数学（选修23）练习7.3.17.3.2第2课时组合活页作业6

活页作业(六)组合数的应用一、选择题1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品．现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81 B．60C．6 D．11解析：分三类．第一类，恰有2件一等品，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝60种取法；第二类，恰有3件一等品，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝20种取法；第三类，恰有4件一等品，有Ceq\o\al(4,4)＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81.答案：A2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A．70个 B．64个C．58个 D．52个解析：∵四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，∴共有四面体Ceq\o\al(4,8)－12＝58个．故选C．答案：C3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种 B．36种C．42种 D．60种解析：若选择了2个城市，则有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝36种投资方案；若选择了3个城市，则有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝24种投资方案．因此共有36＋24＝60种投资方案．答案：D4．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图所示是一种填法，则不同的填写方法共有()123312231A．6种 B．12种C．24种 D．48种解析：第一步，确定第一行，有Aeq\o\al(3,3)种填法．第二步，确定第一列，有Aeq\o\al(2,2)种填法，这时剩下的空格就唯一确定了．所以有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12种填法．答案：B二、填空题5．甲、乙、丙三名同学选修课程，在4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．解析：甲选修2门，有Ceq\o\al(2,4)＝6种选法；乙、丙各选修3门，各有Ceq\o\al(3,4)＝4种选法．由分步乘法计数原理得，共有6×4×4＝96种选法．答案：966．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人．现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习．如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，那么此考察团的组成方法种数是________．解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100种抽法．答案：2100三、解答题7．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解：不考虑任何限制，10个点可得Ceq\o\al(4,10)个四面体．由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有Ceq\o\al(4,5)种情形．所以构成四面体的个数为Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205.8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学．求在下列条件下，各有多少种分法．(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成．第一步，从9本不同的书中，任取4本分给甲，有Ceq\o\al(4,9)种方法；第二步，从余下的5本书中，任取3本给乙，有Ceq\o\al(3,5)种方法；第三步，把剩下的书给丙，有Ceq\o\al(2,2)种方法．∴不同的分法共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＝1260种．(2)分两步完成．第一步，按4本、3本、2本分成三组，有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)种方法；第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有Aeq\o\al(3,3)种方法．∴不同的分法共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝7560种．一、选择题1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类．第一类，与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有Ceq\o\al(2,4)＝6个；第二类，与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有Ceq\o\al(1,4)＝4个；第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，有Ceq\o\al(0,4)＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．答案：B2．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A．120 B．240C．360 D．720解析：先选出3个球，有Ceq\o\al(3,10)＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的放法，即1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2.故共有120×2＝240种方法．答案：B二、填空题3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．解析：对于4个数之和为偶数，可分三类．第一类，4个数均为偶数，有Ceq\o\al(4,4)种取法；第二类，2个数为偶数，2个数为奇数，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)种取法；第三类，4个数均为奇数，有Ceq\o\al(4,5)种取法．由分类加法计数原理，可得不同的取法共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66种．答案：664．已知直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有________条．解析：如图所示，在圆x2＋y2＝100上，整点坐标有(±10,0)，(6,8)，(－6，－8)，(－6,8)，(6，－8)，(8,6)，(－8，－6)，(－8,6)，(8，－6)，(0，±10)，共12个点．这12点确定的直线有Ceq\o\al(2,12)条．过这12点的切线数有12条．由于a，b不为零，应去掉过原点的直线6条；又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有Ceq\o\al(2,12)＋12－(6＋12)＝60条．答案：60三、解答题5．10双互不相同的鞋子混装在一个口袋中．从中任意取出4只，试求出现如下结果各有多少种情况．(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有Ceq\o\al(4,10)种取法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理知，选取种数为N＝Ceq\o\al(4,10)·24＝3360.即4只鞋子没有成双，有3360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双，有Ceq\o\al(2,10)种取法，所以选取种数为N＝Ceq\o\al(2,10)＝45，即4只鞋子恰成双，有45种不同取法．(3)先选取一双，有Ceq\o\al(1,10)种取法，再从9双鞋中选取2双，有Ceq\o\al(2,9)种取法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理知，不同取法有N＝Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(2,9)·22＝1440种．6．从1到9这九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：(1)分步完成．第一步，在四个偶数中取三个，有Ceq\o\al(3,4)种情况．第二步，在五个奇数中取四个，有Ceq\o\al(4,5)种情况．第三步，三个偶数，四个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种情况．所以符合题意的七位数有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400个．(3)上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有Ceq