备战2024年高考数学一轮复习第十、十一章及选修4系列

课件园PAGE第十章算法、统计与概率第1课时算法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(对应学生用书（文）145～147页,（理）151～153页))考情分析考点新知①算法初步是高中数学新课程标准中新添加的内容，高考对本章的考查主要以填空题的形式出现，单独命题以考查考生对流程图的识别能力为主，对算法语言的阅读理解能力次之，考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大.②算法可结合在任何试题中进行隐性考查，因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课标的基本要求，常见的与其他知识的结合有分段函数、方程、不等式、数列、统计等知识综合，以算法为载体，以算法的语言呈出，实质考查其他知识．①了解算法的含义、算法的思想.②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、选择、循环.③理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.1.(必修3P37测试1改编)阅读程序框图，若输入的a，b，c分别为14，6，20，则输出的a，b，c分别是________．答案：20，14，6解析：该程序框图的作用是交换a，b，c的值，逐一进行即可．2.(必修3P37测试3改编)某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为________．ReadReadxIfx≤0Theny←x＋2Elsey←log2xEndIfPrinty答案：8解析：所给算法伪代码的意义是求函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,log2x，x>0))的值，当输出y的值为3，若输入的x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1不合，舍去；若输入的x>0，则log2x＝3，解得x＝8.综上所述，输入x的值为8.3.(2013·连云港期末)下图是一个算法流程图，若输入x的值为－4，则输出y的值为________．(第3题图)答案：2解析：算法流程图的运行过程如下：条件YYYNx－47412输出故输出的y的值为2.4.(必修3P25习题7改编)阅读如图所示的伪代码，若使这个算法执行的是－1＋3－5＋7－9的计算结果，则a的初始值x＝________．S←0a←xForIFrom1To9Step2S←S＋a×Ia←a×(－1)EndForPrintS(第4题图)答案：－1解析：根据算法的循环结构知循环体第一次被执行后的结果应为0＋(－1)，故初始值x＝－1.(第5题图)5.(2013·南通期末)已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________．答案：eq\f(3,8)解析：由流程图知，当输入x时，各次循环输出的结果分别是2x＋1，2(2x＋1)＋1＝4x＋3，2(4x＋3)＋1＝8x＋7，此时退出循环．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x＋7≥55，,1≤x≤9，))解得6≤x≤9，故输出的x不小于55的概率为P＝eq\f(9－6,9－1)＝eq\f(3,8).1.算法一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．2.流程图流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．3.构成流程图的图形符号及其作用(1)起止框用“”表示，是任何流程图不可缺少的，表明算法的开始或结束；(2)输入、输出框用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内；(3)处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内；(4)当算法要求你对两个不同的结构进行判断时，需要将实现判断的条件写在判断框内，判断框用“”表示．4.基本的算法结构(1)算法都可以由顺序结构、选择结构、循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套表达出来．(2)流程图可以方便直观地表示三种基本的算法结构．5.伪代码伪代码是介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法．6.赋值语句用符号“x←y”表示，将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或表达式．7.输入语句、输出语句(1)输入语句：“Reada，b”表示输入的数据依次送给a，b．(2)输出语句：“Printx”表示输出运算结果x．8.条件语句条件语句的一般形式是IfAThenBElseCEndIf其中A表示判断的条件，B表示满足条件时执行的操作内容，C表示不满足条件时执行的操作内容，EndIf表示条件语句结束．9.循环语句循环语句一般有三种：“While循环”“Do循环”“For循环”．(1)当型循环一般采用“While循环”描述循环结构．格式：eq\x(\a\al(While条件,循环体,EndWhile))先判断条件是否成立，当条件成立时，执行循环体，遇到EndWhile语句时，就返回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过程，若不成立，则退出循环．当型语句的特点是先判断，后执行．(2)直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构．格式：eq\x(\a\al(Do,循环体,Until条件,EndDo))先执行循环体部分，然后再判断所给条件是否成立．如果条件不成立，那么再次执行循环体部分，如此反复，直到所给条件成立时退出循环．直到型语句的特点是先执行，后判断．(3)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．格式：ForIfrom初值to终值step步长循环体Endfor功能：根据For语句中所给定的初值、终值和步长，来确定循环次数，反复执行循环体内各语句．通过For语句进入循环，将初值赋给变量I，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个语句，遇到EndFor，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体．这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环．注：①只有当循环次数明确时，才能使用本语句；②Step可以省略，此时默认步长为1；③步长可以为正、负，但不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，循环将不能执行．步长为负时，要求终值必须小于初值．[备课札记]题型1流程图的算法功能例1(2013·江苏)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．答案：3解析：根据流程图得，当n＝1时，a取初值2，进入循环体，a＝3×2＋2＝8，n＝1＋1＝2；由a<20进行第二次循环，a＝3×8＋2＝26，n＝2＋1＝3；此时a<20不成立，退出循环，从而最终输出n＝3.eq\a\vs4\al(变式训练)(2013·扬州调研)如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为________．答案：49解析：算法流程图在循环体中运行过程如下：条件YYYYYYYNs0+1=11+3=44+5=99+7=1616+9=2525+11=3636+13=49输出i1+2=33+2=55+2=77+2=99+2=1111+2=1313+2=1515判断框中的横线上可以填入的最大整数为49.题型2算法伪代码的算法功能例2(2013·南通一模)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为________．S→0ForIFrom1to28Step3S←S＋IEndForPrintS答案：145解析：由算法伪代码知，此算法为计算首项为1，公差为3的等差数列的前10项的和，所以S＝1＋4＋…＋28＝eq\f(10（1＋28）,2)＝145.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013苏州调研)如下一段伪代码中，Int(x)表示不超过x的最大整数，若输入m＝6，n＝4，则最终输出的结果n为________．Readm，nWhileeq\f(m,n)≠Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))c←m－n×Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))m←nn←cEndWhilePrintn答案：2解析：输入m＝6，n＝4时，eq\f(m,n)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，而Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))＝Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4)))＝1，显然eq\f(m,n)≠Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))，进行循环体，执行c＝m－n×Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))＝6－4×1＝2，并将m←4，n←2；从而eq\f(m,n)＝eq\f(4,2)＝2，Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))＝Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))＝2，判断条件eq\f(m,n)＝Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))，退出循环，故输出n＝2.题型3算法与相关知识的交汇例3如图是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入ai＝sineq\f(i,11)π(i∈N*)，则输出的i的值是________．答案：22解析：根据流程图所示的算法，可知：该程序的作用是计算：S＝a1＋a2＋…＋an＝sineq\f(π,11)＋sineq\f(2π,11)＋…＋sineq\f(nπ,11)，并判断满足条件S≤0的最小整数i－1的值．结合三角函数的正弦线可得：S＝sineq\f(π,11)＋sineq\f(2π,11)＋…＋sineq\f(20π,11)>0，S＝sineq\f(π,11)＋sineq\f(2π,11)＋…＋sineq\f(21π,11)＝0，故满足条件的i值为22，故答案为22.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013·合肥模拟改)如图所示，算法流程图输出的n为________．答案：13解析：由框图可知，该程序为求数列an＝eq\f(1,2n－13)的前n项和大于零的n的最小值，由an的形式可知：S12＝0，a13>0，S13>0，所以输出的n值为13.1.(2013·盐城二模)如图，该程序运行后输出的结果为________．(第1题图)答案：16解析：由流程图知，在循环体中执行运算：第一循环：b＝2，a＝2；第二循环：b＝22＝4，a＝3；第三循环：b＝24＝16，a＝4；不满足条件a<4，退出循环，故输出b＝16.2.如图，Ni表示第i个学生的学号，Gi表示第i个学生的成绩，已知学号在1～10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是________.(第2题图)答案：8，361解析：本题流程图表示的算法功能是筛选成绩大于等于360分的学生，打印出他们的学号和成绩，所以打印出的第5组数据是8，361.3.(2013·北京(改))执行如图所示的程序框图，输出的S＝________．(第3题图)答案：eq\f(13,21)解析：执行第一次循环时S＝eq\f(12＋1,2×1＋1)＝eq\f(2,3)，i＝1；第二次循环S＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋1,2×\f(2,3)＋1)＝eq\f(13,21)，i＝2，此时退出循环．故输出S＝eq\f(13,21).4.如图是一个算法流程图，则输出的k＝________．(第4题图)答案：5解析：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环kk2－5k＋4循环前00第一圈是10第二圈是2－2第三圈是3－2第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5∴最终输出结果k＝5.1.(2013·苏锡常一模)根据下图所示的伪代码，输出的结果T为________．T←1I←3WhileI＜20T←T＋ⅠI←I＋2EndWhilePrintT答案：100解析：图中伪代码表示的算法是T＝1＋3＋5＋…＋19＝eq\f(10（1＋19）,2)＝100，所以输出T＝100.2.定义一种新运算“”：S＝ab，其运算原理为如图的程序框图所示，则式子54－36＝________．答案：1解析：由框图可知S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b（a＋1），a≤b，,a（b＋1），a>b，))从而可得54－36＝5×(4＋1)－(3＋1)×6＝1.3.(2013·西亭期中)如下给出的是一个与定义在R上f(x)＝x3＋sinx相关的算法语言，一个公差不为零的等差数列{an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0，请写出一个符合条件的数列{an}的通项公式_______．n←1S←0Whilei≤10x←anS←S＋f(x)n←n＋1EndWhliePrintS答案：an＝n－5.5等(答案不唯一)解析：易见f(x)是奇函数，而由题意，要使f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝0，可考虑f(ai)＋f(a11－i)＝0(i＝1，2，3，4，5)，由于{an}是等差数列，因而又可考虑ai＋a11－i＝0(i＝1，2，3，4，5)，如an＝2n－11，an＝n－5.5等(答案不唯一)．4.货物运输价格P(元)与运输距离s(km)有关，按下列公式定价(P为每吨货物每千米的运价)P＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20，s＜100，,17.5，100≤s＜200，,15，200≤s＜300，,12.5，300≤s＜500，,10，s≥500.))现输入s和货物的吨数ω，画出计算总运费的流程图．解：流程图如图所示：1.求解伪代码问题的基本思路关键是理解基本算法语言．在一个赋值语句中，只能给一个变量赋值，同一个变量的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次为准．对于条件语句要注意准确判断和语句格式的完整性理解．对于循环语句，要注意是“N”循环，还是“Y”循环，弄清何时退出循环．2.注意算法与其他知识的综合交汇，特别是用流程图来设计数列的求和是高考的常考题型．数列的求和计算问题是典型的算法问题，要求能看懂流程图和伪代码，能把流程图或伪代码转化为数列问题，体现了化归的思想方法．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.)

第2课时统计初步(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(对应学生用书（文）148～149页,（理）154～155页))考情分析考点新知统计部分重点考查数据收集、处理的基本能力．抽样方法在高考中多为基础题，常以填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、解决实际问题的能力，考查热点为分层抽样、系统抽样．①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.1.(原创)为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5的汽车检查，这种抽样方法称为________．答案：系统抽样解析：由于这种抽样方法采用抽取车牌末位数字为5的汽车检查，可以看成是将所有的汽车车牌号分段为若干段(一个车牌末位数字从0到9为一段)，每一段抽取一个个体，因此它符合系统抽样的特征，故答案为系统抽样．2.(必修3P47练习1改编)为了解某校一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中随机剔除个体的数目是____________．答案：2解析：1252除以50的余数就是总体中需要随机剔除个体的数目．3.(必修3P49练习3改编)某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为________．答案：64解析：由题意，应采用分层抽样，则高中二年级被抽取的人数为320×eq\f(200,400＋320＋280)＝64.4.(必修3P52习题2改编)某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为23，则第8组抽出的号码应是________．答案：38解析：由题意易见系统抽样的间隔为5，设第一段中抽取的起始的个体编号为l，由第5组抽出的号码为23得l＋4×5＝23，所以l＝3，故第8组抽出的号码是3＋7×5＝38.5.(必修3P50例3改编)某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000家，其中农民家庭1800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法的是________．(填序号)①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．答案：①②③解析：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种方法．1.简单随机抽样(1)定义从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)分类简单随机抽样eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(抽签法，,随机数表法Ｗ.))2.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为：(1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号；(2)将编号按间隔k分段，当eq\f(N,n)是整数时，k＝eq\f(N,n)；当eq\f(N,n)不是整数时，从总体中剔除若干个个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时k＝eq\f(N′,n)，并将剩下的总体重新编号；(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出．3.分层抽样当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．[备课札记]题型1简单随机抽样例1总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481答案：01解析：依题意，第一次得到的两个数字为65，由于65>20，将它去掉；第二次得到的两个数字为72，由于72>20，将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于08<20，说明号码08在总体内，将它取出；继续向右读，依次可以取出02，14，07，02；但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个．再选一个就是01.故选出来的第5个个体是01.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)现要从20名学生中抽取5名进行问卷调查，请按正确的顺序表示抽取样本的过程：________(填序号)．①编号：将20名学生按1到20进行编号；②装箱：将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；③抽签：从箱中依次抽出5个号签；④制签：将1到20这20个号码写在形状、大小完全相同的号签上；⑤取样：将与号签号码相同的5个学生取出．答案：①④②③⑤解析：由题意易知，本题的抽样方法是抽签法，根据抽样步骤知，正确的顺序为①④②③⑤.题型2系统抽样例2下列抽样中是系统抽样的有__________．(填序号)①从标有1～15的15个球中，任取3个作为样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样；②在用传送带将工厂生产的产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈．答案：①②④解析：系统抽样实际上是一种等距抽样，只要按照一定的规则(事先确定即可以)．因此在本题中，只有③不是系统抽样，因为事先不知道总体，不能保证每个个体按事先规定的概率入样．eq\a\vs4\al(变式训练)将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为________．答案：25，17，8解析：根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为eq\f(600,5)＝12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．题型3分层抽样例3某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生523xy男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________．答案：99解析：由题设可知eq\f(x,3000)＝0.17，∴x＝510.∴高三年级人数为y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为eq\f(300,3000)×990＝99.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013·石家庄检测)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．答案：3720解析：由系统抽样知识可知，将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段，且分段的间隔相等．在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．由题意，第5组抽出的号码为22，因为2＋(5－1)×5＝22，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋(8－1)×5＝37.由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取40×50%＝20(人)．1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．答案：15解析：分层抽样又称分类抽样或类型抽样．将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性．因此，由50×eq\f(3,3＋3＋4)＝15知应从高二年级抽取15名学生．2.(2013·连云港调研)某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．答案：19解析：按系统抽样方法，分成4段的间隔为eq\f(52,4)＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．3.(2013·湖南(文)改)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．答案：13解析：(解法1)由分层抽样得eq\f(n,120＋80＋60)＝eq\f(3,60)，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.4.(2013·潍坊模拟)某高中在校学生有2000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的eq\f(2,5).为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．答案：36人解析：根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×eq\f(3,5)＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×eq\f(3,2＋3＋5)＝36.1.(2013·金湖中学检测)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为________．答案：70解析：由题意设A、B、C三种产品的数量分别为3k、4k、7k，则eq\f(15,3k)＝eq\f(n,3k＋4k＋7k)，解得n＝70.2.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后，再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名学生上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________．答案：400解析：根据抽样的等可能性，设高一年级共有x人，则eq\f(80,x)＝eq\f(20,100)，∴x＝400.3.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________.答案：10解析：系统抽样也称等距抽样，分段间隔为eq\f(960,32)＝30，由于第一组抽到的号码为9，所以后面各组抽到的号码成公差为30的等差数列，即第k组抽到的号码为9＋30(k－1)＝30k－21，做问卷B的编号应满足451≤30k－21≤750，解得15eq\f(11,15)≤k≤25eq\f(7,10)，由于k∈N，所以k＝16，17，…，25，这10组中每组抽一个个体，共抽到10个，故做问卷B的人数为10.4.下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：①本村人口：1200人；户数300户，每户平均人口数4人②应抽户数：30③抽样间隔：eq\f(1200,30)＝40④确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12⑤确定第一样本户：编号为12的户为第一样本户⑥确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户⑦……(1)该村委采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试改之；(3)何处用的是简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔为eq\f(300,30)＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2(假设)．确定第一样本户：编号为02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户；……(3)确定随机数字：取一张人民币，取其末位为2，这是简单随机抽样．1.正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．2.实施简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法．3.系统抽样也叫等距抽样，如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝eq\f(N,n)，否则需随机地从总体中剔除余数，然后重新分段进行系统抽样．4.分层抽样的关键是按“比例”，每层抽取的个体可以不一样多，按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量，若按比例计算所得的个数不是整数，可作适当的近似处理．5.注意三种抽样方法的比较．无论采用何种抽样方法，必须保证在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.)[备课札记]

第3课时统计初步(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(对应学生用书（文）150～152页,（理）156～158页))考情分析考点新知用样本的频率分布、特征数来估计总体的分布，在高考中常以填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生对基础知识的掌握程度以及一定的读图能力．热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征．①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本平均数的意义和作用，会计算样本平均数、方差和标准差.③会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.④会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.1.(必修3P55练习2改编)一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：组别[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542则样本在(20，50]上的频率为________．答案：0.6解析：本题考查样本的频率运算．据表知样本分布在(20，50]的频数3＋4＋5＝12，故其频率为eq\f(12,20)＝0.6.2.(必修3P61练习2改编)某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间(单位：min)用茎叶图表示(如图)，图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为________min.6457725801答案：72解析：由茎叶图知平均训练时间为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(64＋65＋67＋72＋75＋80＋81)＝72.3.(必修3P68练习4改编)下表是一个容量为20的样本数据分组后的频数分布，若利用组中值计算本组数据的平均值eq\o(a,\s\up6(－))，则eq\o(a,\s\up6(－))＝________．数据[10.5，13.5)[13.5，16.5)[16.5，19.5)[19.5，22.5)频数4664答案：16.5解析：eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(12×4＋15×6＋18×6＋21×4)＝eq\f(1,20)×330＝16.5.4.(必修3P71练习1改编)某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为________．答案：0.032解析：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数＝eq\f(9.7＋9.9＋10.1＋10.2＋10.1,5)＝10，方差＝eq\f(1,5)(0.09＋0.01＋0.01＋0.04＋0.01)＝0.032.故答案为0.032.5.小波一星期的总开支分布图如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．答案：3%解析：由图②可知，鸡蛋占食品开支的比例为eq\f(30,30＋40＋100＋80＋50)＝10%，结合图①可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为30%×10%＝3%.1.绘制频率分布表的步骤(1)求全距，决定组距和组数，组距＝eq\f(全距,组数)．(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．2.作频率分布直方图的方法(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系；(2)把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的eq\f(频率,组距)，这样得出一系列的矩形．(3)每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．3.茎叶图茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的个位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是要样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．4.平均数、标准差和方差设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x－，则x－＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，称s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1（xi－x－,n,))2为这个样本的方差，称其算术平方根s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1（xi－x－,n,)）2)为这个样本的标准差．[备课札记]

题型1频率分布直方图及其应用例1(2013·南京二模)根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定(试行)》，AQI共分为六级：(0，50]为优，(50，100]为良，(100，150]为轻度污染，(150，200]为中度污染，(200，300]为重度污染，300以上为严重污染.2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为________．答案：12解析：空气质量优、良的AQI指数小于等于100，由频率分布直方图知，其频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以该市11月份中30天的空气质量优、良的总天数为0.4×30＝12.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013·常州高级中学模拟)根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100mL；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100mL.某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：血液酒精含量(单位：mg/100mL)0～2020～4040～6060～8080～100人数18011522根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车非醉酒驾车”发生的频率为________．答案：0.09解析：由统计表可知，“饮酒驾车非醉酒驾车”发生的频数为11＋5＋2＝18，所以“饮酒驾车非醉酒驾车”发生的频率为eq\f(18,200)＝0.09.题型2样本的数字特征例2(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．答案：2解析：易得乙较为稳定，乙的平均值为：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(89＋90＋91＋88＋92,5)＝90.方差为：S2＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]/5＝2.eq\a\vs4\al(变式训练)已知2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是3，则x1，x2，x3，…，xn的标准差为________．答案：eq\f(\r(3),2)解析：设x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，所以2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是4s2，由题意，4s2＝3，所以s＝eq\f(\r(3),2).题型3统计知识的综合应用例3(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．答案：10解析：由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，又s2＝4，eq\o(x,\s\up6(－))＝7，所以[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]/5＝4，所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，这五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013·启东中学训练)在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组(即第五组)的频数为_______．答案：360解析：设前五个长方形的面积成等差数列的公差为d，则9个小长方形的面积分别为0.02，0.02＋d，0.02＋2d，0.02＋3d，0.02＋4d，0.02＋3d，0.02＋2d，0.02＋d，0.02，而小长方形的面积就是该组数据的频率，从而有9个小长方形的面积和为1，可得2(4×0.02＋eq\f(4×3,2)d)＋0.02＋4d＝1，解得d＝eq\f(41,800).所以第5组的频率为0.02＋4×eq\f(41,800)＝eq\f(9,40)，故第5组的频数为1600×eq\f(9,40)＝360.1.(2013·盐城三模)下图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是________．889990112答案：eq\f(12,7)解析：将茎叶图中的每个数据减去90，得7个数据为－2，－1，－1，0，1，1，2，易得平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝－2－1－1＋0＋1＋1＋2＝0，所以它们的方差为s2＝eq\f(1,7)[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋12＋22]＝eq\f(12,7).这也是原数据的方差．2.某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若(130，140]分数段的人数为90人，则(90，100]分数段的人数为________．答案：810解析：根据直方图，组距为10，在(130，140]内的eq\f(频率,组距)＝0.005，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90，100]内的eq\f(频率,组距)＝0.045，所以频率为0.45，设该区间的人数为x，则由eq\f(x,1800)＝0.45，得x＝810，即(90，100]分数段的人数为810.3.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是________．答案：70，50解析：易得eq\o(x,\s\up6(－))没有改变，eq\o(x,\s\up6(－))＝70，而s2＝eq\f(1,48)·[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋502＋1002＋…＋xeq\o\al(2,48))－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝75，s′2＝eq\f(1,48)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋802＋702＋…＋xeq\o\al(2,48))－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝eq\f(1,48)[(75×48＋48eq\o(x,\s\up6(－))2－12500＋11300)－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝75－eq\f(1200,48)＝75－25＝50.4.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)依题意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73分．(3)数学成绩在[50，60)的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)的人数为100×0.4×eq\f(1,2)＝20，数学成绩在[70，80)的人数为100×0.3×eq\f(4,3)＝40，数学成绩在[80，90)的人数为100×0.2×eq\f(5,4)＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.1.(2013·淮安一模)已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是________．答案：4解析：由题意，eq\f(1,5)(121＋127＋123＋a＋125)＝124，解得a＝124，故方差为s2＝eq\f(1,5)[(－3)2＋32＋(－1)2＋02＋12]＝4.2.(2013·上海文)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为________．答案：78解析：平均成绩＝eq\f(40,100)·75＋eq\f(60,100)·80＝78.3.(2013·山东文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x91则7个剩余分数的方差为________．答案：eq\f(36,7)解析：由题意，0≤x≤9，故去掉的一个最低分为87，最高分为99，则有eq\f(1,7)(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91)＝91，解得x＝4.所以剩余7个数的方差s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2＋2(94－91)2]＝eq\f(36,7).4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：2.93.0服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药.解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎2、3上，而B药疗效的试验结果有eq\f(7,10)的叶集中在茎0、1上，由此可看出A药的疗效更好．1.总体分布反映的是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不清晰的，所以用样本的分布估计总体分布，解频率分布表问题的关键是正确理解频率分布表，注意区分频数、频率的意义．2.对于每个个体所取不同数值较少的个体，常用条形图表示其样本分布，而对于每个个体所取不同数值较多或无限的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布．解频率分布直方图问题，识图掌握信息是解决问题的关键，特别要注意纵、横坐标代表的意义及单位．3.描述数据的数字特征的有平均数、众数、中位数、方差等，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与其平均数的离散程度．解题时重在理解概念、公式并正确进行计算．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（A）第3课时（见活页）.)[备课札记]

第4课时古典概型(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(对应学生用书（文）153～154页,（理）159～160页))考情分析考点新知概率的考查主要考查古典概型，计数的方法局限于枚举法，因而命题者更趋向于考查概率的基本概念．①了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的区别，知道根据概率的统计定义计算概率的方法.②理解古典概型的特点及其概率计算公式.③会计算一些随机事件上所含的基本事件及事件发生的概率.1.(必修3P94练习3改编)下列事件：①若x∈R，则x2<0；②没有水分，种子不会发芽；③抛掷一枚均匀的硬币，正面向上；④若两平面α∥β，mα且nβ，则m∥n.其中________是必然事件，________是不可能事件，________是随机事件．答案：②①③④解析：对x∈R，有x2≥0，①是不可能事件；有水分，种子才会发芽，②是必然事件；抛掷一枚均匀的硬币，“正面向上”既可能发生也可能不发生，③是随机事件；若两平面α∥β，mα且nβ，则m∥n或异面，④是随机事件．2.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．答案：eq\f(1,2)解析：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.(必修3P103练习3改编)袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为________．答案：eq\f(1,3)解析：将3个球编号，记1个白球1号，2个黄球分别为2号、3号，则先后两次摸出两球共有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共6种等可能结果，其中两次都是黄球的有(2，3)，(3，2)两种结果，故两次都是黄球的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为________．1892122793003答案：0.4解析：由茎叶图可知数据落在区间[22，30)的频数为4，故数据落在[22，30)的频率为eq\f(4,10)＝0.4，故数据落在区间[22，30)内的概率为0.4.5.(必修3P103练习5改编)已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________．答案：eq\f(8,15)解析：将6幅名画编号为1，2，3，…，6，不妨设其中的5，6号是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个基本事件，其中买入的两幅画中恰有一幅画是赝品有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}等8个基本事件，故所求的概率为eq\f(8,15).1.事件(1)基本事件：在一次随机试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2.古典概型的特点(1)所有的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件的发生都是等可能的．3.古典概型的计算公式如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率P(A)＝eq\f(m,n)，即P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件数,试验的基本事件总数).[备课札记]题型1随机事件的频率与概率例1(必修3P91习题3改编)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194492178452击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.904.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291016进球次数m6897712进球频率m/n(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？解：(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)＝0.75，eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)＝0.8，eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)＝0.75，eq\f(7,9)≈0.78，eq\f(7,10)，eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)＝0.75.(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在eq\f(3,4)的附近摆动，故可知该运动员进球的概率为eq\f(3,4).题型2简单的古典概型问题例2袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n的球质量为n2－6n＋12(单位：g)，如果从这些球中不放回的任意取出2个球(不受重量、编号的影响)，求取出的两球质量相等的概率．解：(解法1)不放回的任意取出2个球可理解为先后取出两球，若记两次取出的球编号为有序数对(m，n)，其中m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，由于第一次取出的球有6种等可能结果，且对每一种结果，第二次都有5种等可能的结果，故共有6×5＝30个基本事件(可用坐标法表示)．设编号分别为m与n(m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，共4种情形．故所求事件的概率为eq\f(4,30)＝eq\f(2,15).(解法2)不放回的任意取出2个球也可理解为无序地一起取出两球，则取出的两球的序号集合为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1，5)，(2，4)，共2种情形．故所求事件的概率为eq\f(2,15).eq\a\vs4\al(变式训练)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率．解：(解法1)(有序模式)设试验中先取出x，再取出y(x，y＝1，2，3，4，5，6)，试验结果记为(x，y)，则基本事件列举有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共30种结果，事件X结果有(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)，故P(X)＝eq\f(4,30)＝eq\f(2,15).(解法2)(无序模式)设任取两种添加剂记为(x，y)(x，y＝1，2，…，6)，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，…，(5，6)共15种．事件X＝6取法有(1，5)，(2，4)，故P(X)＝eq\f(2,15).题型3古典概型与统计的综合例3(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样品的一等品中，随机抽取两件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10)，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013·广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：g)的频数分布表如下：分组(重量)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有一个的概率．解：(1)重量在[90，95)的频率＝eq\f(20,50)＝0.4.(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80，85)的个数＝eq\f(5,5＋15)×4＝1.(3)设在[80，85)中抽取的一个苹果为x，在[95，100)中抽取的三个苹果分别为a、b、c，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)6种情况，其中符合“重量在[80，85)和[95，100)中各有一个”的情况共有(x，a)，(x，b)，(x，c)3种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在[80，85)和[95，100)中各有一个”为事件A，则事件A的概率P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).1.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案：eq\f(3,5)解析：∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1共6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2.(2013·连云港调研)在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．答案：eq\f(1,2)解析：在数字1、2、3、4四个数中任取两个不同的数有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中和大于积的有3个，即{1，2}，{1，3}，{1，4}，故其和大于积的概率是eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).3.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为________．答案：eq\f(1,3)解析：在编号为1，2，3，4四个球中任取两个球有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中编号之和大于5的有2个，即{2，4}，{3，4}，故两个球的编号之和大于5的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m、n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m、n都取到奇数的概率为________．答案：eq\f(20,63)解析：由题意，正整数m有7种等可能的结果，且对于m的每一个值，n都有9种情况，故共有基本事件总数为7×9＝63种，而m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，所以满足m、n都取到奇数的基本事件数为4×5＝20，故m、n都取到奇数的概率为eq\f(20,63).1.判断下列命题正确与否．(1)先后掷两枚质地均匀的硬币，等可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同．解：以上命题均不正确．(1)应为四种结果，还有一种是“一反一正”．(2)摸到红球的概率为eq\f(1,2)，摸到黑球的概率为eq\f(1,3)，摸到白球的概率为eq\f(1,6).(3)取到小于0的数的概率为eq\f(4,7)，取到不小于0的数的概率为eq\f(3,7).(4)男同学当选的概率为eq\f(1,3)，女同学当选的概率为eq\f(1,4).2.(2013·德州模拟)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足log2xy＝1的概率为________．答案：eq\f(1,12)解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).3.(2013·北京西城模拟)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_________．答案：eq\f(4,5)解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是eq\f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是eq\f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(1,5)(442＋x)．令90>eq\f(1,5)(442＋x)，由此解得x<8，即x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).4.(2013·山东文)某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高(单位：m)以及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标23.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．其中选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝eq\f(3,10).求古典概型问题的基本步骤：(1)明确事件，分清概型．对于古典概型一定要满足“所有基本事件只有有限个，且每个基本事件的发生都是等可能的”这两个基本特征．(2)正确计数，套用公式．正确计算基本事件总数n及事件A包含的基本事件数n，再代入公式P(A)＝eq\f(m,n)进行计算．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（B）第4课时（见活页）.)[备课札记]

第5课时古典概型(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(对应学生用书（文）155～156页,（理）161～162页))考情分析考点新知代数中函数、三角、方