枣庄市薛城区2024届高二年级上册数学期末考试试题含解析

枣庄市薛城区2024届高二上数学期末考试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/'（x）的定义域为开区间S,切，导函数/'（X）在（a,»内的图像如图所示，则函数f（x）在开区间（久》内的极

大值点有（）

C.3个D.4个

2.已知函数〃司=依—ln(x—l)(awR),若"％)在x=2处取得极值，且/(X”法—6+1恒成立，则实数b的

最大值为()

A.1+eB.1H—

e

11I

C.IH—z-D.I

ee

3.已知集合4=卜|—l<x<l},B={x|0<x<2},则A]B=

A.{x|-l<xW2}B.{X|O<X<1}

C.{x|1<X<2)D.{x|0<x<l}

4.已知函数/(x)=lnx—有两个不同的零点，则实数”的取值范围是()

A(0,1)B.(-8,1)

5.已知命题。：X2+X-2>Q,命题心%-1>0,则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.过点尸(2,1)作圆+的切线/,则切线/的方程为()

A.4x-3y-5=0B.4x-3y-9=0

C.y=1或4%-3丁-5=0D.y=1或4x-3y-9=0

7.点(L2)到直线3x+4y—1=。的距离为

A.1B.2

C.3D.4

8.已知数列｛%,｝是公差为—2等差数列，%=5,则4=()

A.lB.3

C.6D.9

9.已知离散型随机变量X的分布列如下：

X123

111

P

333

则数学期望月(X)=()

C.lD.2

10.若直线2兄+6y一1=。与直线—+7=0垂直,则加二()

A6B.4

2

C.—D.—2

3

11.在等差数列｛。力中，ai=2,〃5=3的，则〃3等于()

A.-2B.0

C.3D.6

12.从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O,将篮球表面的

粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆。的周长八等分，AB=BC=CD,则该双曲线的离

心率为()

A

图1图2

A.也B.半

57

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线。：必=2.y的焦点为b，定点又（2百,0）,若直线根与抛物线C相交于A、B两点（点B在F、

“中间），且与抛物线C的准线交于点N,若忸叫=7忸同，则AR的长为.

14.已知直线\：2%+与；+2=0与直线/2：2》—丁+1=0平行，则直线34之间的距离为.

15.以点（-3,1）为圆心，且与直线x+3y+10=0相切的圆的方程是

16.已知直线/：%—2y+3=O与圆C：（x—2）2+/=/（厂〉0）相切，则厂=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/'（工卜％3-2/+%+相.

（1）求“X）的单调区间；

（2）讨论了（%）的零点个数.

18.（12分）已知点A（若，0）,点C为圆3：（x+省『+：/=165为圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线

与直线交于点G

（1）设点G的轨迹为曲线7,求曲线7的方程；

（2）若过点P（»i,0）（帆>1）作圆0：V+y=i的一条切线/交（1）中的曲线T于M、N两点，求△MN。面积

的最大值

22

19.（12分）已知双曲线C：J—3=1（a>0,Z?>0）的一条渐近线的方程为氐—2y=0,双曲线C的右焦

ab

点为e（3,0）,双曲线C的左、右顶点分别为A,B

（1）求双曲线C的方程;

（2）过右焦点b的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为匕，直线3。的

斜率为左2,证明：3为定值

20.（12分）2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫

困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫

困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，

研究发现某脱贫村适合种植A、3两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得

到如下统计数据：经济作物A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

年份编号X12345

年份20172018201920202021

单价y（元/公斤）1820232529

经济作物B的收购价格始终为25元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下:

（1）若经济作物A的单价V（单位：元/公斤）与年份编号x具有线性相关关系，请求出V关于x的回归直线方程,

并估计2022年经济作物A的单价；

（2）用上述频率分布直方图估计经济作物3的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素,

试判断2022年该村应种植经济作物A还是经济作物B?并说明理由

_n_n__

-X（%一可（%—歹）

附：$=上—------------=与----------，a^y-bx

i=li=l

21.（12分）已知椭圆工〉。〉0）的离心率为变，短轴长为20

ab2

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知P（0,l）,A,3分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为左的直线交椭圆于另一点E,连接EP并延长交

椭圆于另一点F,记直线5歹的斜率为心.若勺=3&,求直线E尸的方程

22.(10分)已知圆M的圆心在直线丁=%上，且圆心在第一象限，半径为3,圆M被直线/：2%+y—1=0截得的弦

长为4.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线x+y+4=0上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】利用极值点的定义求解.

【题目详解】由导函数/'(X)的图象知：函数/(尤)在S,人)内，与x轴有四个交点：

第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，

第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，

所以函数/(x)在开区间(a,b)内的极大值点有2个，

故选：B

2、D

【解题分析】根据已知"X)在X=2处取得极值，可得。=1,将“X)之法-6+1在(1,+8)恒成立，转化为

止1—g-1),只需求1_皿1),求出最小值即可得答案・

1Lx—1益

【题目详解】解：,.■/(%)=依—ln(x—1),f'(x)=a一一—,

X-1

由在x=2处取得极值，得r(2)=a-——=0,解得a=l,

2—1

1r_9

所以，=x—其中%>1,/'(x)=l-----=——

x—1X—1

当l<x<2时，/'(%)<0,此时函数了(九)单调递减，

当尤>2时，r(%)>o,此时函数/(大)单调递增，

故函数/(%)在X=2处取得极小值，

V%>1,/(x)之法一6+1恒成立，转化为皿二

X-1

令g(x)=l--------,x>l,贝!Ig(x)=j—,x>l,

x-1--------------------(x-l)

令(?'(%)=。得％=6+1,

当l<x<e+l时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,

当x>e+l时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

,、Infe+1—1)1,1

所以g(x)而n=g(e+l)=l-----------=1—,即得匕—,

')e+1-1ee

故选：D

3、B

【解题分析】由交集定义直接求解即可.

【题目详解】集合A={x|T<x<l},5={x|0Vx<2},则4门3={%|0<%<1}.

故选B.

【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

4、A

【解题分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.

InV+V

【题目详解】由题意得〃=一「有两个零点

X

1、

一9(lnx+x)(2x)」_21nx-x

a=7=

令<?(%)=l—21n%-%(%>0),

2

贝！15(%)=——1<0且仪1)=。

x

lr»y_1_y

所以无e(O,l),g(无)>0,d>0,。=—^在(0,1)上为增函数，

x~

可得ae(-00,1),

Iny4-Y

当xe(1,+8),g(x)<o,"<o,a=上乎在(1,y)上单调递减，

可得aw(0,1),

即要a=里?有两个零点有两个零点，实数”的取值范围是(0,1).

故选：A

【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

⑴直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解

5、B

【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【题目详解】因为命题％〉1或x<-2,命题q：x>i,

所以p是q的必要不充分条件，

故选：B

6、C

【解题分析】设切线/的方程为y-1=左(X-2),然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.

【题目详解】圆。：好+>2=1的圆心为原点，半径为1,

当切线/的斜率不存在时，即直线的方程为x=2,不与圆C相切，

当切线/的斜率存在时，设切线/的方程为y—1=左(％—2),即乙—y—2左+1=0

所以匕1,解得左=0或左=二

IVT7F3

所以切线/的方程为y=l或4x—3y—5=0

故选：C

7、B

【解题分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.

【题目详解】.二叱+户+里上2,答案为B

jT+笈5

【题目点拨】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.

8、D

【解题分析】结合等差数列的通项公式求得为.

【题目详解】设公差d=—2,%=(+2d=q-4=5n%=9.

故选：D

9、D

【解题分析】利用已知条件，结合期望公式求解即可

【题目详解】解：由题意可知：E(X)=lx1+2x1+3x|=2

故选：D

10、A

【解题分析】由两条直线垂直的条件可得答案.

【题目详解】由题意可知2〃?—12=0,即〃z=6

故选：A.

11、A

【解题分析】利用已知条件求得d,由此求得的•

【题目详解】。1=2,。5=3。3,得。1+4d=3(ai+2J),即d=—ai=—2,

所以a3—ai+2d——2.

故选：A.

12、D

【解题分析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆。的交点将圆的周长八等分，且A5=3C=C。，推出点在

双曲线上，然后求出离心率即可.

2

【题目详解】设双曲线的方程为当=i(a>0,Z>>0),

a

则OC=a,因为A3=3C=C。，

所以CD=2OC,所以O£>=3OC=3a,

因为坐标轴和双曲线与圆。的交点将圆。的周长八等分,

所以在双曲线上,

22

vY09a2h2

代入4-\=i可得Z-N=i,解得」9

a2b222b2a27

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解题分析】分别过点A、3作AH、垂直于抛物线C的准线于”、T,则忸同=忸刀，求出直线府的方程,

可求得抛物线C的焦点E的坐标，可得出抛物线C的标准方程，再将直线府的方程与抛物线C的方程联立，求出

点A的纵坐标，利用抛物线的定义可求得线段AF的长.

【题目详解】如图，分别过点A、3作AH、8T垂直于抛物线C的准线于”、T,则忸耳=忸刀，

由忸N|=7忸闵得忸N|=7忸刀，所以，tan/BNT=*，又"(26,0),

所以，直线根的方程为>=—走［一26),所以，则〃=1，

则抛物线C的方程为必=2%

设点A的纵坐标为力，由，=一五卜一2,3),得>=：或>=。，

［广=2y

2

因为点5在尸、M之间，则力=§，

所以，|AF|=|A/f|=yA-^-1^=|+|=|.

7

故答案为：—.

6

14、—

5

【解题分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出

【题目详解】解：因为直线/］：2x+6y+2=0与直线6：2x—y+l=O平行，

所以2b=2x(—1),解得〃=—1,

,|2-1|6

当》=一1时，(：2x—y+2=0,/:2x-y+l=0,则d=-？〒,=

2力2+(—1)25

故答案为：6

5

【题目点拨】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键

15、(x+3)2+(y-l)2=10

【解题分析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得.

【题目详解】圆心(―3,1)到直线x+3y+10=0的距离4=号，5=而，又圆与直线相切，所以r=d=W，

所以圆的方程为(x+3)2+(y—l)2=10.

故答案为：(^+3)2+(y-1)2=10

16、亚

【解题分析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可.

【题目详解】由直线/:尤―2y+3=0与圆C：(x—2)2+/=/(/〉0)相切,

|2+3|

所以圆心到直线/的距离等于半径r,即「==#).

#+(—2)2

故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)单调递增区间是,*,和。,+⑹，单调递减区间是

(2)加€1-8,-《1°(0,+00)时，/(X)有1个零点；

加=。或加=—方时，/(%)有2个零点；

me1—',。］时，/(%)有3个零点.

【解题分析】(1)求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；

(2)根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.

【题目详解】(1)因为/(x)=d—212+尤+相，所以/'(x)=3f—4x+l=(3x—l)(x—1)

由/'(x)>0,得或x>l；由r(%)<o,得:<x<i.

故〃％）单调递增区间是和&+s）,单调递减区间是

（2）由⑴可知“可的极小值是"1）=〃2,极大值是/，,加+，.

①当相＞0时，方程/（可=0有且仅有1个实根，即/（%）有1个零点；

②当根=0时，方程/（司=0有2个不同实根，即/（九）有2个零点；

③当-（＜根＜0时，方程/（无）=0有3个不同实根，即/（九）有3个零点；

④当/=-白时，方程/（九）=0有2个不同实根，即/（%）有2个零点；

⑤当机＜-2时，方程/（无）=0有1个实根，即有1个零点.

综上，当相＞0或"2〈一、•时，/（%）有1个零点；当根=0或7〃=—，时，/（九）有2个零点；当一《■〈:“〈O时,

了（九）有3个零点.

无2

18、（1）—+y2=1

4

（2）1

【解题分析】（1）可由题意，点G在线段AC的垂直平分线上，|G4|=|GC|,可利用椭圆的定义

|G4|+|GB|=|GC|+|GB|=4,得到点G的轨迹为椭圆，然后利用已知的长度关系求解出椭圆方程；

（2）可通过设/的方程，利用/是圆。的切线，通过点到直线的距离得到一组等量关系，然后将直线与椭圆联立方程,

计算弦长，表示出△MN。面积的表达式，将上面得到的等量关系代入利用基本不等式即可求解出最值.

【小问1详解】

依题意有，|G4|+|G@=|GC|+|Gfi|=4＞|AB|=2百，

22

即G点轨迹是以A,5为焦点的椭圆，设椭圆方程为一+==13＞6＞0）

由题意可知2a=4,2c=2A/3)则a=2,b=1,

所以曲线7的方程为土+>2=1

4-

【小问2详解】

设N（%2，%），设直线/的方程为了=沙+加，

"2

因为直线/与圆炉+丫2=1相切，所以=即加2=产+],

V177

x=ty+m

联立直线/与椭圆的方程2_，整理得（4+/）/+2加9+//—4=0,

彳+、=

A=4z2m2-4（4+r2）（m2-4）=16r2+64-16m2=16?2+64-16（r2+1）=48>0,

由韦达定理可得%+%=-半，m2—4

所以|MN|=&+『|%一%|=Jl+『'’（必+乂丫-分]%=&+『-，

又点。到直线/的距离为1,

所以S^MNO=-|A/^P=-X717F-^^X1=2A/3X^H^=^^

△MN°21124+d4+产疗+3

3广

当且仅当加=一,即m=百＞1时，取等号，

m

所以一MNO的面积的最大值为1

22

19、（1）---乙=1；

45

（2）证明见解析.

【解题分析】（1）由题可得c=3,-=即求；

a2

（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证

【小问1详解】

由题意可知在双曲线C中，c=3,2=45,c2=a2+b2,

a2

a=2,

解得厂

[b=E

22

所以双曲线c的方程为L—匕=1；

45

【小问2详解】

证法一：由题可知4（—2,0）,8（2,0）,

设直线/：丁=左（X一3）,。（与％），

由!y：左（x；3）,得（5—4左2）尤2+24左21_36左2_20=0,

5f一4y2=20、7

„„24k2八36父+20八

则%,+x,=——---->0,X|X,=------------>0,

2

1-4左2—51-4k-5

.k.=^~

'玉+2

K_弘（九2—2）_（尤1-3）（九2-2）_玉%2-2%一3九2+6_X1X2-3（X1+X2）+X1+6

k]%（玉+2）（%2—3）（玉+2）龙I/-3%+2々-6\x2-3（x；+x2）+5x2-6

36左2+203/4左224k2

0~1--------o-------—尤2+6

4左2—54左2—54左2—5

36左2+20394）

+5x,—6

4k2-54k2-5

12F-1012F-10

九2

4人2—54左2—51

50T+5x,-5（12左2—IO?5;

一九2

442—5214左2—5

7

k1

当直线/的斜率不存在时，/心3,此时「}一，

综上，?为定值

证法二：设直线产。方程为了=切+3,0(%,%),

%=my+3,/

联立得回2-4/=2。整理得G>m2-4）y2+3Qmy+25=0,

由过右焦点F的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点,

5nr-4w0,

-30m八

—：——>0.

5m--4-2

则解得0<m<

。

F5m2-<4

A=（30m）2—4x25x（5m2—4）〉0,

—30m-30m65/、

25%+%^-二—不根，⑺]%=_%（%+%）

%+%=2

5m—4―5m2_4，X%

由双曲线方程可得4（—2,0）,3（2,0）,左=—,&=上7，

玉+，12—，

Vx—my+3,/.x2-2=my2+1,xx+2=myx+5,

'（、15

X-2-S2+

A=2）=%（s+l）=X=”+%）+%==_1

%-%&+2）-%（冲1+5）一冲g+5%——5（%+%）+5J―5%+25%-5

6'66

证法三：设直线产。方程为x=72+3,P（x，yJ,p（x2,y2）,

x=my+3,/\

联立得u2：2“整理得（5*9-4江9+30叫+25=0,

5x-4y=20,''

由过右焦点厂的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点，

5m2-4H0,

-30m八

―——>0.

5m2-42

则解得0<根<

/，

4<。

5m~-4

A=（30m）2—4x25x（5加②—4）〉0,

'%+%=潦与''为=五='由双曲线方程可得“（一2,°），'（2,0）,

则匕•即B=上义上5,

%+2—24

,5

所以尤=7~

《BP

25

%.%=3V2=5m2-4

xx-1x2-2(myx+1)+m(％+%)+1

25

__________5m2_4____2_5_________________________

疗.一+八二3^L+125疗-30疗+5病-4T

5m—45m—4

0x0」

...e4I25J5为定值

20、（1）3=2.7x+14.9,31.1元/公斤；（2）应该种植经济作物8；理由见解析

【解题分析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测;

（2）先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得加值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物

的亩产量进行求解.

_1+2+3+4+5

【题目详解】（1）x=-----------------

_18+20+23+25+29―

y=------------------=23

5____

方王/一5xy

1x18+2x20+3x23+4x25+5x29-5x3x23

:.b=------

£片-5/12+22+32+42+52-5X32

Z=1

=2.7,

4=23—2.7x3=14.9

则丁关于左回归直线方程为y=2.7x+14.9

当％=6时，5>=2.7x6+14.9=31.1,

即估计2022年经济作物A的单价为31.1元/公斤

(2)利用频率和为1得：

01-<0.010+0,0175+0.0125)x20…

2m=----------------------------=0.01,

20

所以m=0.005

经济作物B的亩产量的平均值为:

(360x0.005+380x0.010+400x0.0175+420x0.0125+440x0.005)x20=401,

故经济作物A亩产值为300x31.1=9330元,

经济作物B亩产值为25x401=10025元

9330<10025,

..・应该种植经济作物3

22

21、（1）土+匕=1

42

(2)x-y+l=0

【解题分析】（1）由离心率得Q，c关系，短轴求出匕，结合关系式解出dj可得椭圆的标准方程；

（2）设£（%,%）,F（x2,y2），过EF的方程为丫=区+1,联立直线与椭圆方程得韦达定理，结合斜率定义和6=3a

49y；2-x9（2+%）

化简得/c、2=/；、2,由瓦尸在椭圆上代换得一L=——工,联立韦达定理可求3进而得解；

（%1+2）（X2-2）2+%2-X2

【小问1详解】

由题意可得，,2b=2五,

a2

a=2,尤22

又片—匕2=°2,解得所以椭圆的标准方程为L+匕=1；

b=y/2,42

【小问2详解】

由⑴得4（—2,0）,5（2,0）,显然直线E