51.开放探索问题

51.开放探索问题代码中考题及解析5103（2020陕西）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，答案：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，＝2，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：4＝CF+CF，解得：CF＝6﹣2；（3）①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，∴×50×PF＝×40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．5103（2020齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为y＝x+4，点M的坐标为（﹣2，﹣2），cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故直线AB的表达式为：y＝x2+2x；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，则，即，解得：yP＝2或4，故点P（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′（4，0），设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线A′M的表达式为：y＝x﹣，令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．5103（2020泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．【解析】（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．∴DG＝EC＝，∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG＝＝＝，∴CB＝＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝＝3，∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝3＝．5103（2020达州）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝30°．②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG＝45°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系BF＝AF+FG．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为BF＝2AF•sinα+．【解答】（1）①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝30°．故答案为60，30．②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵C，E关于AM对称，∴AM垂直平分线段EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，∵FC＝FT，∴△CFT是等边三角形，∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF（SAS），∴BT＝AF，∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，∴点A是△ECB的外接圆的圆心，∴∠BEC＝∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°．故答案为45．②结论：BF＝AF+FG．理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵AM⊥EC，CG＝CE，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF＝FG，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，∵CF＝CT，∴△CFT是等腰直角三角形，∴CT＝CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∴＝，∵∠BCA＝∠TCF＝45°，∴∠BCT＝∠ACF，∴△BCT∽△ACF，∴＝＝，∴BT＝CF，∴BF＝BT+TF＝AF+EAF+FG．．（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴＝sinα，∴＝2•sinα，∵AB＝AC＝AE，∴∠BEC＝∠BAC＝α，EF＝，∵FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE＝α，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，同法可证，△BCT∽△ACF，∴＝＝2•sinα，∴BT＝2AF•sinα，∴BF＝BT+FT＝2AF•sinα+EF．即BF＝2AF•sinα+．5103（2020宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【解析】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．5103（2020衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y＝﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．【解析】（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG＝DH，∵直线AC的解析式为y＝﹣x+4，∴x＝0时，y＝4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的橫坐标为m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，∵EF2＝FR2+ER2，∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，令﹣+4＝0，得x＝，∴0≤m≤．∴当m＝1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为2．（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去），∴m＝．综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝．5103（2020衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝2x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．5103（2020江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系