30.2．填空、选择压轴（几何）

第④正确．5．（2018·山东泰安，12，3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8OOyxABPM答案．C，解析：连接OP，则OP为Rt△APB斜边上的中线，∴AB=2OP．连接OM，则当点P为OM与⊙M的交点时，OP最短，则AB也最短．根据勾股定理，得OM==5，∴OP=OM－PM=5－2=3，∴AB=2OP=6，即AB的最小值为6．PPABOyxM6（2018眉山市，12，3分）如图，在ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C，解析：连接AF并延长与BC的延长线相交于点M，易证△ADF≌△CFM，∴AF＝MF，又∵AD＝BC，DC＝AB＝2AD，∴AB＝BM，∴∠ABC＝2∠ABF，故①正确；延长EF、BC，相交于点G．容易证明△DEF≌△CGF，∴FE＝FG，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴∠EBG＝90°，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得EF＝BF，②正确；由于BF是△BEG的中线，∴S△BEG＝2S△BEF，而S△BEG＝S四边形DEBC，所以S四边形DEBC＝2S△EFB，故③正确；设∠DEF＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠G＝x，又因为FG＝FB，∴∠G＝∠FBG＝x，∴∠EFB＝2x，∵CD＝2AD，F为CD中点，BC＝AD，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF＝x，∴∠CFE＝∠CFB＋∠BFE＝x＋2x＝3x＝3∠DEF，故④正确；故本题答案为D．7．（2018·枣庄市，12，3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为 （）A． B． C． D．第12题图答案：A，解析：如图，过点F作FG⊥AB于点G．∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°．∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∠FAD+∠AED=90°．∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD．∴∠CFA=∠AED=∠CEF．∴CE=CF．∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG．∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC．∴．∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4．∴，∴FC=，即CE的长为，故选A．第12题答图8．（2018·扬州市，8，3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论： ①∽；②；③．其中正确的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③第第8题图8．A，解析：由题意得，∠BAE＝∠CAD＝135°，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴MP·MD＝MA·ME，故②正确；∵MP·MD＝MA·ME，又∵∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠DEM＝90°，而∠CAE＝90°，而∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，∴CP·CM＝AC2＝2CB2，故③正确．故选A．9．（2018•无锡市，10，3）如图是一个沿3×3正方形格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）A.4条 B.5条 C.6条 D.7条第10题图B，解析：如图，有5条路径，故选B．第10题答图10.在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A.eq\r(\s\do1(),10)B.eq\f(19,2)C.34D.10答案：D，解析：取GF的中点M，连接OP，则根据题意，可得PF2+PG2=2PM2+2GM2=2PM2+8，当O、P、M三点共线时，PM的值最小，此时PM=3-2=1，∴PF2+PG2=2×12+8=10.11．（2018湖北武汉，10，3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（）A． B． C． D．B解析法一：连AC、DC、OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥CE于F，∵沿BC折叠，∴∠CDB＝∠H，∵∠H＋∠A＝180°，∴∠CDA＋∠CDB＝180°，∴∠A＝∠CDA，∴CA＝CD，∵CE⊥AD，∴AE＝ED＝1，∵OA=，AD＝2，∴OD＝1，∵OD⊥AB，∴OFED为正方形，∴OF＝1，OC=，∴CF＝2，CE＝3，∴CB=.法一图法二图法二：作D关于BC的对称点E，连AC、CE，∵AB＝4，AE=2AO=，∴BE＝2，由对称性知，∠ABC＝∠CBE＝45°，∴AC＝CE，延长BA至F，使FA＝BE，连FC，易证△FCA≌△BCE，∴∠FCB＝90°，∴BC===.12．（2018·杭州，10，3分）如图，在中，点D在AB边上，，与边交于点E，连结BE，记的面积分别为，（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案．D，解析：与中位线作对比，若2AD=AB，则易知S2=2S1，若2AD<AB，则S2>2S1，即2S2>4S1>3S1二、填空题1.（2018滨州，19，5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为___________．AABCDEF答案．，解析：取AD、BC中点M、N，由AD＝4，AB＝2，证得四边形ABNM是正方形，连接MN，EH，由∠HAE＝45°，四边形ABNM是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”，故有EH＝MH＋BE。由AB＝2，AE＝，易知BE＝1，所以EN＝BN－BE＝2－1＝1，设MH＝x，由M是AD中点，△AMH∽△ADF可知，DF＝2MH＝2x，HN＝2－x，EH＝MH＋BE＝x＋1，在Rt△EHN中有，故，解得x＝，故DF＝，故AF＝AABCDEFMHN2.（2018·绵阳，18，3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O点，则AB＝．答案：，解析：根据BE，AD是AC，BC边上的中线，可知AO＝2OD，BO＝2OE．设OD＝x，OA＝2x；OE＝y，OB＝2y．根据AD⊥BE，在Rt△BOD和Rt△AOE中，x2＋(2y)2＝22，y2＋(2x)2＝()2．两式相加得：x2＋y2＝在Rt△AOB中，AB＝．3.(2018·攀枝花，15，4分)如图5，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值是______．答案．4，解析：如图#，设点P到AB的距离是h，则AB·h＝·AB·AD，即×4·h＝×4×3，∴h＝2，可见点P是直线EF(EF∥AB，且EF与AB间的距离是2)上的动点．作点B关于EF的对称点B′，连结AB′交EF于点P，则此时PA＋PB的值最小，最小值＝AB′＝＝4．PCPCBAD图5PCBAD图#FEB′4．（2018·金华市，16，4分）如图1是小明制作的一副弓箭,点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为▲cm.（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为▲cm.第16题图第16题图D1图1图2图3B1ACDBC1ACBDBCAD1D2DB1B2C1C2答案（1），（2），解析：（1）由题意可得B1D1=D1C1=30cm，∠B1D1C1=120°，连接B1C1交AD1于点M，解直角三角形求得B1C1=2B1M=；（2）根据弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长，弧BAC=弧B1AC1=弧B2AC2，已知B2AC2为半圆，设半径为r，则，可得r=20，连接B2C2交AD1于点N，ND2==，由AD1=30，AN=20，则D1D2=AN+ND2-AD1=.5.(2018·自贡，18，4分)如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，蒋它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形；点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE＋PF的最小值是．答案．菱形，.解析：（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判定；（2）作E关于AB的对称点E’，先将直线AB同侧的两点转化为异侧的点，再根据垂线段最短找出PE＋PF的最小值的位置，剩下计算的工作．解：（1）∵AD＝BD＝AC＝BC，∴四边形ADBC是菱形.（2）作E关于AB的对称点E’，根据菱形的对称性可知点E’在AC上，连接E’F交AB于点P，∴PE＋PF＝PE’＋PF＝E’F，当E’F是AC，BD之间的距离时，E’F为最小.过点B作BH⊥AC于点H，设AH＝x，则CH＝(2－x)，由，有，解得x＝，∴BH＝∴PE＋PF的最小值为.6.(2018安徽，14，5分)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．答案．3或．解析：分两种情况讨论：①如图1，边AD的垂直平分线与BD、BC分别交于点P、E，则△APD等腰三角形，且PE∥CD，∴△PBE∽△DBC．易知PE是△DBC的中位线，∴PE＝CD＝3；②如图2，以点D为圆心、以AD为半径画弧交BD于点P，过点P作PE⊥BC于点E，则△APD是等腰三角形．由勾股定理求得AD＝＝10，，则BP＝BD－DP＝10－8＝2．由PE∥CD可知△PBE∽△DBC，则＝，即＝，解得：PE＝．综上所述，PE的长为3或．7.（2018·达州市，16，3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，点D是BC边上一点且CD＝1，点P是线段DB上一动，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP.当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为___________．第16题图答案：2，解析：如图，以AC为斜边在AC的右下方作等腰Rt△AEC,以AD为斜边在AD的右下方作等腰Rt△AMD，以AB为斜边在AB的下方作等腰Rt△ANB，连接NM并延长，则点E、点C在NM的延长线上.∵∠C＝90°，∠ANB＝90°，∴A、C、B、N四点共圆.∴∠ANC＝∠ABC．∴△ANE∽△ABC．∴＝．在等腰Rt△AEC中，AC＝2，∴AE＝．∵＝，∴NE＝．当点P与点C重合时，点O的位于点E的位置．当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的从点M出发运动至点N．∵＝，∴＝，∴MN＝2．8.．(2018·泸州，16，3分)如图5，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．答案：18，解析：∵BC＝20，BF＝3FC，∴BF＝×20＝15，FC＝×20＝5．∵△CDF周长＝CD＋DF＋FC＝CD＋DF＋5，∴当CD＋DF最小时，△CDF的周长有最小值．连接AD．∵EG是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴CD＋DF＝AD＋DF．根据“两点之间，线段最短”可知当点A，D，F在同一条直线上时，AD＋DF的最小值为AF．过点A作AH⊥BC于H，∵BC＝20，△ABC的面积为120，∴AH＝．∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝10，∴HF＝15－10＝5．在Rt△AHF中，根据勾股定理，得AF＝＝13，即CD＋DF的最小值为13，∴△CDF周长的最小值为13＋5＝18．9．（2018·台州市，16，5分）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2︰3，则△BCG的周长为.答案，解析：∵S阴影︰S正方形=2︰3，∴S空︰S正方形=1︰3，∴S空=×3×3=3，又∵DF=CE，∴△BCE≌△DFC，∴S△BCG=S四边形FGED=，设BG=x，CG=y，∵△BCE≌△DFC，∴∠FCE=∠EBC，∵∠BGC=90°，∴S△BCG==，即xy=3，又∵x2+y2=9，∴x2+2xy+y2=9+2×3=15，∴x+y=，∴△BCG的周长=x+y+3=.10．（2018•无锡市，18，2）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD//OY交OX于点D，作PE//OX交OY于点E，设OD=a，OE=b,则a+2b的取值范围是.答案：，解析：如图①过P作PH⊥OY交于点H，∵PE//OX，∠XOY=60°，∴∠PEH=∠XOY=60°，∠EPH=30°，∴EH=，∴a+2b=，∵点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的任意一点，∴当P在AC边上时，H与C重合（见图②），此时，；当P在点B时（见图③），，，∴11．（2018·连云港，16，3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝EQ\R(,6)，则AB的长为________．答案：2，解析：设AB＝2a，BC＝2b，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠DAG＋∠AGD＝90°；又∵AG⊥GF，∴∠AGD＋∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△DAG∽△CGF，∴EQ\F(DA,DG)＝EQ\F(CG,CF)，∴EQ\F(2b,a)＝EQ\F(a,b)，∴a＝EQ\R(,2)b，∴a2＝2b2,而AC2＝(2a)2＋(2b)2＝(EQ\R(,6))2＝6，∴4a2＋2a2＝6，a＝±1(舍去负值)，∴AB＝2．12．(2018·株洲市，18，3分)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=______________．答案：6，解析：S△ABD=AB·DN=BD·AM，∵BD=CD，∴AB·DN=CD·AM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴DN=AM，∵DN=3，∴AM=3．∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠MAP+∠P，∴∠MAP=∠P，∵AM⊥BD，∴∠P=45°，在Rt△APM中，sinP=，∴AP===6．13.（2018·广州市，16，3）如图9，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O.CE与DA的延长线交于点E.连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F.则下列结论：图9图9①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶BE=2∶3；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3；其中正确的结论有.（填写所有正确结论的符号）答案：①②④，解析：由已知“CE是AB的垂直平分线”可得AC＝CB，所以∠CAB＝∠CBA，由□ABCD可得AB∥CD，AD∥BC，所以∠CAB＝∠ACD，∠BAE＝∠CBA，∴∠CAB＝∠ACD=∠BAE，②正确．由∠CAB＝∠BAE，AO＝AO，∠AOC＝∠AOE可得△AOC≌AOE，从而AE＝AC＝BC，又AE∥CB，所以四边形ACBE是平行四边形，又AC＝BC，□ACBE是菱形，①正确．由AO∥CD，可得，∴，③错误．设S△AFO＝S，由，可得S△CFO＝2S，再根据△AFO∽△CFD可得S△DFC＝4S，所以S△COD＝6S，S△COA＝3S＝S△AOE，所以S四边形AFOE＝4S，所以S四边形AFOE∶S△COD＝4S∶6S＝2∶3，④正确．14．（2018湖北武汉，16，3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是___________.解析法一：延长BC至点F，使CF＝AC，∵DE平分△ABC的周长，AD＝BC，∴AC＋CE＝BE，∴BE＝CF＋CE＝EF，∴DE∥AF，DE＝AF，又∵∠ACF＝120°，AC＝CF，∴AF=AC=，∴.法一图法二图法二：作BC的中点F，连接DF，过点F作FG⊥DE于G，设CE＝x，则BE＝1＋x，∴BE＝1＋x，∴BC＝1＋2x，∴CF=+x，∴EF=CF-CE=，而DF=AC=，且∠C＝60°，∴∠DFE＝120°，∴∠FEG＝30°，∴GF=EF=，∴EG=，∴DE=2EG=.15．（2018·盐城，16，3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=.AAQCPB答案：，，解析：使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形有两种情况：①AQ=PQ且∠BQP=90°（如图①）；②AQ=PQ且∠BPQ=90°（如图②）.再由△BPQ与△ACB相似即可计算出PQ的长度即AQ的长度.AAQCBPPAQCB图① 图②16．（2018·泰州市，16，3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心、PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为.答案：或，解析：设⊙P半径为r.在Rt△ABC中，∵sinA==，∴BC:AC:AB=5:12:13.∵AC=12，∴BC=5，AB=13.由旋转知∠A′=∠A，A′C=AC=12，A′B′=AB=13.①当⊙P与边AC相切于点E时，连接PE，则PE⊥AC.∵PE∥AC，∴∠B′PE=∠A′=∠A，∴sin∠B′PE==，∴B′E:PE:PB′=5:12:13，∵PA=PE=r，∴PB′=r，∴r+r=13，解得r=；②延长PB′交AB于点F.∵∠A+∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′+∠B=90°，∴∠A′FB=90°，∴A′F⊥AB，∴当⊙P与边AB相切于点F时，PF为⊙P半径，即PF=PA=r，∵sinA′==，∴BF:A′F:A′B=5:12:13，∵A′B=5+12=17，∴A′F=A′B=，∴r==.综上，⊙P的半径为或.（第16题答图1）