm2),不符合题意;

D、阴影部分的面积为4+1=5(cm2),符合题意.

故选：D.

先求出最小的等腰直角三角形的面积=：X：X42=10爪2,可得平行四边形面积为20n2,中等的等腰直角

oZ

三角形的面积为2°62,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,再根据阴影部分的组成求出相应的面积即

可求解.

本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影

部分的面积.

6.【答案】B

【解析】解：①••・抛物线y=ax2+^ax-TH的对称轴为％==-2,

・•・由抛物线与汽轴的交点4(-1,0)知抛物线与无轴的另一个交点8的坐标为(-3,0),

则一元二次方程a/+4ax-m=0的两根为%[=-1,%2=一3，故①正确，符合题意;

②根据题意，设C(0,-TH),D(n,-m),

由抛物线的对称轴为％=—2知：(0+n)=-2,得几=-4,

CD=\n-0\=|n|=4,故②正确；

③由题意知，当％=-3时，%=0,

而当抛物线开口向上时，若％=1,则%>。，即%〉％，

当抛物线开口向下时，若x=l,则均<。，即力<%，故④错误，不符合题意；

④抛物线y=ax2+4ax—ni关于x轴对称的抛物线为—y=ax2+4ax—m,即y=—ax2—4ax+m,故

④正确，符合题意；

综上，正确的是①②④，

故选：B.

由抛物线的对称轴久=-2及其与工轴的交点4(-1,0),利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线

的对称性及对称轴x=-2可得CD的长，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点及二次函数的增减性，结合

开口方向可判断③；根据关于x轴的对称的图形横坐标相等、纵坐标为相反数可判断④.

本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

7.【答案】x>1

【解析】解：•.•分式焉有意义，

%—1>0,

解得X>1.

故答案为：%>1.

根据二次根式及分式有意义的条件列式计算即可得解.

本题考查了分式及二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分

母不等于零是解题的关键.

8.【答案】3x1011

【解析】解：3000亿=3000x108=3x1011.

故答案为：3X1011.

科学记数法的表示形式为。*10气1＜同＜10)的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成

a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n是正数；当原

数的绝对值＜1时，n是负数.表示时关键要正确确定a,九的值以及的值.

本题考查了科学记数法的应用能力，掌握形式为a*10气13同＜10)的形式，其中，n为整数是关键.

9.【答案】180

【解析】解：1-25%-60%=15%,

1200x15%=180(人)，

故答案为：180.

求出样本中“C组”所占的百分比，进而估计总体中“C组”所占的百分比，再根据频率=鳖进行计算即

可.

本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关

键.

10.【答案】12

【解析】解：设长为万步，则宽为(60—©步，

依题意，得：%(60—%)=864,

解得:%!=36,x2=24,

1••x＞60-x,

x＞30,

x—36,

•••x-(60-x)=36-(60-36)=12.

故答案为：12.

设长为x步，则宽为(60-％)步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于久

的一元二次方程，解之取其较大值，再将其代入［尤-(60-吗］中即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

11.【答案】I

【解析】解：连接4C交80于点。,

•・•80平分4A8C,

•••Z-ABD=Z.DBC,

•・・口48。。中，AD//BC,

•••Z.ADB=Z.DBC,

・•.Z,ADB=乙ABD,

AB=AD,

••・四边形4BCD是菱形，

•••AC1BD,OB=0D,

DE1BD,

・•.0C//ED,

DE—6,

1

・•.0C=^DE=3,

AC=2x3=6,

ABC。的面积为24,

1

・•・^BD-AC=24,

BD=8,

BE=BD2+DE2=V82+62=10,

DnOA

.•.在RtABDE中，sinzF=能=弓=白

BE105

故答案为：

先证明四边形力BCD是菱形，由面积可求出BD长，再由勾股定理得到BE的长，进而即可得证.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练

掌握菱形的判定，正确作出辅助线思考问题.

12.【答案】50。或65。或80°

【解析】解：在RS4CB中，

•・•AACB=90°,AO=OB,

・•・OC—OA=OB,

・•・Z-OAC=/.ACO=25°,乙COB=50°,^AOC=130°.

①如图1中，

A

图1

当/C=/尸时，

在△ZOC和△ZOP中，

OA=OA

AC=AP,

OC=OP

•••△4。3△AOP(SSS),

AAOC=AAOP=130°,

・•・a=Z-POB—50°.

②如图2中，当PC=P4时，同理可证AOPA会AOPC,

A

图2

1

^POA=乙POC=1(360°一”OC)=115°,

・・.a=乙POB=(POC-乙COB=65°.

③如图3中，当C4=CP时，同理可证△CO力也△COB,

.­.乙COP=AAOC=130°,

a=乙POB=Z.POC—乙COB=80°

A

图3

故答案为：50。或65。或80。.

分三种情形讨论①如图1中，当4C=2P时，②如图2中，当PC=P2时，③如图3中，当C4=CP时，分

别利用全等三角形的性质计算即可.

本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论

的思想思考问题，属于中考常考题型.

13.【答案】解：(1)(-1)-2+2sin60°-|l-/3|

=4+2x^+l-<3

=4+/3+1-73

=5；

修>1①

(2)3_J,

4x—5<3%+2@

5

解

①得

X>

-3-

解②得：x<7,

-'•|<x<7.

【解析】(1)先计算负整数指数塞，并把特殊角的三角函数值代入，化简绝对值，再合并即可；

(2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集即

可.

本题考查实数混合运算，解不等式组，掌握确定不等式组解集的原则确是解题的关键.

14•【答案】解：(六%-搐)+W

_r(x+3)(x-3)____3_,2(九一3)

一L(%-3)2%-3」x2

_,%+33、2(%—3)

(%—3%—3)%2

—x2(x—3)

x—3x2

—_—2，

x

当x=时，原式=羞=V~2.

【解析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再化简，然后将X的值代入化简后的式

子计算即可，

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

15.【答案】⑴]

(2)画树状图如下：

开始

--------------------------

男1男2女1女2

Z\/1\/N/T\

男2女1女2男1女由2男1男2女2男1男2女1

由图可知，共有12种可能的结果，其中恰为1男1女的结果出现8次，

则选取的2名学生恰为1男1女的概率为。=

【解析】解：(1)从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为,=9，

故答案为：

(2)见答案.

(1)直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是1男1女的结果有8种，再由概率公式求解

即可.

本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步

以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16.【答案】解：(1)连AC,BD交于点P,作射线。P,

•••四边形4BCD为平行四边形，

・•・尸为ZC的中点,

•・.0A=0C,

・•.Z.AOP=乙COP,

・•.如图所示，射线。P即为所求;

(2)连AC,BD交于点、P,作射线OP,4。交于点M,

由(1)知：AAOP=乙COP,

,•・四边形力BCD为平行四边形，

AD//BC,

：.4AM0=/.POC,

■■■/.AOP=/.AMO,

AO=AM,

■：AO=OC,

：.AM=OC,

四边形0AMe为菱形，

・•.如图所示，菱形。4MC即为所求.

【解析】(1)由平行四边形的性质可得，点P为4C的中点，由等腰三角形的性质可得乙40P=NC0P,进而

即可得解；

⑵由(1)知：乙AOP=M0P,由平行四边形的性质可得4D〃8C,进而可得4。=4M,由平行四边形的判

定可得四边形。4MC为平行四边形，由4。=0C即可得解.

本题考查了等腰三角形的性质，平行四形的性质和判定，菱形的性质和判定，基本作图等知识点，熟练掌

握运用其性质作出图形是解决此题的关键.

17.【答案】解：(1)x=11,y=5.28；x=12,y=5.76；x=13,y-6.24；

每增加Is,就升高0.48m,

・・.y是关于％的一次函数,

设y关于％的函数解析式是y=kx+b,

把％=11,y—5.28；x=12,y—5.76代入

彳曰15.28=Ilk+b

付〔5.76=12k+b'

*＜：r

・•.y关于%的函数解析式是y=0.48%；

(2)令y=38.4,则38.4=0.48%,

解得％=80,

答：乘货柜从地面到达房屋顶端所需要80s.

【解析】(1)先判断y是关于久的一次函数，再利用待定系数法求解即可；

(2)当y=38.4时，求得％的值即可求解.

本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的性质是关键.

18.【答案】18四77.5

【解析】解：(1)由题意和图知：地理成绩在80Wx<90的人数为：60-2-6-8-12-14=18(人),

补全图形如图所示，

地理课程成绩频数分布直方图

故答案为：18；

(2)•样本总数为60人，

中位数落在第30,31位数上，

•・・前四组的总数=2+6+12+14=34,

•••所抽取的60位学生地理课程成绩的中位数落在第四组,

・••这60位学生地理课程测试成绩的中位数机=分里=77.5,

故答案为：四，77.5；

(3)该生成绩排名更靠前的课程是生物；理由如下：

地理课程成绩为75分〈中位数77.5分，生物课程成绩为71分〉中位数70分，

••.该生成绩排名更靠前的课程是生物.

(4)•••第四组超过73.8的有8人，第五组有18人，第六组有8人，

■­■300x8+胃8=300x当=170(人),

6UoU

.•・估计地理课程成绩超过73.8分的人数有170人.

(1)用样本总数各个小组的人数即可得到80<%<90的人数；

(2)根据中位数的定义即可判断；

(3)根据中位数的意义即可判断；

(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可.

本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

19.【答案】解：(1)把4(—2,|)代入丫=2(久<0)得k=—2x|=—3,

・•.反比例函数解析式为y=-|(x<0)；

(2)设直线0B的解析式为y=tx,

把4(—23)代入得,=-23解得t=

・,・直线08的解析式为y=

•・,DB//y轴，点。的坐标为(0,也)，

C点的纵坐标为加，

当y=zn时，m=解得血=一三，则

「3

S^ACD=4，

-x(m--)x—=解得？n=3,

2'2ym4

・•・C(T3),

当y=3时，一］%=3,解得％=-4,

4

B(-4,3),

BC=-1一(-4)=3.

【解析】(1)把4点代入y=5中求出k得到反比例函数解析式;

(2)先利用待定系数法求直线08的解析式为y=再表示出。(-今山)，利用三角形面积公式得到义

(m-|)x^=|,解得爪=3,贝依一1,3),然后计算出B点坐标，从而得到BC的长.

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式y=((k为常数，k力0),然后把一组

对应值代入求出k得到反比例函数解析式.

20.【答案】解：(1)过点4作4G1DE,垂足为G,

图2

AD—AE—0.8m,AG1DE,

1

...DG=EG="E=0.32(m),

在RtZkADG中，COSN4DG=黑=*=0.4,

AL)(J.o

•••Z-ADGy66.5°,

BD=CE=0.3m,

*，•AD+BD=AC+CE,

AB=AC=0.3+0.8=

AD_AE

•t•,

ABAC

Z.DAE=乙BAC,

•••△ADEABC,

•••Z-ADE=乙ABC«66.5°,

•••活动宣传栏板与地面的夹角乙4BC的度数约为66.5。；

(2)过点4作AM1CH,垂足为M,过点B作BN14M,垂足为N,

图3

・•.AAMG=90°,

Z.G+4GAM=90°,

由题意得：MH=BN,MN=BH=1.16m,AM//CH,

・•.ABAM=4ABC=66.5°,

在Rt△ABN中，AB=1.1m,

・•.BN=AB•sm66.5°«1.1x0.92=1.012(m),

AN=AB•cos66.5。«1.1x0.4=0.44(m),

.・.MH=BN=1.012m,AM=AN+MN=0.44+1.16=1.6(m),

GA1AB,

・•.Z,GAB=90°,

Z.GAM+(BAN=90°,

・•.Z.G=乙BAN=66.5°,

在RtAAMG中，GM=0.70(m),

•••GH=GM+MH=0.70+1.012«1.7(m),

•,・小明的眼睛G离地面的距离约为1.7m.

【解析】(1)过点4作4G1DE,垂足为G,先利用等腰三角形的三线合一性质可得DG=EG=0.32m,然

后在RtAADG中，利用锐角三角函数的定义可得C0SN4DG=0.4,从而可得N4DG=66.5。，再根据等式的

性质可得4B=AC=1.1m,最后证明4字模型相似△力DEs△4BC,从而利用相似三角形的性质可得

^ADE=^ABC~66.5°,即可解答；

(2)过点4作AM1CH,垂足为M,过点B作BN1AM,垂足为N,根据垂直定义可得乙4MG=90。，从而可

得乙G+AGAM=90°,再根据题意可得：MH=BN,MN=BH=1.16m,AM//CH,从而可得NB4M=

^ABC=66.5°,然后在RtAABN中，利用锐角三角函数的定义求出BN和4N的长，从而求出4M的长，再

根据垂直定义可得"4B=90°,从而可得4GAM+乙BAN=90°,进而可得4G=乙BAN=66.5°,最后在

RtAAMG中，利用锐角三角函数的定义求出GM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

21.【答案】解：(1)连接08,如图1,

图1

•••Z.C=60°,

/.Z-AOB=120°,

OA=OB,

・•.Z,OAB=乙OBA=30°,

BQ=AB,

Z.Q=Z.OAB=30°,

/.Z.ABQ=120°,

・•・乙OBQ=90°,

•・.BQ是。。的切线；

(2)①设圆的半径为r,则。Q=6-r,

由(1)知，NQ=30°,/.OBQ=90°,

OB1

-'-OQ=sin30°=2

r_1

,•6^-29

解得：r=2；

②如图2,

当。P垂直平分4B时，线段EF取得最大值;

理由如下：

由(1)知，AQ=6,NQ=NB4Q=30。，

可求4B=2/3,

过点C作CHIEF,垂足为H,交AB于点K,

•••EF//AB,

CK1AB,AABCsAEFC,

tAB__CK_

•••~EF=~CH'

□口AB-CH、臼~CK+HK、yyHK

•••EF=——=2V3x---=2V3+2V3--,

LnLnCA

易知：CK是定值，所以，EF随着HK的增大而增大，

当HK取最大值时，EF取最大值，

・•・当点P为劣弧4B的中点时，HK最大,此时。P垂直平分4B.

【解析】(1)根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，结合等腰三角形的性质，可求NOBQ=90。；

(2)①设出半径，表示出。Q,运用三角函数建立方程即可求解；

②过点C作CHIEF,垂足为H,交4B于点K,推理出“EF随着HK的增大而增大，当”K取最大值时，EF

取最大值”即可求解.

此题主要考查圆的综合问题，会证明圆的切线，会运用方程思想解决问题，熟悉等腰三角形的性质并灵活

运用，会结合相似三角形的性质进行推理是解题的关键.

22.【答案】D

【解析】解：(1)根据当x=1和3时，y=0,得出抛物线的对称轴是：直线％=三=2,故A错误.

•••图象过(1,0),(3,0),

二可设抛物线为y=a(久-1)(%-3).

把(—1,8)代入可得：8=a(-l-l)(-l-3),

解得：a-1.

.•.二次函数y=ax2+bx+3的解析式为：y=(%-1)(%—3)=x2-4x+3.

又y=x2—4x+3=(%—2)2—1,

.•.当x=2时，y有最小值-1,故8错误.

又由题意，当x<2时，y随x的增大而减小，故C错误.

,•・抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点为4,

久=0时，y=3,则点2(0,3).

又对称轴是直线x=2,

・•.B(4,3),故。正确.

故选：D.

(2)由(1)得，抛物线的解析式为y=/—4x+3.

(3)如图1,连接4B,轴，AB=4,

图1

当0<小<4时，点M到2B的距离为3-n,

1

*',S&ABM=2C—九)x4=6-2几，

又・.•n=m2—4m+3,=-2m2+8m,

・

••当zn<0或?71>4时，点M到直线AB的距离为九—3,S2=|x4(n—