押辽宁卷第20-21题（锐角三角函数、圆的综合题）-备战2024年中考数学临考题号押题（原卷版）

押辽宁卷第20-21题押题方向一：锐角三角函数解直角三角形3年辽宁真题考点命题趋势2023年丹东中考第23题方位角从今年的辽宁省中考来看，锐角三角函数的应用是中考中的必考题型，一般以解答题的形式出现，而且最近出现了一些和实际操作相关综合题；预计2024年辽宁卷还将考察，熟练掌握基础知识点，避免失分。2023年盘锦中考第21题仰、俯角2021年辽宁中考第21题坡度坡角1．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB=40m，BD=20m，∠BDF=159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：3≈1.73，sin21°≈0.36，

3．（2022·辽宁·中考真题）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM=30°（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC的长；(2)求这棵大树CD的高度（结果取整数）．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43理解题目背景：首先，仔细阅读题目，理解题目所描述的实际背景和问题要求。识别出题目中的关键信息，如角度、边长、高度等。建立数学模型：根据题目描述，将实际问题转化为数学问题。构造直角三角形，并确定已知和未知的边和角。利用锐角三角函数的定义和性质，建立方程或不等式。应用三角函数知识：根据题目中的条件，选择适当的三角函数（正弦、余弦、正切）进行计算。如果需要，可以使用三角函数的特殊值或基本公式进行简化。解方程或不等式：解出建立的方程或不等式，得到未知量（如边长、角度）的解。注意检查解的合理性，确保符合题目中的实际条件。验证答案：将求得的解代入原题目中，检查是否符合题目要求。如果有条件，可以使用其他方法或工具进行验证。注意单位换算：在实际应用中，单位可能不同（如米、厘米、度、弧度等）。在计算过程中，要注意单位换算，确保计算结果的单位与题目要求一致。多练习：通过大量的练习，熟悉各种类型的应用题目和解题方法1．一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄△BCD按压到底时，此时(1)求BD旋转到BD(2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.952．2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′（如图1）：①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．(sin(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC=23①利用现有数据，根据cos∠BPC=23，计算出汽车行AP加上冲锋舟行②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．3．天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔AB的高度，塔前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1:3．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为42°，测角仪DE的高为1.5米，求塔AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan4．如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知∠A=120°，∠B=106°，∠C=128°，∠D=126°，AE=600cm，DE=400

(1)求证：AB∥(2)求纪念碑的高度．5．某学习数学兴趣小组要测大树BC的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为45°，然后从距A点水平距离为9米高3米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为22°．依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin22°≈

6．“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：活动目的测量风力发电机的塔杆高度测量工具无人机、皮尺等测量示意图说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点（B点在A点的正上方）测量出塔杆顶端P的仰角和俯角测量数据斜坡CD的坡角30°CD的长度18米AB的长度53米点A处测量的仰角45°点B处测量的俯角18°请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，7．从2024年1月1日起，国务院、中央军事委员会颁布的《无人驾驶航空器飞行管理暂行条例》正式实施，非经营性活动的微型无人机适飞空域高度不超过50米．如图，在水平地面上选择观测点A和B，无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为37°；无人机垂直上升10m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°．AB=20m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．请你判断此次无人机起飞是否在允许的范围内．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan63°≈2.08．位于卫辉市东南隅的镇国塔，是河南省重点保护文物．镇国塔为七层六角楼阁式砖塔，塔每层的六个角上都悬挂着一个风铃，风吹起的时候叮当作响，悦耳动听．某数学小组在老师的指导下，测算镇国塔的高度．如图，已知AD=2m，在点D处测得镇国塔的顶端E的仰角为33°，自A向镇国塔走30m到达点B，测得镇国塔的顶端E的仰角为60°（点A，B，C在一条直线上）．则数学小组测算的镇国塔的高度CE是多少？（结果精确到0.1m．参考数据：sin9．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物DE前有个斜坡AB，已知∠BAH=30°,AB=12m某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为27°，广告牌CD=3m(1)求点B到地面距离BH的长；(2)设建筑物DE的高度为ℎ（单位：m）；①用含有ℎ的式子表示线段EH的长（结果保留根号）；②求建筑物DE的高度（tan27°取0.5,10．阅读下列材料，回答问题．任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高AB，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上．工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于AB）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小．例如：如图3，测角仪可测得∠POQ的度数，测角仪的高度忽略不计．小明利用无人机测量玻璃栈道的高AB，其测量和求解过程如下．测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为vm/s求解过程：由题意，知∠MNA=∠BMN=∠NAB=90°，∴四边形ABMN为①，∴AB=MN=②m．

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容．(2)小明求得AB用到的几何知识是．(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高AB．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．11．无人机在实际生活中已被广泛应用．如图所示，某人利用无人机测大楼BC的高度，无人机在空中点A处，测得楼底B点的俯角为53°，测得楼顶C点的俯角为14°，控制无人机水平移动35米至点D处，测得楼顶C点的俯角为31°，（点A，B，C，D在同一平面内，且A，D在BC的同侧），求大楼BC的高度．(tan14°≈1412．某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2课题民心河护坡的调研与计算调查方式资料查阅、实地查看了解调查内容功能护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等护坡时剖面图

相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AB和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，计算结果………13．某学校无人机社团为了提升该小组成员使用无人机的能力，特意组织成员到户外进行实地测量小山的高度．测量时，先将无人机上升到距地面800m高度的B处，此时测得山顶A点的俯角是14°；再控制无人机水平移动至点C，测得BC=462m，此时测得山顶A点的俯角为31°，求山顶A点距地面的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，14．暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树CD正好抵着高树AB的中点D．救援的小明通过测量得到了以下数据：BC=9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°，（取(1)求两树的支撑点D离地面高多少米？(2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）．15．双流区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量．如图，他们先在点E处用高1.5m的测角仪EF测得无人机A的仰角为45°，然后沿水平方向EB前行20m到点C处，在点C处测得无人机A的仰角为65°．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断此同学的无人机是否超过限高要求？（参考数据：sin65°≈0.9，16．北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务．如图，⊙O是地球的平面示意图，点P是一颗北斗卫星，在北纬60°的点A（即∠POA=60°）观测，BC是点A处的地平线（即BC与⊙O相切于点A），测得∠PAC=16°，已知地球半径约为6400km，图中各点均在同一平面内，请计算PO的长．（结果精确到1km，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，17．项目化学习项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；（2）实地测量图书馆门口场地的大小；（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中MN为地面所在水平线，CD和DF是无障碍通道，并且∠CDF=2∠DFE，立柱CG，DE均垂直于地面，GE=6米，FE=4米．解决问题：若原台阶坡道的长度（线段AB的长度）为5米，坡角α的度数为23°，BC∥MN，求出无障碍通道的总长（线段CD和DF的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：sin23°≈0.40，cos18．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进107米到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（计算结果精确到1米，参考数据：19．如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢ABCD的长AB=4m，卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转．A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为0.7m，货厢对角线AC，BD的交点G可视为货厢的重心，测得(1)若tan∠BAN=33，求点B(2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故，若tan∠BAN=1，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92，cos20．达坂城风力发电站位于乌鲁木齐市区与达坂城区之间的公路旁，风区风能资源十分丰富，光热条件优异，由上百座巨大的发电风车组成，是中国最大的风能基地，有中国“风谷”之称．如图，某校学生测量其中一座风车的轮载高度（风轮旋转中心到基地平面的垂直距离）AB，先在点C处用测角仪测得其风车顶端A的仰角为32°，再由点C走50米到点E处，测得风车顶端A的仰角为45°．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD=EF=1.5米，求该座风车的轮载高度AB．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85．押题方向二：圆的综合应用3年辽宁真题考点命题趋势2023年丹东卷第22题切线的证明从近年辽宁中考来看，圆的解答题考查的综合性较强，一般会和三角形、四边形综合，解题时除了会用到圆本身的公式外，还经常综合三角形的全等和相似，勾股定理等知识点；预计2024年辽宁卷还将继续重视对圆的考查。2023年阜新卷第19题阴影面积的计算2023年锦州卷第22题圆与三角形综合1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PD=PE，延长PD交BA的延长线于点F．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若DF=4，PE=72，cos∠PFC=2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．

(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若∠ABC=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，AE为⊙O的直径，点C在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，与OC延长线交于点B，过点B作BD⊥OB，交AC的延长线于点D．

(1)求证：AB=BD；(2)点F为⊙O上一点，连接EF，BF，BF与AE交于点G．若∠E=45°，AB=5，tan∠ABG=37，求⊙O掌握圆的基本性质和定理：圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。切线定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。圆的面积和周长公式：S=πr²和C=2πr。利用直径和半径：当题目中涉及直径时，注意直径上有个隐藏的中点（圆心），并利用直径所对圆周角为直角来构造直角三角形。当需要添加辅助线时，考虑连接圆心和切点，或者连接圆心和圆外的一点，或者连接两切点。理解三角形与圆的关系：三角形内切圆：过圆心作三角形各边的垂线段，构造特殊的边角关系和三角形。三角形外接圆：利用三角形外接圆的性质，如三角形的外心是外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等。利用角度和弧度的关系：圆的与角度密不可分，掌握圆心角、圆周角、同弦角和相交弦角等概念和公式。对于已知的角度信息，需要将其转换为数学中的弧度制，弧度值=度数×π/180。画图辅助：根据题目所给信息，画出相应的圆、直线和角度图形，以便更好地理解和解题。注意图形的准确性和完整性，避免因为图形不准确而导致理解偏差。1．已知，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点D，过点C作射线CP交AB的延长线于点P，且∠BCP=1(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AC=25，tan∠BCP=12．如图，△ABC内接于⊙O，点O在△ABC的内部，直径AE交线段BC于点D，点P是BC延长线上一点，连接PA，满足∠PAC=∠ABC．(1)求证：直线PA是⊙O的切线；(2)若AB=1，AC=5−12，点C为PD3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接DB，AC，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点F，且∠ABD=2∠BDC．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，tan∠BDC=124．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为BD的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA=∠B．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE=2，5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．(1)求证：直线FE是⊙O的切线：(2)若AC=13，BC=10，求DE长．6．如图AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E，(1)①求证：∠DCB=∠CAD；②求证：CD(2)若DE=2，AE=4，求7．如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．

(1)判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠BAC=56°，求∠H和∠BAG的大小；(3)若GF=1，tan∠ABC=2，求OD8．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA=PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．(1)证明：PA是⊙O的切线；(2)证明：DB(3)若BD=4，sin∠ADP=359．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交CB于点D，过点D作OD⊥CB交AB于点O．(1)求证：直线CD是以点O为圆心，OA为半径的⊙O的切线；(2)如果：sin∠CAB=35，BC=310．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，BD是直径，EF切⊙O于点A，交CB的延长线于点E，过点D作DF⊥CD，垂足为D；

(1)求证：四边形EBDF是平行四边形；(2)若FD=52，CD=4，求11．已知，AB是⊙O的直径，点C是半圆AB的中点，点D在⊙O上，且点D与点C在AB的两侧，直线DE是⊙O的切线，点D是切点．

(1)如图1，若DE∥AC，求(2)如图2，若∠BDE=23∠ABC，BD=512．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．(1)求证：∠BAD=∠CAD；(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．