2019-2021年山东省春季高考数学卷真题(含答案解析)

年山东省春季高考高校招生考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每题3分，共60分．在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1.假设集合，，那么等于（）A. B. C. D.2.的解集是（）A. B.C. D.3.函数的定义域为（）A.且 B.C.且 D.4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A.充分没必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也没必要条件5.在等比数列中，，，则等于（）A. B.5 C. D.96.如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A. B.C. D.7.终边在轴的正半轴上的角的集合是（）A. B.C. D.8.关于函数，以下表达错误的选项是（）A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线C.函数的单调递减区间是 D.函数图象过点9.某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A.10 B.20 C.60 D.10010.如下图，直线方程是（）A. B.C D.11.关于命题，，假设“为假命题”，且为真命题，那么（）A.，都真命题 B.，都是假命题C.，一个是真命题一个是假命题 D.无法判定12.已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（）A B. C.1 D.313.已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A. B. C. D.14.关于，的方程，给出以下命题；①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．其中，真命题的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.515.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A.0 B. C. D.3216.不等式组表示的区域（阴影部分）是（）A. B.C. D.17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A. B. C. D.18.已知向量，，那么等于（）A. B. C.1 D.019.已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（）A.假设，，那么B.假设，，，那么C.假设，，那么D.假设，，，，那么20.已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.3第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是______．22.在△中，，，，等于______．23.打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．25.集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答进程）26.某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．27.已知函数，，，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期及的值：（2）函数的单调递增区间．28.已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数定义域是，求不等式的实数的取值范围．29.如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：．30.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．

山东省2021年一般高校招生（春天）考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每题3分，共60分．在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1.假设集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】，，.故选：B.2.的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用公式法解绝对值不等式，即可求解集.【详解】由得：，解得.∴解集为.故选：B3.函数的定义域为（）A.且 B.C.且 D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且所以函数的定义域是且，故选：A.4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A.充分没必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也没必要条件【答案】C【解析】【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C5.在等比数列中，，，则等于（）A. B.5 C. D.9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴．故选：D6.如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算，可得解【详解】由题意，．故选：B7.终边在轴的正半轴上的角的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是故选：A8.关于函数，以下表达错误选项是（）A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线C.函数的单调递减区间是 D.函数图象过点【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确，故选：C9.某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A.10 B.20 C.60 D.100【答案】A【解析】【分析】根据组合的定义计算即可.【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）

故选：A10.如下图，直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D11.关于命题，，假设“为假命题”，且为真命题，那么（）A.，都是真命题 B.，都是假命题C.，一个是真命题一个是假命题 D.无法判定【答案】C【解析】【分析】根据逻辑联合词“或”，“且”连接的命题的真假性，容易判断出，的真假性.【详解】由是假命题可知，至少有一个假命题，由是真命题可知，至少有一个真命题，∴，一个是真命题一个是假命题.故选：C12.已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】函数是奇函数，当时，，.故选：A.13.已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】∵点在函数图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D14.关于，的方程，给出以下命题；①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．其中，真命题的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可.【详解】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于轴的直线；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆．∴①③⑤正确.故答案：B15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A.0 B. C. D.32【答案】D【解析】【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D16.不等式组表示的区域（阴影部分）是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.【详解】将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，故选：D.17.甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．故选：D18.已知向量，，那么等于（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】，，.故选：A.19.已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（）A.假设，，那么B.假设，，，那么C.假设，，那么D.假设，，，，那么【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D【详解】选项A：假设，，那么或在内，故选项A错误；选项B：假设，，，那么或与异面，故选项B错误；选项D：假设，，，，且、相交才能判定，故选项C错误；选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．故选：C20.已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.【详解】的坐标为，设点坐标为，易得，解得，因直线与轴垂直，且，所以可得，则，即，所以，离心率为．故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是______．【答案】【解析】【分析】直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，依此计算侧面积即可.【详解】直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，该直棱柱的侧面积为四个矩形面积之和，所以直棱柱的侧面积是.故答案为：.22.在△中，，，，等于______．【答案】【解析】【分析】由和角正弦公式求函数值，再应用正弦定理求即可.【详解】，由正弦定理可知，，∴.故答案为：23.打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．【答案】42【解析】【分析】由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可.【详解】从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10，第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是.故答案为：4224.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【解析】【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解【详解】由于圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，，，那么短轴长为故答案为：25.集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．【答案】或【解析】【分析】由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.【详解】，得；，得；∴，；同理，∴．由(1)(3)可得．∴，，．或．故答案为：或三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答进程）26.某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．【答案】18【解析】【分析】根据已知条件，利用等差数列的前n项和公式求第一排的演员数量即可.【详解】由题意，各排人数组成等差数列，设第一排人数是，公差，前5项和，由知：，解得．∴第一排应安排18名演员.27.已知函数，，，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期及的值：（2）函数的单调递增区间．【答案】（1）最小正周期；；（2），．【解析】【分析】（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点可求出；（2）令可解出单调递增区间.【详解】（1）函数的最小正周期，因为函数的图象过点，因此，即，又因为，因此．（2）因为函数的单调递增区间是，．因此，解得，因此函数的单调递增区间是，28.已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；（2）根据的定义域是，由恒成立求解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此．当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的定义域是，即恒成立．则方程的判别式，即，解得，又因为或，因此．代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．29.如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)由题意可得即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；

(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.【详解】【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，又在正方形中，因此，因此与所成角的余弦值是．（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，因此平面，又因为平面，因此．30.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，∴，解得，则抛物线方程是．（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，设，，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或．当时，直线的方程是，不满足，舍去．当时，直线的方程是，即，∴直线的方程是．2020年山东省高校招生春季高考数学试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知全集，集合，则等于（）A. B. C. D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.3.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（）A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数4.已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A. B. C. D.5.在等比数列中，，，则等于（）A.256 B.-256 C.512 D.-5126.已知直线图像如图所示，则角是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角7.已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）A. B.C. D.8.现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A.12 B.120 C.1440 D.172809.在的二项展开式中，第项的二项式系数是（）A. B. C. D.10.直线关于点对称直线方程是（）A. B.C. D.11.已知，若集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（）A. B. C. D.13.已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（）A. B.C. D.14.下列命题为真命题的是（）A.且 B.或C.， D.，15.已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（）A.或 B.或C.或 D.或16.现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A. B. C. D.17.已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A.3 B.6 C.8 D.1218.已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.19.已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）A. B. C. D.20.在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（）A.3 B. C.3或 D.-3或二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.已知，若，则______.22.若，则实数的值是______.23.已知球的直径为2，则该球的体积是______.24.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______.25.已知抛物线顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.27.某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.28.小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：0030-30根据表中数据，求：（1）实数，，的值；（2）该函数在区间上的最大值和最小值.29.已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.30.已知抛物线顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程答案详解一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知全集，集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用补集概念求解即可.【详解】.故选：C2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B3.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（）A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数【答案】C【解析】【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C4.已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，，故选：A5.在等比数列中，，，则等于（）A.256 B.-256 C.512 D.-512【答案】A【解析】【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，所以，故选：A.6.已知直线的图像如图所示，则角是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.7.已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.8.现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A.12 B.120 C.1440 D.17280【答案】C【解析】【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.所以共有种不同安排方法.故选：C9.在的二项展开式中，第项的二项式系数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第项的二项式系数为，故选：A.10.直线关于点对称的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.11.已知，若集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.12.已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】本题可根据图像得出结果.【详解】结合图像易知，不等式解集，故选：A.13.已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B14.下列命题为真命题的是（）A.且 B.或C.， D.，【答案】D【解析】【分析】本题可通过、、、、得出结果.【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；B项：根据、易知B错误；C项：由余弦函数性质易知，C错误；D项：恒大于等于，D正确，故选：D.15.已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因，所以，解得或，所以或，故选：C．16.现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B17.已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】【分析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.18.已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最大值和最小值，从而得范围．【详解】如图，作出直线，向上平移直线，最先过可行域中的点，此时，最后过可行域中的点，此时，所以的取值范围是．故选：C．19.已知正方体（如图所示），则下列结论正确是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.故选：D20.在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（）A.3 B. C.3或 D.-3或【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】，，，，，，，，故选：A.二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】因为，，所以，故答案为：.22.若，则实数的值是______.【答案】【解析】【分析】根据对数运算化简为，求解的值.【详解】，即，解得：.故答案为：23.已知球的直径为2，则该球的体积是______.【答案】【解析】【分析】根据公式即可求解.【详解】解：球的体积为：,故答案为：24.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______.【答案】469【解析】【分析】先求得编号间隔为16以及样本容量，再由样本中所有数据编号为求解.【详解】间隔为021-005=16，则样本容量为，样本中所有数据编号为，所以样本中的最后一个个体的编号为，故答案为：46925.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：抛物线方程为：在抛物线上，所以在双曲线上，，又，故答案为：三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.27.某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.【答案】140里.【解析】【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为，则，.因为，，所以，解得，则，所以该男子第5天走140里.28.小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：0030-30根据表中数据，求：（1）实数，，的值；（2）该函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.【解析】【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知，则，因为，，所以，解得，即，因为函数图象过点，则，即，所以，，解得，，又因为，所以.（2）由（1）可知.因为，所以，因此，当时，即时，，当时，即时，.所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.29.已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行；（2）根据面面垂直的性质定理，可知平面，再结合线面角的定义，可得得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】证明：（1）连接，设点为的中点，连接，，在中，又因为点为中点，所以.同理可证得，又因为，分别为正方形的边，的中点，故，所以.又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.（2）因为为正方形，，分别是，的中点，所以四边形为矩形，则.又因为二面角为直二面角，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面内的射影，因为为直线与平面所成的角.不妨设正方形边长为，则，中，，因为平面，平面，所以，在中，，，即为直线与平面所成角的正弦值.30.已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.【详解】解：（1）由椭圆可知，，所以，，则，因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，所以，即.所以抛物线的标准方程为.（2）由椭圆可知，，若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.所以直线的斜率存在，设为，直线过点，则直线的方程为，设点，，联立方程组，消去，得.①因为直线与抛物线有两个交点，所以，即，解得，且.由①可知，所以，则，因为，且，所以，解得或，因为，且，所以不符合题意，舍去，所以直线的方程为，即.山东省2019年普通高校招生（春季）考试数学试题1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.本次考试允许使用函数计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01.卷一（选择题共60分）一．选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知集合，则等于A.B.C.D.2.若实数满足，则下列选项正确的是A.B.C.D.3.已知指数函数，对数函数的图像如图所示，则下列关系式成立的是A.B.C.D.4.已知函数，若，则的值是A.B.C.D.5.若等差数列的前7项和为70，则等于A.5B.10C.15D.206.如图所示，已知菱形的边长是2，且，则的值是A.B.C.D.7.对于任意，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.如图所示，直线，则直线的方程是A.B.C.D.9.在的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是A.B.C.D.10．在中，，，是线段上的动点，设点到的距离为，的面积为，则关于的函数是A.B.C.D.11.现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种数是A.360B.336C.312D.24012.设集合，则下列命题为真命题的是A.是正数