备战2024年高考数学一轮复习41、圆的方程

圆的方程李金曼同学知识点归纳1、圆的定义点的集合(轨迹)叫圆。2、圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为。方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3、圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得：。把方程叫做圆的一般方程其中，半径是，圆心坐标是。（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数且不为。没有项。（2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点；当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4、圆的参数方程①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程是：②圆心在点，半径为的圆的参数方程是：在①中消去得，在②中消去得，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程6、经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：。若，可得两圆公共弦所在的直线方程7、经过直线与圆交点的圆系方程：经过直线与圆的交点的圆系方程是：。8、二元二次方程表示圆的充要条件是：。9、点与圆的位置关系（1）当时，点在圆外。（2）当时，点在圆外。（3）当时，点在圆内。一、圆的标准方程和一般方程例1、圆心在原点的圆的方程为。过原点的圆的方程为。圆心在轴上的圆的方程为。圆心在轴上的圆的方程为。圆心在轴上，且过原点的圆的方程为。圆心在轴上，且过原点的圆的方程为。与轴相切的圆的方程为。与轴相切的圆的方程为。与两坐标轴都相切的圆的方程为。例2、圆关于直线对称，则下面不等式成立的是A、B、C、D、二、求圆的方程例3、已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切，则圆的方程是。例4、一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程。例5、求以为顶点的三角形外接圆的方程。三、与圆有关和最值问题例6、设为圆上任意一点，则的最小值是。例7、若，则的最大值是。例8、求过直线和圆的交点且面积最小的圆的方程。例9、设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。四、其它问题例5、已知轴右侧一动圆与一定圆外切，也与y轴相切，（1）求动圆圆心的轨迹；（2）过点作直线与轨迹交于两点，求一点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形。例6、已知圆的圆心在直线上,并且通过两圆和的交点,(1)求圆的方程;(2)求两圆C1和C2相交弦的方程。例8、求圆关于直线的对称圆方程。例10、已知圆,，若是圆上的动点，且，求中点的轨迹方程。练习．A－1<t<B－1<t<C－<t<1D1<t<2解：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－<t<1答案：C2．点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是A｜a｜＜1Ba＜C｜a｜＜D｜a｜＜解：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜答案：D3．已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是A、当a2+b2=r2时，圆必过原点B、当a=r时，圆与y轴相切C、当b=r时，圆与x轴相切D、当b<r时，圆与x轴相交解：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的故选D答案：D4．圆的圆心和半径分别是（）A(2,-1),B(2,-1),5C(-2,1),D(-2,1),5答案:A 5．点（1，1）在圆的内部，则a的取值范围是（）A,B,C或D答案:A6．已知直线与圆相切,则三条边长分别为的三角形（）A是锐角三角形B是直角三角形C是钝角三角形D不存在答案:B7．与y2的系数相同,且不等于零,并且没有xy这样的项是二元二次方程表示圆的（）A必要条件B充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件答案:A8．方程表示一个圆，则m的取值范围是（）ABCD答案:C9．已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．BCD答案:D10．圆的圆心在x轴上，半径r=2，且D>E，则D=（）ABC1D2答案:D11．M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）ABCD答案:B12．过点和，圆心在轴上的圆的方程是______答案:（x-2）2+y2=1013．方程表示的曲线是___________答案：两个半圆14．已知圆C的圆心在直线上，与直线相切，且截直线所得弦长为6，则圆C的方程：_____（答案：）15．过点和且和直线相切的圆方程为_________答案:（x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=8016．圆上到直线的距离等于1的点有_____个答案:217．已知是圆的弦，且，则的中点的轨迹方程是____________答案:x2+y2=1618．圆关于点（1，1）的对称圆方程是______答案:（x-4）2+（y+4）2=40-3q19．圆关于y轴对称的圆的方程是_____答案:．，则的坐标为____解：由向量平移公式即得=（－1，2）答案：（－1，2）21．已知为圆内一定点，过作两条互相垂直的任意弦交圆于点，则中点的轨迹方程为____________解：Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0答案：x2+y2－x－2y－2=022．已知直线与轴和轴分别交于，求以线段为直径的圆的方程答案:（x+1）2+（y-2）2=523直线与曲线有一个交点，求实数k的取值范围解：直