广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试 数学

广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z在复平面内对应的点为(a,b)，且A．a2+(b+1)C．(a+1)2+b2．已知函数f(x)=−x2+ax+1在(2A．(2,6) C．(4,12) 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的7倍，则该椭圆的离心率为（）A．77 B．147 C．3574．把函数f(x)=3sin3x的图象向左平移A．y=3sin(3x+34)C．y=3cos3x 5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列命题为真命题的是（）A．若l//m，则α//β B．若α//β，则l//βC．若l⊥m，则l⊥β D．若α⊥β，则l//m6．如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即可.例如，求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2A．x−3y+1=0 B．x+3y−5=0 C．3x−y−5=0 D．2x+3y−7=07．如图，正四棱台容器ABCD−A1B1C1D1的高为12cm，A．31πcm B．32πcm8．在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x5,y5A．8 B．12 C．16 D．20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（）A．M={0,2B．M={x|x2C．M={x|y=lgx}D．M={(x,y)|10．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cosA=15A．AO=14C．△ABC的面积的最大值为36 D．a的最小值为11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)−f(2−x)=4x.若f(2x−3)的图象关于点(2,1)对称，且A．f(x)的图象关于点(1,B．函数g(x)=f(x)−2x的图象关于直线x=2对称C．函数g(x)=f(x)−2x的周期为2D．f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(50)=2499三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案.13．已知sin2α=sin2α，则tan14．已知F1，F2分别是双曲线E：x24−y212=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在等差数列{an}中，a（1）求a10（2）若bn=1anan+1+a16．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,（1）求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在[30,40)，[80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在[80,17．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA=2PB=2，（1）证明：平面PBC⊥平面PAE.（2）求二面角D−AP−E的余弦值.18．设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，已知点F到圆E：（1）求抛物线C的方程.（2）设O是坐标原点，点P(2,4)，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于，NM两点（异于点O），且O是线段MN的中点，试判断直线19．已知函数f(x)=ln（1）当a=1时，证明：f(x)是增函数.（2）若f(x)≤x恒成立，求a的取值范围.（3）证明：ln22+ln3

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A,C,D10．【答案】B,C11．【答案】A,B,D12．【答案】15013．【答案】0或2；1或−314．【答案】215．【答案】（1）解：设{an}的公差为d得d=2，所以a（2）证明：由（1）得anbn则S16．【答案】（1）解：由图可知，10(3a+0.01+0.该村村民成绩的平均数约为(35+45+95)×0（2）解：从成绩在[30,40)，其中成绩在[30,40)内的村民有则成绩在[80,从中任选3人，则X的取值可能为1，2，3，P(X=1)=C22C则X的分布列为X123P131故E(X)=1×117．【答案】（1）证明：连接AC.因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°.所以△ACD是正三角形.又E为CD的中点，所以AE⊥CD，则AE⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以AE⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB，所以AE⊥PB.因为AB=2PA=2PB=2，所以因为PA∩AE=A，所以PB⊥平面PAE.又PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAE.（2）解：取AB的中点O，连接OC，OP.以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(−1,0,0)，B(1,所以AP=(1,0,设平面PAD的法向量为m=(x,y,令y=1，得m=(由（1）可知，BP是平面PAE的一个法向量，所以cos⟨m由图可知，二面角D−AP−E为锐角，所以二面角D−AP−E的余弦值为4218．【答案】（1）解：F点的坐标为(p点F到圆E：(x+3)2+y2=1则抛物线C的方程为y2（2）解：直线AB经过定点(0,设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,联立方程组x=ty+m,y2则Δ=64ι2+32m>0，y直线PA的方程为y−4=y令x=0，得yM=4因为O是线段MN的中点，所以4x整理得8x1x则m2−8t若m+4t−2=0，则直线AB经过点P，不符合题意.若m−2t=0，则直线AB的方程为x=ty+2t，经过定点(0,19．【答案】（1）证明：当a=1时，f(x)=lnx−x令g(x)=ex+x2−x，则g'则g(x)>g(0)=1，故f'(x)>0在(0,（2）解：当x>0时，f(x)≤x等价于a>令ℎ(x)=e