2023-2024学年江苏省无锡市中考数学最后一模试卷含解析

2023-2024学年江苏省无锡市重点达标名校中考数学最后一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.有一组数据：3,4,5,6,6,则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（）

A.4.8,6,6B.5,5,5C.4.8,6,5D.5,6,6

2.小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为

()

1

A.1B.C.D.

245

3.图为小明和小红两人的解题过程.下列叙述正确的是（

3x—3

计算:------+-------7

x-l1-X2

小明的解决小H的M*

3”出义一声一；…

s・3X・3+X・3..........Q

k6...........”•④

A.只有小明的正确B.只有小红的正确

C.小明、小红都正确D.小明、小红都不正确

4.如图，AB//CD,/1=30，则N2的大小是（）

A.30B.120C.130D.150

5.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设

原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）

600_450600_450

A.B.

x-50x%+50X

600_450600_450

C.D.

X元+50Xx-50

6.tan45°的值为（）

£

A.B.1C.旦D.V2

22

7.已知二次函数尸4必+26+3层+3（其中x是自变量），当於2时，y随x的增大而增大，且-2金勺时，y的最大值为

9,则。的值为

A.1或-2B.7;或「

C.v-D.1

8.如图，在平面直角坐标系中，0P的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB

的长为4后，则a的值是（）

A.4B.3+^/2C.372D.3+73

9.据统计，第22届冬季奥林匹克运动会的电视转播时间长达88000小时，社交网站和国际奥委会官方网站也创下冬

奥会收看率纪录.用科学记数法表示88000为（）

A.0.88X105B.8.8xl04C.8.8xl05D.8.8xl06

10.将抛物线y=-2必+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（）

A.y=-2（x-2B.y=-2（x+l）2-2

C.y=-2（x-l）2+4D.y=-2（x+l）2+4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm,则AC=<

1

12.若式子有意义，则x的取值范围是

13.如图，。。的半径为3,点A,B,C,。都在。上，ZAOB=30°,将扇形绕点。顺时针旋转120。后

恰好与扇形重合，则的长为,（结果保留万）

14.我国自主研发的某型号手机处理器采用10nm工艺，已知1nm=0.000000001m,则10nm用科学记数法可表示为

15.如图所示，直线y=x+l（记为/1）与直线（记为L）相交于点尸3,2）,则关于x的不等式x+\>mx+n的解集为

16.如图，RtAABC中，NACB=90。，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=^CD,过点B作BE〃DC交AF

3

的延长线于点E,BE=12,则AB的长为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）抛物线y=-x?+（m-1）x+m与y轴交于（0,3）点.

（1）求出m的值并画出这条抛物线；

（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;

（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？

（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

18.（8分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B、C两点的俯角分别为45。、35。.已知

大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m,求热气球离地面的高度.（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57,

cos35°=0.82,tan35°=0.70）

19.（8分）如图，在△ABC中，ZC=90°.作NBAC的平分线AD,交BC于D；若AB=10cm,CD=4cm,求AABD

的面积.

20.（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ落

在地面上的影子PM=1.8m,落在墙上的影子MN=1.1m,求木竿PQ的长度.

21.（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，

通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降

价销售.若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；销

售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

22.（10分）规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”

（1）求抛物线y=--2x+3与x轴的“亲近距离"；

（2）在探究问题：求抛物线y=*2-2x+3与直线y=x-l的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴

作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由.

12

（3）若抛物线）=产-2*+3与抛物线y=—V9+c的“亲近距离”为一，求c的值.

43

23.（12分）如图，已知：正方形ABCD,点E在CB的延长线上，连接AE、DE,DE与边AB交于点F,FG〃BE

交AE于点G.

(1)求证：GF=BF；

(2)若EB=LBC=4,求AG的长；

(3)在BC边上取点M,使得BM=BE,连接AM交DE于点O.求证：FO«ED=OD«EF.

24.在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹.例如：动点P的坐标满足(m,

m-1),所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x-1的图象.即点P的轨迹就是

直线y=x-1.

(1)若m、n满足等式mn-m=6,贝！J(m,n-1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是；

(2)若点P(x,y)到点A(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹；

(3)若抛物线y=-V上有两动点M、N满足MN=a(a为常数，且吟4),设线段MN的中点为Q,求点Q到x轴

4

的最短距离.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；

而将这组数据从小到大的顺序排列3,4,5,6,6,处于中间位置的数是5,

平均数是：(3+4+5+6+6)+5=4.8,

故选C.

【点睛】

本题考查众数；算术平均数；中位数.

2、B

【解析】

直接利用概率的意义分析得出答案.

【详解】

解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是!，

2

故选B.

【点睛】

此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键.

3、D

【解析】

直接利用分式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】

3X—3

=-------+---------------

1-x(l-x)(l+x)

3(1+x)x-3

=-----------------+---------------

(1-x)(l+x)(1-x)(l+X)

—3—3x+x—3

(l-x)(l+x)

-2x-6

(1-x)(l+x)9

故小明、小红都不正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键.

4、D

【解析】

依据AB//CD,即可得到/1=/CEF=3O,再根据N2+/CEF=180，即可得到22=180-30=150.

【详解】

cED

A-------------1B

解：如图，AB//CD,

..N1=/CEF=3O，

又N2+/CEF=180，

.•.12=180-30=150，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等.

5^B

【解析】

设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产(x+50)台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与

原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可.

【详解】

设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产(x+50)台机器，由题意得：心_=里.

x+50x

故选B.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.

6、B

【解析】

解：根据特殊角的三角函数值可得tan45*l,

故选B.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值.

7、D

【解析】

先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0,然后由-2WXS1时，y的最大值为9,

可得x=l时，y=9,即可求出a.

【详解】

二•二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),

，对称轴是直线X=-TT=-1,

•・,当xN2时，y随x的增大而增大，

Z.a>0,

•・・-2WxWl时，y的最大值为9,

x=l时，y=a+2a+3a2+3=9,

3a2+3a-6=0,

a=l,或a=-2(不合题意舍去).

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的顶点坐标是(「，.___：),对称轴直线x=_,二次函

数y=ax2+bx+c(a#0)的图象具有如下性质：①当a>0时，抛物线y=ax?+bx+c(aRO)的开口向上，x<-时，y随x

三

的增大而减小；x>-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值一，即顶点是抛物线的最低点.②当aV

。时，抛物线y=ax?+bx+c(a#0)的开口向下，x<-时，y随x的增大而增大；x>-时，y随x的增大而减小；x=-

时，y取得最大值,__即顶点是抛物线的最高点.

8、B

【解析】

试题解析：作PCLx轴于C,交AB于D,作PELAB于E,连结PB,如图,

•.•0P的圆心坐标是（3,a）,

/.OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

，D点坐标为（3,3）,

/.CD=3,

...AOCD为等腰直角三角形，

•••△PED也为等腰直角三角形，

VPE1AB,

1111

/.AE=BE=—AB=—x4^/2=2.2，

在RtAPBE中，PB=3,

•••PE=/32-（2&）2=1，

PD=y]2PE=A/2，

a=3+y/2.

故选B.

考点：1.垂径定理；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.勾股定理.

9、B

【解析】

试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axlO,其中公忸|<10,n为整数，表示时关键要正确

确定a的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数

位数减1；当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）.因此，

•.•88000一共5位，.•.88000=8.88x104.故选以

考点：科学记数法.

10、A

【解析】

根据二次函数的平移规律即可得出.

【详解】

解：y=-2/+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为

y=-2

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1.

【解析】

试题分析：如图，,•,矩形的对边平行，.*.Z1=ZACB,VZ1=ZABC,/.ZABC=ZACB,；.AC=AB,；AB=lcm,

考点：1轴对称；2矩形的性质；3等腰三角形.

3

12、x>---.

2

【解析】

33

解：依题意得：2x+3>l.解得.故答案为x>—-.

22

5

13、一TI.

2

【解析】

根据题意先利用旋转的性质得到NBOD=120。，则NAOD=150。，然后根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：•.,扇形AOB绕点O顺时针旋转120。后恰好与扇形COD重合，

.,.ZBOD=120°,

.,.ZAOD=ZAOB+ZBOD=30o+120°=150°,

.150•开・35

..AD的1V长t=i--------=一乃•

z1802

故答案为：2万.

【点睛】

H.R

本题考查了弧长的计算及旋转的性质，掌握弧长公式上-------（弧长为1,圆心角度数为n,圆的半径为R）是解题

180

的关键.

14、1x10

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

解：10nm用科学记数法可表示为IxlO-im,

故答案为1x10“.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中iqa|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

15、x>l

【解析】

把y=2代入y=x+l,得x=l,

.•.点P的坐标为（1,2）,

根据图象可以知道当x>l时，y=x+l的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，

因而不等式x+INmx+n的解集是：x>l,

故答案为xNL

【点睛】

本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关

键点（交点、原点等），做到数形结合.

16、1.

【解析】

根据三角形的性质求解即可。

【详解】

解：在RtAABC中,D为AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得:AD=BD=CD,

因为D为AB的中点,BE//DC,所以DF是4ABE的中位线,BE=2DF=12

所以DF=』3E=6,

2

12

设CD=x,由CF=-CD,则DF=-CD=6,

33

可得CD=9,故AD=BD=CD=9,

故AB=1,

故答案：L

【点睛】

本题主要考查三角形基本概念，综合运用三角形的知识可得答案。

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)二二文(2)0),(3,0),[1,4);(1)-J<Q<5;(2)二:::

【解析】

试题分析：(1)由抛物线y=-x?+(m-1)x+m与y轴交于(0,1)得：m=l.

.,.抛物线为y=-x2+2x+l=-(x-1)2+2.

列表得：

-1

X0121

y01210

图象如下.

(2)-x2+2x+l=0,得：xi=-1,X2=l.

二抛物线与x轴的交点为(-1,0),(1,0).

Vy=-x2+2x+l=-(x-1)2+2

抛物线顶点坐标为(1,2).

(1)由图象可知：

当-1VX<1时，抛物线在x轴上方.

(2)由图象可知：

当X>1时，y的值随X值的增大而减小

考点：二次函数的运用

18、热气球离地面的高度约为1米.

【解析】

作ADLBC交CB的延长线于D,设AD为x,表示出DB和DC,根据正切的概念求出x的值即可.

【详解】

解：作ADJLBC交CB的延长线于D,

由题意得，/ABD=45。，ZACD=35°,

在RtAADB中，ZABD=45°,

•*.DB=x,

在RtAADC中，NACD=35。，

AD

•*.tanZACD=-----,

CD

.x=2_

,•x+100~10'

解得，x-l.

答：热气球离地面的高度约为1米.

【点睛】

考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确

作出辅助线构造直角三角形.

19、(1)答案见解析；(2)20cm2

【解析】

⑴根据三角形角平分线的定义，即可得到AD;

⑵过D作于DELABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解:(1)如图所示,AD即为所求；

⑵如图，过D作DELAB于E,

VAD平分NBAC,

/.DE=CD=4,

：•SAABD=一ABeDE=20cm2.

2

【点睛】

掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.

20、木竿PQ的长度为3.35米.

【解析】

过N点作尸。于O,则四边形OPMN为矩形，根据矩形的性质得出OP,ZW的长，然后根据同一时刻物高与

影长成正比求出QD的长，即可得出PQ的长.

试题解析：

【详解】

解：过N点作NO,尸。于O,

：.DN=PM=1.8m,DP=MN=l.lm,

.AB_QD

,,二一丽’

ABDN

：.QD=------------=2.25,

BC

：.PQ=QD+DP^2.25+1.1=3.35(m).

答：木竿PQ的长度为3.35米.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，作出辅助线，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键.

21、(1)100+200x；(2)1.

【解析】

试题分析：(1)销售量=原来销售量-下降销售量，列式即可得到结论；

(2)根据销售量x每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论.

Y

试题解析：(1)将这种水果每斤的售价降低X元，则每天的销售量是100+而x20=100+200x斤；

(2)根据题意得：(4—2—尤)(100+200x)=300,解得：x=^或x=L1•每天至少售出260斤，...100+200x》60,

2

x>0.8,x=l.

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.

考点：L一元二次方程的应用；2.销售问题；3.综合题.

22、(1)2；(2)不同意他的看法，理由详见解析；(3)c=l.

【解析】

⑴把尸―-2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；

⑵如图，P点为抛物线y=--2x+3任意一点，作PQ〃了轴交直线y=x-1于0,设P(f,t2-2t+3),则0(f,f-1),则

PQ=e-2f+3-(t-1),然后利用二次函数的性质得到抛物线产7-2x+3与直线产x-1的“亲近距离”，然后对他的看

法进行判断；

11

⑶M点为抛物线尸X2-2x+3任意一点，作轴交抛物线y=—必9+。于N,设M(f,t2-2t+3),则N(f,—F+c),

-44

51

与⑵方法一样得到MN的最小值为一-c,从而得到抛物线产必-2*+3与抛物线y=—V9+c的“亲近距离”，所以

3-4

52

--c=-,然后解方程即可.

33

【详解】

(l),."j=x2-2x+3=(x-1)2+2,

...抛物线上的点到x轴的最短距离为2,

：.抛物线j=x2-2x+3与x轴的“亲近距离”为：2；

⑵不同意他的看法.理由如下：

如图，P点为抛物线产炉-2*+3任意一点，作P0〃y轴交直线1于Q,

37

：.PQ=t2-2f+3-(t-1)=F-3f+4=(f-—户+一，

当u：3时，尸。有最小值，最小值为7：，

24

7

/.抛物线j=x2-2x+3与直线尸x-1的“亲近距离”为一，

4

而过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2,

二不同意他的看法；

19

⑶M点为抛物线j=x2-2x+3任意一点，作MN//y轴交抛物线y=—厂+c于N,

45

当U—时，MN有最小值，最小值为一-c,

33

1,5

抛物线尸产-2/3与抛物线y=——+c的“亲近距离”为--c,

-43

:.c=l.

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，正确理解新定义是解题的关键.

23、(1)证明见解析；(2)AG=生叵；(3)证明见解析.

【解析】

(1)根据正方形的性质得到AD〃BC,AB/7CD,AD=CD,根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可;

(2)根据勾股定理求出AE,根据相似三角形的性质计算即可;

GFFH

(3)延长GF交AM于H,根据平行线分线段成比例定理得到——=——，由于BM=BE,得到GF=FH,由GF〃AD,

BEBM

EFGFFHFOm同EFFHEFGF丁A小人、人

得到=,——「等量代换得到=——,a即n=--,于1是3得l到结论.

EDADADODEDADEDAD

【详解】

解：(1)•.•四边形ABCD是正方形,

，AD〃BC,AB/7CD,AD=CD,

；GF〃BE,

，GF〃BC,

；.GF〃AD,

.GFEF

''^D~~ED

VAB/7CD,

BF_EF

CD~ED'

；AD=CD,

.,.GF=BF；

(2)；EB=1,BC=4,

DFBCi~-------「

-^7=-=4»^=^EB2+AB~=A/17»

FEEB

AGDF

.......-------=4,

G