4.4.3不同函数增长的差异课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数4.4

对数函数4.4.3不同函数增长的差异内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质．3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．活动方案在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．活动一理解指数函数模型的“变化趋势”四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数型函数变化的变量是________.x051015202530y151305051130200531304505y2594.4781785.2337336.37×1051.2×1072.28×108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.01511.005【答案】

y2【解析】

指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．思考1►►►选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？【解析】

一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，

ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有

ax>kx.思考2►►►选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？活动二理解对数函数模型的“变化趋势”【解析】

一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx.例

2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？活动三函数模型的增长差异【解析】

确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x.下面画出了三个奖励模型的函数图象，观察图象，对于模型y＝0.25x，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合．对于模型y＝1.002x，由函数图象知，当x的取值在800附近，y值为5，因为函数是增函数，所以y值越过了5，不符合要求．对于函数y＝log7x＋1，当x∈[10,1000]时，函数y＝log7x＋1是增函数，所以y≤log71000＋1<log774＋1＝5.

如果某人的销售利润是343万元，按奖励模型y＝log7x＋1，log7343＋1＝4，所获奖金数为4万元．三种函数的增长速度比较：(1)在区间(0，＋∞)上，一次函数y＝kx(k>0)，对数函数y＝logax(a>1)和指数函数y＝bx(b>1)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，指数函数y＝bx(b>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于一次函数y＝kx(k>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<kx<bx.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(

)A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3

C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4【答案】C【解析】

通过对指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.例

3函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小．活动四根据函数增长差异确定图象并比较大小【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2020>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2020)>g(2020)．又因为g(2020)>g(6)，所以f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6)．探究本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．【解析】

a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点．因为φ(x)在区间[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.1.解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．2.体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．检测反馈24513【解析】

根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝26·2x的函数值的增长速度最快．【答案】D245132.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(

)A.y＝log2(x＋1) B.y＝2x－1C.y＝2x－1 D.y＝(x－1)2＋1【解析】

对于A，当x＝2时，

y＝log23≠2；对于B，当x＝2时，y＝22－1＝3≠2；对于C，当x＝2时，y＝2×2－1＝3≠2；对于D，都满足．【答案】Dx123…y125…2453124531【解析】

在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图，由图象可判断出衰减情况为f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢．故选ABD.【答案】ABD24534.下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是________.①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.1【解析】

结合三类函数的增长差异可知指数函数增长速度最快，所以①的预期收益最大．【答案】

①24535.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x(x∈N*)万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝180x＋100；当产量大于