2023-2024学年高三年级上册开学大联考数学试题（含答案解析）

2023-2024学年高三上学期开学大联考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x——无一2V。},B={.x|j=ln(l-x)},则AB=()

A.(-1,1)B.(-2,1]C.(-1,2)D.[-1,1)

2.设复数z满足z(若-i)=(若+i『，则|z+2卜()

A.aB_2A/2C.2D.8

4x

3.已知函数f(x)=sinx,g(x)=^~,若函数/7(x)在[-兀中]上的大致图象如图所示,

x-+l

则h{x)的解析式可能是()

A.力(尤)=/(无)-g(无)B.h(x)=f(x)+g(x)

C./z(x)=/(x)g(x)D./，(％)=乃?

g(x)

4.某校高三数学摸底考试成绩X（单位：分）近似服从正态分布N（110,4）,且

P（90<X<130）=0.86,该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（）

A.估计该校高三学生人数为1200

B.估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70.

C.估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425.

D.估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多.

5.已知点（兀,0）是函数"x）=sin（2x+e）+6sin（2x+5+'的一个对称中心，其中

则曲线y=〃x）在点处的切线方程为（）

A.兀+'+百一.=0B.x+y+百一会=0

C.2%+y+括一事=0D.2x+y-y/3-^=0

6.已知圆柱底面的半径为0,四边形ABCD为其轴截面，若点E为上底面圆弧AB的

中点，异面直线。石与5C所成的角为;，则圆柱的表面积为（）

4

A.4（拒+1）兀B.2（行+1）兀C.40兀D.4（后一1）兀

22

7.已知耳，工是椭圆G：J+A=l（a>b>。）的两焦点，工是椭圆与抛物线。2：炉=10天

ab

的公共焦点，A是c-G在第一象限的公共点，横坐标为若RtA4B为直角三角

形，则G的离心率为（）

A.上或走B,2或鼻C,鼻D.，

727557

8.如图，正方体ABCD-A46R的棱长为3,线段BQ上有两个动点E,F,且EF=^，

B.2

D.4

二、多选题

9.已知a>0,b>0,Ma2+Z?2=1,则（）

2

A.a+b>2B.；<2""<2C.log2a+log2<-1D.a-b>-\

10.记公比为q的单调递增的等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若%+%=4,%+/=16,

则（）

A.q=2B.a“=—?2"

C.^=|（2"-1）D.=（1

11.已知函数=的两个极值点分别为不，%,若过点4（%,/（占））和

川与〃％））的直线/与坐标轴围成三角形面积为卷，则直线/方程为（）

16c16,

A.y=-----x+2B.y=-----x-1

33

试卷第2页，共4页

C.y=-■—x+1D.y=-3x+l

12.在平面直角坐标系xQy中，过抛物线d=2y的焦点的直线/与该抛物线的两个交点

为4（尤1，%）,B（x2,y2）,则（）

A.抛物线在点x=l处切线方程为2x-2y-l=0

B.若点M坐标为（。,-；），则AATBN=O

C.\OA\+\OB\>y/5

D.若BN垂直抛物线准线于点N,则AO,N三点在一条直线上

三、填空题

13.［立+手一11的展开式中，N项系数为.

14.招待客人时，人们常使用一次性纸杯，将其视为圆台，设其杯底直径为2R,杯口

直径为3R,高为”,将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）后，再将一直径为2R的小铁

球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的

15.已知sin（cr+/?）=—,tancr=-tany0,则cos（2a-2尸）=____

63

16.一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数和是3的倍数，则这次抛掷得

分为3,否则得分为—1.抛掷〃次，记累计得分为△若用3=10,则。《）=.

四、解答题

17.已知各项均为正数的等差数列｛%｝,满足〃；二24,〃：-蜷=40.

⑴求｛见｝的通项公式；

，2，、

⑵记=M+W求数列也｝的前〃项和S〃.

18.已知，ABC中，"c分别为角A仇。对应的边，且a=3,cosA=1,

sinB=—sinA-sinC.

3

⑴求/IBC的面积最大值;

(2)设cosC=巫，求AB边上的高.

10

19.我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生,

得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长y(单位：小时)的频数分布表，假如每人

学习时间长均不超过5小时.

时长y[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5]

学生数3024401610

(1)估计这120个学生学习时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)以表中y的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家

长座谈.若抽取的时长ye[0,1),则赠送家长慰问金100元；抽取的时长ye[l,2),贝|

赠送家长慰问金200元；抽取的时长ye[2,5],则赠送家长慰问金300元.设抽取的2

名学生家长慰问金额之和为X,求X的分布列及数学期望.

20.如图，三棱柱ABC-中，AC_LgG，AB,AC±BtCt,AC=1,AAi=2.

(1)求证：平面ABC，平面ACCM；

⑵若锐二面角A-B月-C的余弦值为逅,求三棱柱ABC-AAG的体积.

3

r2v23

21.已知4，尸2是双曲线E:3-与=1(。>0/>0)的左右焦点，其离心率为；，虚轴

长为2百.

⑴求E的方程；

(2)直线/：x+y=2与E交于P,。两点，设0为坐标原点，点A的坐标为CM),△OPQ

的面积为S,求丝强的值.

S

22.已知函数/(无)=处一尤2+x+l.

X

⑴求曲线y=f(x)在x=i处的切线；

⑵若对任意xe(0,+8),当时，证明函数/z(x)=/(x)-(办-l-x?)存在两个零

点.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可得出集合AcB.

【详解】因为4=卜产一元一2v0}=[-1,2],

2={x|y=ln(l-x)}={x|l-x>0}={x|x<l}=,故Ac3=[—1,1).

故选：D.

2.B

【分析】利用复数除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】解：z(V3-i)=(V3+i)2=3+2V3i+i2=2+2V3i,

2+2后2(1+后)(6+i)4i>

石-i一(若T(若+i)一2一人

因止匕|z+2|=J22+2」=2&.

故选：B

3.C

【分析】根据函数的奇偶性，定义域，结合函数图象，即可判断和选择.

4(一九)4%

【详解】易矢口/(尤)=sin尤为奇函数，由gO=(_尤)2+[=-=-g⑺，则g(无)为奇函

数，

因为Ax)是奇函数，g(x)是奇函数，由图象可知，所求函数是偶函数，而/(x)±g(x)是奇函

数，A,B不符合题意；

因为当x=0时，y=噜无意义,所以D不符合题意.

g(x)

故选：C.

4.B

【分析】由正态分布曲线的对称性可求得尸(x>90),由频数、频率和总数的关系可求得结

果.

【详解】解：由P(90<X<130)=0.86,得P(X490)=5x(1-0.86)=0.07,

.-.P(X>90)=1-0.07=0.93.

答案第1页，共14页

估计该校学生人数为：930+0.93=1000人，A不正确；

估计该校学生中成绩不超过90分的人数为1000x0.07=70,B正确；

估计该校学生中成绩介于90至IJ110分之间的人数为1000x0.86+2=430,C错误；

由P(X<90)=尸(X>130)=1x(l-0.86)=0.07,

估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误，

故选：B.

5.C

【分析】化简函数为〃耳=2$吊(2工+。+弓］,结合三角函数的性质，求得/(x)=2sin2x,

求得函数的导数，结合导数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意，函数/(x)=sin(2x+0)+若sin(2x+^+e］=sin(2x+o)+石cos(2x+e)

=2sin［2x+e+1J,因为点(兀,0)是函数/(x)的一个对称中心，可得2兀+0+方=祈，keZ,

又由附<］，得"=一三，所以〃x)=2sin2x,则「(x)=4cos2x,可得尸［二］=一2,且

俱=-亚

所以曲线y=/(x)在点处的切线方程为y+后=-2、-gj,即

2尤+y+6-g=0.

故选：C.

6.A

【分析】结合圆柱体的性质和面积公式以及异面直线所成角的求法计算即可得.

【详解】

设底面圆心为。，则。为C。的中点，过点E作底面圆于尸，

连接OE,OF,DF,BCHEF,

\?DEF为异面直线。E与BC所成的角，

TT

:.ZDEF=~,E是A8的中点，二尸是CO的中点，...CD，。',

答案第2页，共14页

又历_1平面。9尸，「衣u平面CDb,EF±DF,

由已知OD=0,所以D尸=2,得EF=2,

则圆柱的表面积为S=2nrxEF+2兀/=4(0+1)兀.

故选：A.

7.D

【分析】抛物线C2：B=10X的焦点为F(|,o],|4用=*=3,根据抛物线和椭圆的定

义、结合勾股定理可求2”，分情况求椭圆的离心率e=£.

a

【详解】抛物线C2：y2=iox的焦点为\AF2\=^+^=3,

fd5

在椭圆q:-+^-=l(a>b>0)中，c=-,

ab2

在Rt中，若/月48二90,

由勾股定理得4c2=MK「+|A&「=25,得|前|=4,

2a=M+M=7,

.♦•椭圆C|的离心率为e=—=9，

a7

由点A横坐标为点尸2横坐标为g,故乙48居W90,

故选：D.

8.C

【分析】由正方体性质可证AC，平面。次珥，所以可知A。三棱锥A-的高，由棱锥

体积公式可解.

连结交AC于0,由AC13D,AC1DDX,

BDDD{=D,BDu平面DQBB】,DDtu平面DIDBBI,

答案第3页，共14页

所以AC，平面2。8用，

得点A到平面BDD向的距离是4。=述，也即点A到平面BEF的距离是辿,

22

即为三棱锥A-BEF的高为AO=—,

2

又S&BEF=1-x3x72,

故三棱锥A-5EF的体积为Lx逑x豆1=3.

3222

故选：C.

9.BCD

【分析】对于AC利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的性质以及指数函数的单调性

即可判断；对于D直接根据不等式的性质判断即可.

【详解】">。，b>0,且/+/=1,.「八廿0，+6）一,

2

.­.a+b<42,当且仅当。=>=乎取等号，故A不正确；

a>Of"0,且a2+/=1,

:.0<a<W<b<l,:.-l<a-b<l,.-.-<2a-b<2,故B正确；

2

则故D正确；

a>0b>0,且〃2+人2=],：A=a2+b2>2abyWflab<-

f2f

当且仅当a=b=受取等号，贝lJlog2a+log26=log2（a6）Wlog2j=T，故C正确.

22

故选：BCD,

10.ABC

【分析】先求得心进而求得的,由此求得4，s”,s向-s“，进而判断出正确选项.

【详解】设等比数列｛凡｝的公比为4（4彳0）,由％+%=4,%+。6=16,

得=4,解得q=2或g=_2,

又因为数列｛%｝单调递增，所以4=2,故A正确；

2

所以2q+8%=4,解得4=弓，

71

所以q,=M?2--?2",故B正确；

答案第4页，共14页

一O））,〃+1

2（2「1），5•一5“=夕2•一1）一半2"-1）=二、2"=可，故C正确，D

错误.

故选：ABC.

11.BC

x?——2aX[—1八

【分析】由题意/'（x）有两个不同的零点，则A>0求参数a范围，再根据21代

%二-—1

入了（占）、/（再）确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求。值.

【详解】由题意尸。）=炉+2依+1有两个不同零点,

贝！IA=44一4>0,所以/>1,即或av—1,

%；+2叼+1=0

由2即

x2+2ax2+1=0

f(%)—~%；+6ZX：+玉——Xj(--1)+CIX^+X|

Q22Q/小八22八2、a

=§玉%=—(~2axi-1)+—=-(l-a)%--,

同理有/(々)=|(1一/)々一三，

所以伍,/伍))均在了=|<1-/)_¥-三上,

令丫=£(1一/)彳一,=0,则*=J2,

33Lyy-a)

令x=0,则y=—|

1aa看即a13

则直线/与坐标轴围成三角形面积S=―X-----X

22(1—储)33(1-/)-8'

即9(l-a2)=±8a2,

33

Ja

综上，q=3,出=-3,a32

因为即a>l或av-1,故q=3,a2=-3,得>=一1％±1,

故选：BC

12.AD

【分析】直线的方程与抛物线方程联立，然后表示出％+%，占尤2，%+丫2，%%，即可

答案第5页，共14页

判断A、B；当直线A3与x轴平行时求出|图、]。目可判断C；直线。4的方程为y=^x=^-x,

求出与x=3的交点坐标可判断D.

【详解】对于A,由抛物线V=2y,得y=得y=x,抛物线在点Al处切线斜率为

k=y=x=i,

方程为了一；=%一1,即2x-2y—l=0,A正确；

对于B,抛物线的焦点为(0,彳1\，设直线A8的方程为了=丘+1:，联立厂y=kxH—2,

I272[f=2y

可得了2—2fcv-1=0，所以玉+%2=2左,演％2=—1，X+%=左(％+%2)+1=2k2+1,

X%[履1+h2+；)=+；左(玉+%)+；=；,

则AM=(-%,-[一%)]-%,-；-%]=%%+：+g(X+%)+%%=公，

即B不正确；

对于C,当直线AB与x轴平行时，|0川=[08|=半，]。4|+|。回=石，故C不正确;

对于D,BN垂直抛物线准线于点N,即》=%与准线y=-;的交点，得N1%,-：),

直线04的方程为y=^x=^x,与x=%的交点坐标为N'(X2,号，,

因为芳=一;，得即N与N'重合，所以AO,N三点在一条直线上，

故D正确.

故选：AD.

【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，这两点的横坐标之积和纵

坐标之积为定值，以两交点为直径的圆与抛物线的准线相切.

13.—

64

【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数为3,即可求出/项系数.

答案第6页，共14页

由(y-1/展开式通项为却=.1)-=(-1)〃q•二

令6-1=6,解得r=0,

则V项为(一碟,儿，=。尤3,则/项系数为占.

64?6464

故答案为：y?.

64

14.4

【分析】利用圆台及球的体积公式结合条件即得.

1(0/?2C)R2197rA2为

【详解】解：由题可得纸杯的体积为兀1+，5一尺2+&,

\7

4

小铁球的体积为§兀*,

,,-ZE，419nR2h4n7?3/t.

由题可得一x---------=--------，即nn一=4.

19123R

故答案为：4

15.—

72

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式以及同角三角函数关系求出sin©-尸),

再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为sin(a+/?)=sinacos[3+cosasin/?=—,

6

1sina1sin0\

ffUtan=-tan,即----=------,即sinacos'=—cososin尸，

3cosa3cosp3

因此，cosasinjS=-f因此sinacos/=上，

824

贝Usin(6Z-P)=sinacosP-cosisin尸=一5，

i71

所以cos(2a-2尸)=cos2(a-/3)=l-2sin2(cr—4)=1—2x(——)2=—.

71

故答案为：—.

【分析】利用古典概型概率公式可得抛掷一次，出现的点数和是3的倍数的概率，记抛掷〃

答案第7页，共14页

次抛掷出现的点数是3倍关系的次数为X,则*~8卜,£|,J=3X—伍-X)=4X-a,即

可判断.

【详解】由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果，

其中出现的点数和是3倍关系的有12种等可能的结果，

121

所以抛掷一次，出现的点数和是3倍关系的概率为夕=建=：,

363

记抛掷〃次抛掷出现的点数和是3倍关系的次数为X,

J=3X_(〃_X)=4X_〃，

由双X)=g,得碓)=4矶X)-〃=g=10,得”=30,

于是£＞途)=30、3)-J=当，

D(^)=42Z)(X)=16X^=^|2.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握二项分布的期望与方差公式，及利用期望与

方差的性质求新的期望与方差.

17.(1)。“=2w-l

(2)j2〃+l-l

【分析】(1)由已知递推关系，可得”“+「4=2,即可写出｛4｝的通项公式；

(2)由(1)知2=j2w+l—j2〃一l,裂项相消法即可求前兀项和S”.

【详解】(1)由题意，得《一。；=24,。；一片=40,

即(g)=24,(%+%)(。4-%)=40,

设数列｛4｝的公差为d,又各项均为正数，

即2(%+%”=24,2(%+%”=40,

相减得2x2dxd=16,得d=2,贝！]2(4]+2d+a])d=24,

4=1,故。〃=2〃一1.

答案第8页，共14页

22________

（2）由（1）矢口2-/==/T—~~~7===y/2n+l-^2n-l,

也+1册+172n-1+12n+1

5,=4+4++b〃=（6-，+（有-6）+（a-曲）++（J2〃+1-，2巳-1）=y/2n+1—1.

18.（咯

4^+3AA0

10'

【分析】(1)由已知可得cosA=g,再利用正弦定理求出6,然后利用基本不等式即得;

(2)由两角和公式结合(1),求sinB即可.

【详解】(1)在一ABC中，由cosA=；,Ae(O,?r),得$亩4=乎，

由正弦定理及sinB=』sinA-sinC,^b=-a-c,由a=3,得b+c=l,

33

则［包］=工，当且仅当6=c=g时，取得等号；

I2J42

所以ABC的面积SABc=LbcsinAwLxLx22g=Yl,当且仅当b=c=1时取得等号,

ABC2243122

故.ABC的面积最大值为变.

（2）由（1）知cosA=:，得$亩4=迪，由cosC=^0,C«0㈤得sinC=孑叵,

331010

mHf"〃272yflO13质475+3^

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=x—F-X=---------------，

31031030

4君+394小+3回

得AB边上的高/z=a-sinB=3x

3010

19.（1）2.1

(2)分布列见解析；期望为460

【分析】(1)根据频数分布表中的数据直接列式即可计算；

(2)由题可得X的所有可能取值为200,300,400,500,600,求出X取不同值对应的概

率，即可得出分布列，求出数学期望.

【详解】(1)这120个学生学习时长的平均数

-1

y=—(0.5x30+1.5x24+2,5x40+3,5x16+4.5x10)=2.1.

答案第9页，共14页

301

⑵依题意可得ye［。』）的概率为询=“

c、A/djfd241「。ui弘4•口f忙40+16+1011

yer[i1,2)的概率为-ye[2,5]的概率为———=—.

1NUD12XJZU

X的所有可能取值为200,300,400,500,600,

P(X=200)=-x-=—,P(X=300)=2x-x-=—,

44164510

63

P(X=400)=2x-x—+-x-=

42055200

P(X=500)=2x-x—=—P(X=600)=—x—=—

520502020400

则X的分布列为

X200300400500600

116311121

p

16io20050400

^E(X)=200x—+300x—+400x—+500x—+600x—=460

v7161020050400

20.（1）证明见解析

⑵述

4

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理得出AC，平面A8C,再由面面垂直的判

定定理可得平面ABCJ_平面ACGA；

（2）以C为原点，C4、CB、C4所在直线分别为X、＞、z轴建立空间直角坐标系，求出

平面88。、平面4即1的一个法向量，由面面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）因为AC，4G，BCHB\G，所以AC/BC,

由AC_L4G,BC//BG，得AC_LBC,

由AC_LA8,ABOBC^B,AB、BCu平面ABC,

得A,C_L平面ABC,ACu平面ABC,所以AC_LAC,

又ACBC=C,AC、8Cu平面ABC,

平面ABC,ACu平面ACC0,

答案第10页，共14页

所以平面ABC，平面ACGA；

(2)由(1)知：CA.CB、C4两两垂直，以C为原点,

C4、CB、C4所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4(1,0,0)、C(0,0,0),A(0,0,V3),设点3(0,。,0),其中>>0,

设平面84c的一个法向量为〃=(x,y,z),

CB=(0,&,0),CCX=A\=(-1,0,A/3),

n-CB=by=0「

l，取x=则>=。，z=l,得〃=(6,0,1),

n-CCj=-x+<3z=0

设加=(石,％，4)为平面A网的一个法向量，AB=(-l,t>,0),

m♦AB=-x,+by=0厂C

,

由<；m.M=-x1+A=o取％=6则％=丁’[1，

可得加二

n-m3+1_76

cosn,m=——；~■解得6等

\nm

所以三棱柱"C-G的体积为Txix争员苧

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法:

(1)定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，

再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角(两直线的方向向量、直

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线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

x2y2

21.(1)-匕=1；

45

(2的

10

【分析】（1）由给定离心率及虚轴长求出实半轴长即可得解.

（2）联立直线/与右的方程，借助韦达定理计算AP.AQ,S,即可得竺了.

【详解】（1）双曲线E的半焦距为c,由离心率为三,得一==，

2a2

而虚轴长为26=2若，又/=/+廿，解得〃=4,

22

所以双曲线E：土-匕=1.

45

x+y=2

（2）设尸（为,%）,。（々,女），由y2