28.1 锐角三角函数

第页一、选择题1.（2018·绵阳，10，3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°的方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：3≈1A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里答案：B，解析：根据题意，作出如下的方位图，∠BAC＝30°，∠BCA＝15°，AC＝30海里．过点B作BE⊥AC，垂足为E，作BC的垂直平分线交AC于D点．所以DB＝DC，∠BDE＝30°．设BE＝x，则AE＝DE＝3x，CD＝BD＝2x，根据AC＝30可得：23x＋2x＝30，解得：x＝1532．（2018·金华市，8，3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为（▲）A.B.C.D.BBADCEFαβ答案．B，解析：根据直角三角形中边与角的关系即可推出答案.在Rt△ABC中，AB=；在在Rt△ADC中，AD=,所以==.3．（2018·枣庄市，11，3）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值为 （）A． B． C． D．答案：A，解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF，∴．∵点E是BC的中点，AD=BC，∴．设EF=x，则AF=2x，在Rt△ABE中，可得．∵，∴．在Rt△DEF中，．故选A．4．（2018·重庆B卷，9，4）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米9题图9题图【答案】A．【解析】过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝20米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，解得x＝8，从而CN＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．在Rt△AME中，tanE＝，即，从而0.45＝，解得AB＝21.7，故选A．【知识点】解直角三角形坡度5．（2018•无锡市，9，3）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值 （）A.等于 B.等于 C.等于 D.随点E位置的变化而变化第9题图A，解析：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∵EH⊥AD，CD⊥AD，∴∠AHE=∠ADC=90°，又∠HAE=∠DAC，∴△AEH∽△ACD，∴，∴=，设EH=3x,AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG=，故选A.6.（2018·山东淄博，6，4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（

答案：A解析：由题意，sinα=，所以选A.7．（2018·娄底市，11，3分）如图（3），由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα﹣cosα= A．EQ\f(5,13) B．﹣EQ\f(5,13) C．EQ\f(7,13)D．﹣EQ\f(7,13)图(3)D，解析：标注字母，求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12（舍去），在Rt△ABC中，AC=5，BC=12,AB=13,sinα﹣cosβ=EQ\f(5,13)﹣EQ\f(12,13)=﹣EQ\f(7,13)．8．（2018·山东潍坊，6，3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD＝30°B．S△BDC＝AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A＋cos2D＝1D，解析：由作法可知△ABC是等边三角形，点A，B，D在以点C为圆心的圆上，AD为直径，∴∠ABD＝90°，又∠A＝60°，∴∠D＝30°，∴∠CBD＝∠D＝30°．在Rt△ABD中，BD＝AB·tan60°＝AB，∴S△ABD＝AB·BD＝AB·AB＝AB2，∴S△BDC＝S△ABD＝AB2．sin2A＋cos2D＝sin260°＋cos230°＝()2＋()2＝，故A、B、C正确，D错误．9．（2018·山东潍坊，12，3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）D，解析：当0≤t≤2时，设边BQ上的高为h，则h=sin60°·BP=(4－t)，此时S=BQ·h=×2t·(4－t)=－t2+2t，其图象是开口向下的抛物线的一部分；当2＜t≤4时，点Q在边CD上，BP边上的高即为菱形的高，为4·sin60°=2，此时S=(4－t)·2=－t+4，其图象是一条线段，且S随t的增大而减小．综上可知，只有选项D符合题意．10．（2018·天津市，2，3分）cos30°的值等于（）A.B.C.1D.答案．B，解析：cos30°=.11．（2018·黄冈市，2，3分）下列运算结果正确的是（）A．3a3·2a2＝6a6 B．（－2a）2＝－4a2C．tan45°＝ D．cos30°＝D，解析：3a3·2a2＝6a5；（－2a）2＝4a2；tan45°＝1；cos30°＝．故选D．12.（2018·广东省，10，3分）如图，点是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点，设△的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（）答案.B解析：当P在AB上运动时，过P作PE⊥CA，交CA的延长线于E因为P的运动速度相同，所以设P的运动速度为v，则AP＝vx，在Rt△AEP中PE＝∵AC、、v都是定值∴y是x成正比例函数ABABCDP当P在BD上运动时因为四边形ABCE是菱形，所以BD与AC间的距离处处相等∴△ACP的面积不变由此排除A故答案选B13．（2018·宜昌市，14，3）如图，要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35° B．100sin55° C．100tan35° D．100tan55°答案：C解析：在Rt△PCA中，∠APC＝90°，tan∠PCA＝，得到PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°．二、填空题1.（2018滨州，15，5分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________．15．，解析：根据tanA＝可设b＝1，则a＝2，c＝，所以sinB＝＝.2.（2018·济宁，14，3分）如图，在一笔直的海岸线上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线的距离是________km．（第（第14题图）答案：km．解析：如答图所示．过点C作CH⊥，垂足为点H．由题意得∠ACH＝60°，∠CBH＝60°，∠BCH＝30°．设CH＝．在Rt△ACH中，AH＝CH·tan∠ACH＝·tan60°＝．在Rt△BCH中，BH＝CH·tan∠BCH＝·tan30°＝．因为AH－BH＝AB，所以＝2，解得＝，即船C到海岸线的距离是km．（第（第14题图）3．（2018·德州，16，4）如图，在4×4的正方形方格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．答案．，解析：由勾股定理可得，AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ACB＝＝＝4．（2018·山东泰安，15，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．AAEDBCA′答案．解析：由折叠知∠BA′E=∠A=90°，AE=A′E，A′B=AB=6，故在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A′C===8，设AE=A′E=x，则CE=x+8，DE=10－x，在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x+8)2=62+(10－x)2，解得x=2．(或由Rt△CDE∽Rt△BCA′求得DE长，进而得AE的长．)在Rt△ABE中，BE==2．所以sin∠ABE===．5．（2018眉山市，17，3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这答案2，解析：如图所示，连接AE、BE，易证CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，显然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝．6．（2018•枣庄市，14，4）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的高度为米．第14题图【参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】答案：6.2，解析：B作地平面的垂线段BC，垂足为C．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．即大厅两层之间的高度约为6.2米．7．（2018·扬州市，17，3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．第17第17题图第17题答图．（，），解析：设BD与OA相交于点E，过点D作DF⊥OA于点F．由折叠可知∠CBO＝∠DBO，由矩形OABC可知OA∥CB，∴∠BOA＝∠CBO，∴∠DBO＝∠BOA，∴OE＝BE；在Rt△ABE中，BE＋AE＝OE＋AE＝OA＝8，由勾股定理可解出BE＝5＝OE，AE＝3；由题意易知∠ABE＝∠DOE，在Rt△ODF中，OF＝OD×cos∠DOE＝4×cos∠ABE＝4×＝，DF＝OD×sin∠DOE＝4×sin∠ABE＝4×＝；∴点D的坐标为（，）．8．（2018•无锡市，17，2）已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积等于．答案：或，解析：当∠C为锐角时，如图①，过A作AD⊥CB，垂足为D，∵∠B=30°，∴AD=AB=5，BD=5，∵∠ADC=90°，∴CD=，∴BC=BD+CD=，S△ABC=AD×BC=×5×=；当∠C为钝角时，如图②，过A作AD⊥CB，垂足为D，∵∠B=30°，∴AD=AB=5，BD=5，∵∠ADC=90°，∴CD=，∴BC=BD-CD=，S△ABC=AD×BC=×5×=，综上，△ABC的面积等于或．①②第17题答图9.如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE;②当E为线段AB中点时，AF=eq\f(9,5);③当A、F、C三点共线时，AE=eq\f(13–2eq\r(\s\do1(),13),3);④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF，答案：①②③，解析：如图，连接BF，交CE于G点，易知BG=FG，∵BE=AE，∴EG是△ABF的中位线，∴AF∥CE，故①正确；由①知，AF=2EG，在Rt△CBE中，CB=2，BE=，∴EC=，在Rt△BEG、Rt△CBE中，cos∠BEG=，cos∠BEC=，∴，∴EG=，AF=2EG=，故②正确；由折叠知，EF=BE，BC=BF=2,∠B=∠CFE=90°，设AE=x，当A、F、C三点共线时，BE=3-x，∴EF=BE=3-x，在Rt△ABC中，AC=，∴AF=，在Rt△AEF中，，即，解得：x=eq\f(13–2eq\r(\s\do1(),13),3)，故③正确；∵AF≠CF，AE≠CE，∴△CEF与△AEF不全等，故④错误.10．(2018·株洲市，17，3分)如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为____________．4，解析：在Rt△OAB中，OA=OB·cos45°=2×=2，过A作AC⊥x轴于点C，则AC==OA·sin45°=2×=，由题意可知，线段OA在平移过程中扫过部分的图形为平行四边形OAA′O′，AA′=2，其面积为AA′×AC=2×=4．11．（2018·山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．(结果保留根号)AABPM避风港东北，解析：作PC⊥AB于点C，MD⊥AB于点D．由题意，得∠PAB=45°，∠PBC=60°，∠PBM=60°－30°=30°，∴∠MBD=30°．AB=1.5×60=90(海里)．设AC=PC=MD=x海里，则BC=(x－90)海里．在Rt△BPC中，tan60°=Rt△DAH，则，解得x=45(+1)，∴BM=2MD=90(+1)海里．90(+1)÷75=(小时)．CCDABPM避风港东北12.（2018·广州市，12，3）如图6，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长AB＝16m，则tanC＝.图6图6答案：，解析：由锐角三角函数正切的定义可知，在直角三角形中，锐角C的对边与邻边的比叫做∠C的正切，所以tanC＝＝．三、解答题1.．(2018·自贡，22，8分)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．思路分析：由已知条件可看出，这个三角形是确定的三角形，过点C作CD⊥AB于点D，则得到两个直角三角形：△ADC和△BDC，它们都是特殊的直角三角形，可用勾股定理、特殊角的三角函数值等知识来求解．解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，∵∠B＝30゜，BC＝12，∴CD＝BC＝6，BD＝BC＝6，在Rt△ACD中，∵tanA＝，∴AD＝8，∴，∴AB＝AD＋BD＝8＋6.2．（2018·德州，21，10）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°．求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．思路分析：在Rt△ABC中，已知∠ACB＝53°，BC＝60，用正切函数可以求出物高AB；过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△AED中，已知∠ADE＝∠β＝37°，DE＝BC＝60，用正切函数可以求出AE的长，进而求出物高CD．解答过程：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝α＝53°，BC＝60，∴AB＝BC·tanα＝60×tan53°≈60×＝80；过点D作DE⊥AB，垂足为E，由平行线性质，得∠ADE＝∠β＝37°，易得，四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝60，∴AE＝BC·tanβ＝60×tan37°≈60×＝45，∴CD＝BE＝AB－AE≈80－45＝35(m)．答：两座建筑物AB与CD的高度分别是80m，35m．3．(2018安徽，19，10分)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶点A的仰角为39．3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约有多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)思路分析：设AB＝x，根据题意可得DF＝DE＝1．8，BE＝AB＝x，过点F作FG⊥AB于点G，在Rt△AFG中根据锐角三角函数关系建立方程求解．也可以先证△AEF是直角三角形，用勾股定理求得EF，用含x的式子表示AE，根据三角函数关系求解．解答过程：方法一：根据题意∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠AEB＝∠FED，∴∠AEB＝∠EAB＝45°，设AB＝x，∴AB＝BE＝x，过点F作FG⊥AB于点G，在Rt△AFG中，AG＝x－1．8，FG＝x＋1．8，∵tan39．3°＝，∴0．82＝，解得x≈18(米)．方法二：根据题意∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠AEB＝∠FED，∴∠AEB＝∠EAB＝45°，∴∠FEA＝90°，设AB＝x，在Rt△AFE中，EF＝1.8，AE＝x，∵tan84.3°＝，∴10.02＝，解得x≈18(米)．4.．（2018眉山市，22，8分）知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)思路分析：本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，解题的关键是通过作高将原三角形分割成两个直角三角形，设线段的长，运用三角函数表示出其余各边的长，最后列方程解决问题．解答过程：过B作BD⊥AC，垂足为D，设AD＝x，在Rt△ABD中，tan∠A＝，即：∴BD＝，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，即：，∴CD＝，＋x＝13，解方程得：x＝．∴BD＝12－，在Rt△BCD中，cos∠CBD＝，即：，∴BC＝．答：B、C两地的距离为（）千米．5.．（2018·达州市，20，6分）在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值.）第20题图思路分析：认真审题，找出题中的等量关系，应用锐角三角函数构建关于x方程，解方程可得答案.解答过程：解：如图，设雕塑的高CD为x米．在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝＝x，根据题意，得AD－BD＝4，即－x＝4．解得x＝2＋2．答：雕塑的高CD为（2＋2）米．6.(2018·泸州，22，8分)如图8，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值)．图8思路分析：已知乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，可设AD＝xm，则BC＝6xm．在Rt△ADE和Rt△BCE中利用锐角三角函数求得AE和BE，根据“AE＋BE＝AB”列方程可求出x的值；进而求得DE和EC，易知∠DEC＝90°，故可根据勾股定理求得DC，问题得解．解答过程：设AD＝xm，则BC＝6xm．在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，∴AE＝，DE＝2AD＝2x；在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，∴BE＝，EC＝2BE＝4x；∵AE＋BE＝AB，∴90，解得x＝10．∴DE＝20，EC＝120．在Rt△DEC中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，DE＝2x＝20，EC＝4x＝120，根据勾股定理，得CD＝．答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为m．7.．（2018·舟山市，22，10）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°．当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为60°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）图1图2图3图4思路分析：（1）已知CP0，只要求出图3中的CP长即可，故只需解△CPF；（2）解出图4中的CP的长，过点F作FG⊥CP；解：（1）如图2，当点P位于初始位置P0时，CP0＝2m．如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65°，点P上调至P1处，∠1＝90°，∠CAB＝90°，∴∠AP1E＝115°，∴∠CP1E＝65°，∵∠DP1E＝20°，∠CP1F＝45°，∵CF＝P1F＝1m，∴∠C＝∠CP1F＝45°∴△CP1F为等腰直角三角形，∴CP1＝m，∴P0P1＝CP0－CP1＝2－≈0.6m即点需P从P0上调0.6m．（2）如图4，中午12:00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调至P2处，∴P2E∥AB∵∠CAB＝90°，∴∠CP2E＝90°∵∠DP2E＝20°∴∠CP2F＝∠CP2E－∠DP2E＝70°∵CF＝P2F＝1m，得△CP2F为等腰三角形，∴∠C＝∠CP2F＝70°过点F作FG⊥CP2于点G∴GP2＝P2F·cos70°＝1×0.34＝0.34m∴CP2＝2GP2＝0.68m∴P1P2＝CP1－CP2＝－0.68≈0.7m即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．22题图222题图322题图48．(2018·广安，23，8分)据调查：超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明用所学知识对一条笔直公路上车辆进行测速，如图10所示，观测点C到公路的距离CD＝200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处时的时间为10s，问此车是否超过了该路段10m/s的限制速度？(观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73)北北东BDCA图10思路分析：解直角三角形求出AB的长，从而求出实际车速，与限速比较即可知该车是否超速．解：依题意可知，CD＝200，∠DCB＝45°，∠DCA＝60°．∴BD＝CD＝200．在Rt△ACD中，AD＝CD·tan∠DCA＝200．∴AB＝200－200＝200×(－1)≈146．∴实际车速＝146÷10＝14.6．∵14.6＞10，∴此车超过了该路段10m/s的限制速度．9．(2018·临沂市，22，7分)如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2(＋1)m.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门?第22题图思路分析：过B作BD⊥AC于点D，将△ABC转化为两个直角三角形，利用解直角三角形的知识求出BD.然后把求得的BD的长与直径2.1m比较大小即可作出判断.解答过程：过点B作BD⊥AC，垂足为点D.在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－∠A＝60°，则AD＝tan∠ABD×BD＝BD；在Rt△BCD中，∠C＝45°，∴CD＝BD.∴AC＝AD＋CD＝BD＋BD＝(＋1)BD＝2(＋1)，解得：BD＝2(m)＜2.1m.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1m的圆形门.10．(2018·常德，22，7分)图8是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇(门的大小相同(即AB＝CD)将左边的门ABB1A绕门轴AA1向里面转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图9，求此时B与C之间的距离(结果保一位小数)．参考数据：sin37°≈0．6，cos37°≈0．8，≈1．4)思路分析：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，CG⊥BE交BE延长线于G，构造矩形，直角三角形，利用三角函数、勾股定理求解．解答过程：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，CG⊥BE交BE延长线于G，因为AD＝2米，所以AB＝CD＝＝2，因为sinA＝，所以BE＝sin37°×1≈0．6，cosA＝，所以AE＝cos37°×1≈0．8，cosD＝，所以DF＝cos45°×1＝×1≈0．7，所以BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝1．3，GC＝GE＝AD－AE－DF＝2－0．8－0．7＝0．5．由勾股定理得BC＝＝＝1．3m．答：B与C之间的距离约是1．3m．11.（2018·成都，18，8分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上实验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)思路分析：先由在Rt△ADC中，根据cos∠ACD=，求得CD的长，再由在Rt△BDC中，根据tan∠BCD=，求得BD的长.解：由题意可知：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80.在Rt△ADC中，cos∠ACD=，∴CD=ACcos∠ACD=80×cos70°=80×0.34=27.2(海里).在Rt△BDC中，tan∠BCD=，∴BD=CDtan∠BCD=27.2×tan37°=27.2×0.75=20.4（海里）.答：还需航行的距离BD的长为20.4海里.12．（2018·扬州市，27，12分）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M、N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．图1图2图1图2图3思路分析：（1）由题意可知∠CPN＝∠MND，故tan∠CPN＝tan∠MND＝＝2；（2）根据“方法归纳”，作AN或MC的平行线，通过等角转换，在一个直角三角形中求cos∠CPN的值；（3）根据以上的解题经验，以BC的长为1个单位长度，构造出一个网格图，作CM或AN的平行线，可求出∠CPN的度数．解答过程：（1）2；（2）连接格点A、B，可得AB∥MC，连接BN，∴∠CPN＝∠BAN，在Rt△ABN中，AB＝BN＝，AN＝，∴cos∠CPN＝cos∠BAN＝＝＝；（3）设BC的长为单位1，构造如图所示的网格图，连接格点AD，可得AD∥CM，连接DN∴∠CPN＝∠DAN在Rt△ADN中，AD＝DN＝，AN＝，∴cos∠CPN＝cos∠DAN＝＝＝∴锐角∠DAN＝∠CPN＝45°．第27题答图1-1第27题答图1-1第27题答图1-2第27题答图213．（2018浙江台州，19，8）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m.张角HAC为时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，）（第19题）思路分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ACF，再利用边AC求得CF，再根据CE=EF+CF计算即可求出答案．解答过程：解：如图，作CE⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为E、F，由题意得，CF==9×0.47=4.23，EF=AH=9，∴CE=CF+EF=9+4.23=13.2313.2（m）.答：平台C离地面的高度为13.2m.14．(宜宾市2018)(本小题8分)(注意：在试题卷上作答无效)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高（结果保留根号）.思路分析：(1)在Rt△CED中，根据tan∠CED=求出DC的值；(2)①通过作“CF⊥AB”构造Rt△AFC；②在Rt△AFC中，根据tan∠ACF=求出AF；③由此列出方程求得DE，进而可得CD的高度．解：如图，作CF⊥AF，垂足为F，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形CDBF是矩形，∴CF=BD，CD=BF，∠ECF=∠CED=30°，设DE=，∴BD=BE+DE=10+，∴CF=10+.在Rt△CDE中，tan∠CED=，∴CD=xtan30°；在Rt△ACF中，tan∠ACF=，∴AF=(10+x)tan30°；∵AB=30，∴AF+BF=AF+CD=30，即xtan30°+(10+x)tan30°=30，解得：=，∴CD=xtan30°=.15．（2018江苏宿迁，25，10分）（本小题满分10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m达到点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．（1）求∠BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，）．思路分析：（1）延长PQ交直线AB于点C，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设QB=x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB=AC－BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．．解：延长PQ交AB于点C，如右图所示，（1）∵从B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，∴∠BPQ=90°－60°=30°，即∠BPQ的度数是30°；（2）设BQ=x，∵∠BPQ=30°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BQ=x，∵∠QCB=90°，∠QBC=30°，∴BC=，QC=x，∴PC=PQ+QC=x＋x=x，∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，∴PC=AC，∴AC=x，∵AB=10，BC=，∴10＋x=x，解得，x=≈15.8，即该电线杆PQ的高度是15.8米．16.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）【思路分析】过点C作CD⊥AB于D，根据AC=640km，∠CAB=30°，求出CD、AD，根据∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根据AB=AD+BD列式计算即可．【解题过程】解：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D．DDBAC在Rt△ADC中，∵∠CAB=30°，∴CD=AC=320，AD=，和Rt△BCD中，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=320，BC=,∴AC+BC=，∴AB=AD+BD=，∴1088-864=224（公里）．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．17．（2018·连云港，25，10分）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1∶0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高坝堤的防洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈EQ\F(3,5)，cos37°≈EQ\F(4,5)，tan37°≈EQ\F(3,4)）图1图1图2思路分析：（1）过点D、C分别作梯形ABCD的高DM、CN，设高为x，分别解Rt△ADM和Rt△BCN，用含x的代数式表示AM、BN，再列出关于x的方程即可；（2）过点F作FH⊥AB于H，利用Rt△EFH∽Rt△FBH列方程．解答过程：解：（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N．因背水坡AD的坡度i为1:0.5，所以tan∠DAB＝2，设AM＝x，则DM＝2x．又四边形DMNC是矩形，所以DM＝NC＝2x．在Rt△BNC中，tan∠ABC＝tan37°＝EQ\F(CN,BN)＝EQ\F(2x,BN)＝EQ\F(3,4)，所以BN＝EQ\F(8,3)x，由x＋3＋EQ\F(8,3)x＝14，得x＝3，所以DM＝6．即坝高为6m．（2）过点F作FH⊥AB，垂足为H．设DF＝y，则AE＝2y．EH＝3＋2y－y＝3＋y，BH＝14＋2y－（3＋y）＝11＋y．由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH∽△FBH．所以EQ\F(HF,HB)＝EQ\F(EH,FH)，即EQ\F(6,11＋y)＝EQ\F(3＋y,6)．62＝(3＋y)(3－y)，解得y＝－7＋2EQ\R(,13)或y＝－7＋2EQ\R(,13)（舍）．所以DF＝2EQ\R(,13)－7．答：DF的长为（2EQ\R(,13)－7）米．18．(2018·株洲市，22，8分)下图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3．直线l与l1，l2，l3都垂直，垂足分别是点A、点B和点C(高速线右侧边缘)，l2上的点M位于点A的北偏东30°的方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α的方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际铁路线L上两个相邻的站点．(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车的平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从A站点到N站点需要多少小时？(结果用分数形式表示)思路分析：(1)过点N作ND⊥l2于点D，在Rt△MND中，根据cosα=求ND的长；(2)解答过程：(1)过点N作ND⊥l2于点D，则∠MND=α，在Rt△MND中，cosα=，∴ND=MN·cosα=2×=2(千米)；(2)在Rt△MND中，根据勾股定理求MD的长，由NC=BD=BM+MD可得NC的长，在Rt△ABM中，根据tan∠BAM=求AB的长，从而可得AC的长，在Rt△ACN中，根据勾股定理求ND的长，再除以速度即可得时间．(2)在Rt△MND中，MD===4，显然，四边形BCND是矩形，∴BC=ND=2，NC=BD=BM+MD=+4=5；在Rt△ABM中，tan∠BAM=，∴AB===3，∴AC=AB+BC=3+2=5，在Rt△ACN中，AN===10，∴市民小强乘坐城际火车从A站点到N站点需要的时间为=(小时)．19．(2018·株洲市，23，8分)如图，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形ABCD的边AB和AD，其中AM=AN．(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN；(2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT=AD，求tan∠ABM的值．思路分析：(1)利用HL证明；(2)根据Rt△ABM≌Rt△AND得BM=DN，∠BAM=∠DAN，再证明△AMT∽△DNT，可得tan∠ABM=．解答过程：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∠BMA=∠DNA=90°，AM=AN，∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL)；(2)∵Rt△ABM≌Rt△AND，∴BM=DN，∠BAM=∠DAN．∵∠BAD=90°，∴∠MAN=90°，又AM=AN，∴∠AMT=∠ANM=45°，又∠DNA=90°，∴∠DNT=45°，∴∠AMN=∠DNT，又∠ATM=∠DTN，∴△AMT∽△DNT，∴，∵AT=AD，∴，∴．∵BM=DN，∴．在Rt△ABM中，tan∠ABM=．20．（2018·娄底市，22，8分）如图（9），长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=EQ\f(24,25)，在顶端E点测得A的仰角为45︒，求发射塔AB的高度.图（9）思路分析：解直角三角形的问题，过E作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦函数的定义求出AD=25x，根据勾股定理求出CD=7x，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．解答过程：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，CH=DE=340设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=EQ\f(24,25)，∴AD=25x，由勾股定理得，CD=EQ\R(,AD2-AC2)=7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．21．（2018·山东潍坊，20，8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．思路分析：（1）利用正方形的性质，通过证明Rt△DEA≌Rt△AFB，得AE=BF；（2）AE=BF=x，利用S△ABE+S△ADE=24，求得x的值，再进一步在Rt△EFB中计算BE的长，从而可求∠EBF的正弦值．解答过程：解：（1）证明：∵∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE．在Rt△DEA和Rt△AFB中，∠ADE=∠BAF，∠DEA=∠AFB，DA=AB，∴Rt△DEA≌Rt△AFB，∴AE=BF．（2）解：设AE=x，则BF=x，∵四边形ABED的面积为24，DE=AF=2，∴x2+×2x=24，解得x1=6，x2=－8(舍)，∴EF=AE－AF=6－2=4，在Rt△EFB中，BE==2，∴sin∠EBF===．22．（2018·绍兴，21，10分）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm（参考数据：≈0.732，≈2.449）思路分析：（1）要求∠DFB，需探究这个角与已知角∠CAB的关系，容易证明四边形ACDE是平行四边形，从而得到CA∥DE，确定∠DFB=∠CAB；（2）通过研究我们发现在△ABC中，已经知道了一角、两边，因此解题的关键在于合理构造直角三角形解决问题.解答过程：解：（1）∵AC=DE，AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴CA∥DE，∵∠CAB=85°，∴∠DFB=∠CAB=85°，即此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数为85°.（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，则∠CGA=∠CGB=90°.∵CD=10，BD=40，∴BC=30.∵∠CAB=60°，AC=20，∴sin60°==，∴CG=10，∴AG==10，BG==10，∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449≈34.5.即此时点A，B之间的距离约为34.23．(2018·衡阳市，22题，8分)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？(第20题图)思路分析：本题考查了解直角三角形知识．(1)过C点作CD⊥AB于D点，则CD就是从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离，由方位角意义、平行线的性质及含30°角直角三角形的性质，可求得结论；(2)在Rt△BCD中，由方位角的意义、平行线的性质及勾股定理，可求得BC的长，然后通过列方程可计算出在15分钟之内是否能返回到宾馆．解答过程：解：(1)如图，过点C作南北方向线l，作CD⊥AB于D点，根据垂线段最短可知线段CD是从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离．由题意，∠1＝30°，AB∥l，∴∠A＝∠1＝30°，在Rt△ACD中，AC＝2000米，∴CD＝AC＝1000米．∴这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1000米．(2)由(1)可知CD＝1000米．由题意，∠2＝45°，∴∠B＝∠2＝45°．在Rt△BCD中，BC＝CD＝1000．设这名徒步爱好者从雁峰公园到达宾馆用了x分钟，根据题意，得100x＝1000．解得x＝10．因为10<15，所以这名徒步爱好者能在15分钟内到达宾馆．24．（2018·聊城市，22，8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹!”的推出,现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米,墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为９°，15.6°，如图2.求保温板AC的长是多少米?(精确到0.1米)(参考数据:≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan,15.6°≈0.28．)思路分析：作CE⊥BD于E，作AG⊥CE于G，设AC为x，则CE=CG+GE=+2，在Rt△CED中，利用三角函数求得CE=（﹣）×tan15.6°，解关于x的方程求解.解答过程：设AC为x，在△ABD中，∵tan9°==，∴BD=.作CE⊥BD，垂足为E，作AG⊥CE，垂足为G，在△AGC中，∠CAG=60°，∵sin∠CAG=，cos∠CAG=，∴CG=AC·sin∠CAG=x×sin60°=，AG=AC·cos∠CAG=x×cos60°=.∴ED=BD﹣BE=BD﹣AG=﹣，在△CED中，tan∠CDE=tan15.6°=，∴CE=ED×tan15.6°=（﹣）×tan15.6°，又CE=CG+GE=+2，∴（﹣）×tan15.6°=+2，即（）×0.28=0.86x+2，解方程，得x=1.5（米），答：保温板AC的长约是1.5米.25．（2018·长沙市，22，8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°.（结果精确到0.1千米，参考数据：）（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？思路分析：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．解答过程：解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×=40千米，AC===千米，AC+BC=80+≈40×1.41+80=136.4千米，答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=QUOTEBDBC，BC=80千米，∴BD=BC•cos30°=80×=千米，∵tan45°=QUOTECDAD，CD=40（千米），∴AD=QUOTECDtan45°=401=40=40∴AB=AD+BD=40+≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．26．（2018·泰州市，23，10分）日照间距系数反映了房屋日照情况.如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H-H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.[来源:Zxxk.Com]如图②，山坡EF朝北，EF长为，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为.（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处思路分析：（1）本小题解题关键是利用好斜坡EF的坡度，从而在Rt△EFH中解决问题；（2）注意到本小题与题干图形的不同，因此需延长BA、FH交于一点，将问题转化为与图①相同的问题.然后可以设CF长为未知数，根据“日照间距系数不低于1.25”解答过程：解：（1）∵iEF=1：0.75==，设EH=3x，FH=4x，则EF==5x=15，∴x=5，∴FH=3x=9，即山坡EF的水平宽度FH为9m.（2）延长BA、FH交于点G，则AG=EH=12，GH=AE=4，∴BG=BA+AG=22.5+12=34.5.设CF=y，则CG=CF+FH+GH=y+9+4=y+13，由题知CG：（BG-CP）≥1.25，∴≥1.25，解得y≥29，∴底部C距F处至少29m远27．（2018·天津市，22，10分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）.参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60.思路分析：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形BCDE为矩形.在Rt△ABC中由tan∠ACB=可求得AB的长度；在Rt△AED中由tan∠ADE=可求得AE的长度，最根据EB=AB-AE求得EB的长度，问题得解.解答过程：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E.则∠AED=∠BED=90°.由题意可知，BC=78，∠ADE=48°，∠ACB=58°，∠ABC=90°，∠DCB=90°. 可得四边形BCDE为矩形.∴ED=BC=78，DC=EB.在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中，tan∠ADE=，∴AE=ED·