押江苏苏州卷第23-27题（三角函数的应用、反比例函数、圆综合问题、一次函数的应用、二次函数的综合）（解析版）

押江苏苏州卷第23-27题押题方向一：三角函数的应用3年江苏苏州真题考点命题趋势2023年江苏苏州卷第23题三角函数的应用从近年江苏苏州中考来看，解直角三角形的实际应用是相对很固定的考点，试题以解答题形式呈现，整体难度中等；预计2024年江苏苏州卷还将继续重视对三角函数解决实际问题，大家一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。1．（2023·江苏苏州·中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离地面的高度升高了，升高了．【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，∴，

∵，，∴四边形是平行四边形，∴，当时，则，此时，，∴，当时，则，∴，而，，∴点离地面的高度升高了，升高了．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。1．（2024·江苏苏州·一模）如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．(1)求从点到点的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）．【答案】(1)从点到点的过程中上升的高度为米(2)大树的高度为米【分析】（1）过点作，如图所示，由坡度比，设，，根据勾股定理列方程求解即可得到答案；（2）过点作，如图所示，在和中，由三角函数定义列方程求得相关线段关系，再由数形结合，根据代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：过点作，如图所示：斜坡的坡比为（点在同一水平线上），，设，，从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，，在中，，解得，从点到点的过程中上升的高度为米；（2）解：过点作，如图所示：四边形是矩形，则，在中，，，则，解得；在中，，，则，解得；由（1）知，，，则，，，，即，解得，大树的高度为米．【点睛】本题考查测高问题，涉及坡比定义、勾股定理、矩形判定与性质、正切函数值定义、俯角仰角定义、解直角三角形及二次根式运算等知识，熟记相关定义，数形结合，掌握解直角三角形的实际运用是解决问题的关键．2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由；(2)当，时，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用：（1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；（2）过点F作，垂足为H，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．【详解】（1）解：，理由：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴；（2）解：过点F作，垂足为H，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴的长为．3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：）．(1)求点P到地面的高度；(2)当挖掘机挖到地面上的点时，，求．【答案】(1)点到地面的高度为；(2)．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案；（2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案．【详解】（1）解：过点作于H，延长交于，则四边形为矩形，∴，，则，∴点到地面的高度：，即点到地面的高度为；（2）解：由（1）可知，四边形为矩形，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴,∴．4．（2024·江苏苏州·一模）如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形．塔是聚众人之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名．某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：①如图2，测量塔基正八边型的边长；②在地面选取测量点和塔基正八边形的顶、，调整的度数，使得测量点、八边形的顶点以及正八边形的中心在同一条直线上（三点在同一条直线上）；③测量之间的距离；④如图3，测量塔的顶点与地面测量点所在直线与地面形成的夹角．数据收集：通过实地测量，正八边形的边长，地面上两点的距离为，．问题解决：(1)如图2，要使得三点在同一条直线上，应调整的角度，使得的度变为；(2)求塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，）【答案】(1)；(2)塔高约为．【分析】（）利用等腰三角形的性质和领补角的定义即可求解；（）过点作，求出，再利用三角函数即可求解；本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和领补角的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵塔基是正八边形，∴，∵，∴，∴；（2）如图过点作，∵，∴（米），在中，，∴，∴（米）如图，在中，，∴（米），答：塔高约为．押题方向二：反比例函数的综合3年江苏苏州卷真题考点命题趋势2023年江苏苏州卷第24题反比例函数与一次函数从近年江苏苏州中考来看，反比例函数与一次函数在近三年的必考题，重点考查反比例函数与一次函数求表达式与交点问题，考查难度一般；预计2024年江苏苏州卷还将继续重视对反比例函数与一次函数的考查。2022年江苏苏州卷第23题反比例函数与一次函数1．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．

(1)求的值；(2)当为何值时，的值最大?最大值是多少?【答案】(1)，(2)当时，取得最大值，最大值为【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把点代入，∴，解得：；把点代入，解得；（2）∵点横坐标大于点的横坐标，∴点在点的右侧，如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，取得最大值，最大值为．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．【答案】(1)k的值为，的值为6(2)或【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．【详解】（1）解：把代入，得．∴．把代入，得．∴．把代入，得．∴k的值为，的值为6．（2）当时，．∴．∵为x轴上的一动点，∴．∴，．∵，∴．∴或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键反比例函数与相似（位似）、全等问题，一般字母未对齐，故存在分类讨论的情形，纵然这类题型，放在以函数为背景的题型中，与反比例函数结合，相似三角形分类讨论的解题技巧，仍没有发生变化，故掌握了解题方法或解题技巧，受益的不只是一道题，而是一类型题的解决。反比例函数与特殊图形（三角形、四边形）的综合题解题步骤：一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。1．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？【答案】(1)(2)当时，最大值【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质．（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，∴，解得，∴，∵点在反比例函数图像上，∴，∴反比例函数解析式为：；（2）解：∵点C在一次函数的图像上，且点C的横坐标为a，∴点C的纵坐标为，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，当时，最大值．2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)若点C为坐标轴上一点，且满足，求点C的坐标．【答案】(1)4，(2)【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．（1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可．（2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题．【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，．点的坐标为．反比例函数的图象经过点，．反比例函数的解析式为．（2）过点作轴的垂线，垂足为点，，则，．由勾股定理，得．由图象的对称性，可知．又，．点的坐标为．3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B，C．(1)求a、k的值和点C的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)，，(2)8【分析】（1）把点代入直线即可求出a，再把点B坐标代入即可求出k，然后求出点A的坐标，根据点D在x轴上，得到点A与点D点纵坐标相差4个单位长度，根据平行四边形的性质，则点B与点C纵坐标相差4个单位长度，得到点C的纵坐标为2，再代入反比例函数的解析式即可求出横坐标，可得点C坐标；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点M、A、E的坐标，根据平移的性质求出点D的坐标，再根据求解即可．【详解】（1）解：∵在直线上，∴，解得；∵点在上，∴；直线与y轴交于点A，当时，，，∵点D在x轴上，四边形是平行四边形，点D的纵坐标为0，即点A与点D点纵坐标相差个单位长度，点B与点C纵坐标相差4个单位长度，点C的纵坐标为，点在上，∴，∴；（2）解：设直线的解析式为，把和代入，得，解得，∴直线的解析式为，设交x轴于点M，当时，，解得，∴，对于直线，当时，，∴，当时，，∴，∵，，∴点B到C的平移方式是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，∴点A到D的平移方式也是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、平移的性质、函数图象上点的坐标特点以及利用割补法求图形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．（2023·江苏苏州·一模）如图，在中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数的图像经过点．(1)若点是边的中点，求直线和反比例函数的表达式．(2)将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图像于点，交轴于点，若点的纵坐标为，求的值．【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数解析式为(2)8【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式；（2）设，则，根据翻折确定，然后分别确定直线的解析式为：，反比例函数的表达式为：，确定相应的函数值为2时自变量的值，令其相等求解即可．【详解】（1）解：∵是边的中点，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，∴，设直线的解析式为，将点A、B代入得：，解得：，∴直线的解析式为；将点A代入反比例函数得，解得：，∴反比例函数解析式为；（2）设，则，∵边沿边所在直线翻折得，∴，∴，设直线的解析式为，将点A、F代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，令，解得：，将点A代入反比例函数得：，解得：，∴反比例函数的表达式为：，令，解得：，∵直线与反比例函数交于点E，且点E的纵坐标为2，∴，解得：，∴．【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．押题方向三：圆的综合问题3年江苏苏州卷真题考点命题趋势2023年江苏苏州卷第25题圆与三角形相似综合从近年江苏苏州中考来看，圆与三角形相似综合是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年江苏苏州卷还将继续考查圆与三角形相似综合，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年江苏苏州卷第24题圆与三角形相似综合1．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别证明，，从而可得结论；（2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，则，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．(1)求证：为的切线；(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线；方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线；（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得．【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．∵，∴．∵，∴．

∵，∴．∵是的直径，D是的中点，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．方法二：如图2，连接OC，BC．设．∵AB是的直径，D是的中点，∴．∴．∵，∴．

∴．∵，∴．∴．∵AB是的直径，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．（2）解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．

∵，∴．∴．∴．∵G为BD中点，∴．∴，．∴．∴．方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．∵AB是的直径，∴．∵，D是的中点，∴．∵G为BD中点，∴．∴．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。1．（2024·江苏苏州·一模）如图，是的直径，切于，弦．(1)求证：是的切线；(2)设四边形的面积为，的面积为，若，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）接，利用平行线的性质得出，，证明即可；（）过点作，利用三角函数和面积公式即可求解；本题考查圆的切线判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，，∵，∴，∴，在与中∴，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）如图所示，过点作，∵，∴设，，，，，，，∴．2．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点为边上的一个动点，过点作，交于点．连接，是的切线(1)求证：；(2)若，，求直径的长【答案】(1)详见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由平行线的性质结合已知得出，再结合圆周角定理即可得证；（2）连接，并延长和相交于，证明得出，再结合勾股定理计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵是的切线∴，∵是圆的直径，∴，∴，∴；（2）解：连接，并延长和相交于，，∵，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴∵∴，又∵，∴，∵为的直径，∴，∵，∴，∵是的切线∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，设，则，，∵，∴，∴，即．3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，为的平分线．

(1)试判断的形状，并给出证明．(2)若，．①求线段的长．②求的值．【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见详解(2)①；②【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得，由，可得，可证得结论；（2）①为的直径，可得，利用勾股定理即可求得答案；②过点作于点，由是等腰直角三角形，可得，再根据三角函数定义可得，可得，即可求得答案．【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：为的直径，∵为的平分线．，是等腰直角三角形．（2）①为的直径，②过点作如图：

是等腰直角三角形，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，熟练掌握圆的性质是解题关键．4．（2024·江苏苏州·一模）【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．【答案】[问题初探]见解析；[拓展研究]见解析；[解决问题]【分析】[问题初探]根据已知得出，进而可得，根据圆内接四边形对角互补，进而得出，等量代换即可得证；[拓展研究]在上取点，使得，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而即可得证；[解决问题]过点作于点，得出为的中点，根据（2）的结论可得，进而根据，可得，进而勾股定理，即可求解．【详解】[问题初探]证明：∵，∴∴∴∴∴；[拓展研究]证明：在上取点，使得，连接，∵是的中点，∴，则∵∴又∴∴∵∴∴，[解决问题]过点作于点，∵∴为的中点，由（2）可得∵的周长为，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．押题方向四：一次函数的应用3年江苏苏州卷真题考点命题趋势2023年江苏苏州卷第26题一次函数的应用从近年江苏苏州中考来看，一次函数的实际问题的综合是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年江苏苏州卷还将继续考查一次函数的实际问题的综合，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年江苏苏州卷第25题方程、不等式组与一次函数的综合1．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：

(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）(2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若，求的值．【答案】(1)由负到正(2)(3)当或时，【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解．【详解】（1）∵，当滑块在点时，，，当滑块在点时，，，∴的值由负到正．故答案为：由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，∵，∴，∴∴是的一次函数，∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；∴当时，，∴，∴，∴滑块从点到点所用的时间为，∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，∴滑块从点到点的滑动时间为，∴滑块返回的速度为，∴当时，，∴，∴，∴与的函数表达式为；（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，，解得：；②当时，，解得：，综上所述，当或时，．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．2．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元(2)正整数m的最大值为22【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．【详解】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．根据题意，得解方程组，得答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据题意，得．解这个不等式，得．设获得的利润为w元，根据题意，得．∵，∴w随x的增大而减小．∴当时，w的最大值为．根据题意，得．解这个不等式，得．∴正整数m的最大值为22．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．待定系数法求一次函数的表达式；利用不等式，不等式组求自变量的范围；利用一次函数的单调性求出自变量范围里的最大值或最小值。1．（2024·江苏苏州·一模）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．(1)求树苗基地每捆种树苗的价格．(2)树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；（2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，先求得，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．【详解】（1）（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，得解得：经检验，是原方程的解，且符合题意，答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆；（2）解：设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，∵解得：∵，随的增大而减小，∴当时，取得最小值，最小值为2．（2023·江苏苏州·一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．【答案】(1)种笔记本每本12元，种笔记本每本15元(2)20【分析】（1）设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，计算可得的值，进而可得的值；（2）设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，可得，设获得的利润为元，由题意得，，由一次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为，令，求解满足要求的解即可．【详解】（1）解：设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，解得，，∴，∴种笔记本每本12元，种笔记本每本15元；（2）解：设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，解得，，∴，设获得的利润为元，由题意得，，，随的增大而减小，当时，的值最大，最大值为，由题意得，解得，，为正整数，的最小值为20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．3．（2023·江苏苏州·模拟预测）周日上午，小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家5千米的新华书店1小时后，小聪爸爸从家里出发，沿同一条路以25千米/小时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家中．两人离家的路程y（千米）与小聪所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)求小聪骑自行车的速度及小聪在新华书店停留的时间．(2)求小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．(3)问上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米？【答案】(1)小聪骑自行车的速度是10千米/小时，小聪在新华书店停留的时间为1.1小时；(2)(3)上午时或时，小聪爸爸离家路程为千米【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪骑自行车的速度及小聪在新华书店停留的时间；（2）根据函数图象中的数据和题意，可以得到小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据（2）中的结果和图象，可以得到上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．【详解】（1）由图象可得，小聪骑自行车的速度为：（千米/小时），小聪在新华书店停留的时间为（小时），即小聪骑自行车的速度是10千米/小时，小聪在新华书店停留的时间为1.1小时；（2）小聪爸爸从书店返回家中用的时间为：（小时），故点D的坐标为，设小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式为，，解得，，即小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式是；（3）由（2）知，小聪爸爸从书店返回家中用的时间为0.2小时，（时），（时），故上午9.1时或9.7时，小聪爸爸离家路程为2.5千米．4．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表：型利润型利润甲店乙店(1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围；(2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？【答案】(1)(2)当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件．【分析】此题主要考查了一次函数的应用；得到分配给甲乙两店的不同型号的产品的数量是解决本题的突破点；得到总利润的关系式是解决本题的关键；（1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围；（2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据a的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可．【详解】（1）解：分配给甲店型产品件，则分配给甲店型产品件，分配给乙店型产品件，分配给乙店型产品件，，，，；（2）由题意得：，即，，．∴，函数随的增大而增大，当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件押题方向二：二次函数综合探究3年江苏苏州真题考点命题趋势2023年江苏苏州卷第27题二次函数综合问题从近年江西中考来看，二次函数图形和性质综合问题压轴主要考查二次函数的单调性与最值，试题以解答题压轴形式呈现，难度较高；预计2024年江西卷还将继续重视对二次函数图形和性质综合问题的考查。2022年江苏苏州卷第26题二次函数综合问题1．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．

(1)求点的坐标；(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答；（2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．【详解】（1）解：令，则有：，解得：或，∴．（2）解：∵抛物线过∴抛物线的对称轴为，设，∵，∴,如图：连接，则，∴，∴切线为边长的正方形的面积为，过点P作轴，垂足为H，则：，∴∵，∴，

假设过点,则有以下两种情况：①如图1：当点M在点N的上方，即

∴，解得：或，∵∴；②如图2：当点M在点N的上方，即

∴，解得：，∵∴；综上，或．∴当不经过点时，或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．【详解】（1）当时，．解方程，得，．∵点A在点B的左侧，且，∴，．当时，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如图1，连接AE．∵，∴，．∴，，．∵点A，点B关于对称轴对称，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．1.二次函数（含参）最值讨论技巧：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0为例进行讨论）。图1图2图3图4图51）如图1，当x的取值为全体实数时：当时，y取最小值，最小值ymin=，无最大值。2）如图2，当时：当时，y取最小值，最小值为ymin=ax22+bx2+c；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax12+bx1+c。3）如图3，当且时：当时，y取最小值，最小值为ymin=；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax12+bx1+c。4）如图4，当且时：当时，y取最小值，最小值为ymin=；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax22+bx2+c。5）如图4，当时：当时，y取最小值，最小值为ymin=ax12+bx1+c；当时，y取最大值，最大值为ymax=ax22+bx2+c。1．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求面积的最大值；(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，面积有最大值，为(3)、或【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；（3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线，对称轴为，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，，，则，解得，，，将代入得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：由得：，设直线：，将，代入得，解得，直线：，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；当在轴之间时，如图所示：，，，，，抛物线开口向下，当时，有最大值，为；当在轴右边时，过作轴，如图所示：，，，，对称轴为，，抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；，当时，面积有最大值，为；（3）解：由（1）知，当时，，解得或，，当在上方，即时，如图所示：，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；由（1）（2）可知，，，且，，当时，，，，即，解得（舍去）或；当时，，，，即，解得（舍去）或（舍去）；当在下方，即时，如图所示：，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；由（1）（2）可知，，，且，，当时，，，，即，解得（舍去）或；当时，，，，即，解得（舍去）或；综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．2．（2024·江苏苏州·一模）如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上．(1)若点的坐标为①求二次函数图像顶点坐标；②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由；(2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围；(3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围．【答案】(1)①②不相交，理由见解析(2)(3)【分析】（1）①将A点坐代入解析式直接求出；②求出点C坐标，代入横坐标，判断函数值是否等于点C的纵坐标即可．（2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题．（3）对应的函数的最小值为，即点P的纵坐标的值为，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果确定m的范围．【详解】（1）解：①把代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为：，∴，∴抛物线的顶点坐标为；②∵正方形的边长为1，且，∴，∴∴点D的坐标为，点C的坐标为当时，，所以，二次函数图像与边不相交；（2）解：如图，∵A点的横坐标为m，正方形边长为1，∴，，，，，∵，解得：，∵，解得：，综上所述，．（3）解：∵对应的函数的最小值为，∴，∴．∴，由图象可知点P不在y轴上，∴，∴由（2）可知，且，解得．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利用（2）的结论，转化为不等式确定自变量取值范围．3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图①，抛物线：与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴的负半轴交于点．(1)求抛物线的顶点的坐标．(2)如图②，把抛物线以1个单位长度/秒的速度向左平移得到抛物线，同时以2个单位长度/秒的速度向下平移得到，当抛物线的顶点落在之内时，设平移的时间为秒．①求的取值范围；②若抛物线与轴交于点，是否存在这样的，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①，②不存在这样的的值，理由见解析【分析】（1）把抛物线：转化成顶点式即可；（2）①由抛物线：可知，，，求得所在的直线由，则所在的直线为：，抛物线的顶点代入可得，同理可求得在上时，求得，进而求得的取值．②通过三角形相似求得的值，然后由求得抛物线的解析式，求得的坐标，进而根据的长，求得的值，再与①中的取值比较来看解得．【详解】（1）解：抛物线：，∴．（2）①过点轴，且，交轴于，对于，当时，或，当时，，∴，，，则，，，，∵，，当运动到时，点还没运动到，当运动到时，点还没运动到，∴抛物线的顶点经过边进入之内，经过边移出外；设直线的解析式为：，将，代入可得，，解得，∴所在的直线为：，所在的直线为：，∴，代入，得；解得：，同理，直线所在直线，所在直线，当在直线上时，，解得，∴；②不存在这样的的值，理由如下：记与轴的交点为，假设存在使得，则，，∵，；∴，∴，∴，