第3.2.1讲函数的单调性与最大（小）值（原卷版）-新高一数学宝典（人教A版2019）

第三章函数的概念和性质第3.2.1讲函数的单调性与最大（小）值一、学习目标1．理解函数单调性的含义，掌握利用定义证明函数的单调性的方法，培养逻辑推理核心素养．2．能够利用定义或图像求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题，培养直观想象和数学运算核心素养．3.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，培养数学抽象素养．4．了解直线的斜率概念，掌握函数的平均变化率概念并能简单应用，提升直观想象、逻辑推理素养．二、核心知识增函数、减函数的定义1．根据下面的图像探究下列问题．(1)图①中任取x1，x2∈I，当x1＜x2时f(x1)与f(x2)的大小关系如何？图②呢？(2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？(3)若函数y＝f(x)在I上是增函数，I1⊆I，则y＝f(x)在I1上是什么函数？提示：(1)由图①可知函数y＝f(x)图像随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)．图②中函数y＝f(x)图像随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)．(2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数．(3)增函数．2．函数y＝f(x)的定义域为D，I⊆D，任意x1，x2∈I且x1≠x2都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＞0，你能说f(x)在I上一定是增函数吗？提示：能．因为当x2＞x1时都有f(x2)＞f(x1)；当x2＜x1时都有f(x2)＜f(x1)．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在M上单调递减).函数增函数减函数图示函数的单调性与单调区间1．单调函数一定有单调区间吗？提示：不一定．有些函数没有单调区间或者它的定义域根本就不是区间．如y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}．2．“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的意义相同吗？区别是什么？提示：意义不同．单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．知识点三函数的最大(小)值1.观察函数f(x)＝x2－1的图像，你能说出该函数的最小值吗？并说明理由．提示：该函数的最小值为－1.因为对任意的x，都有f(x)≥f(0)＝－1.2．不等式x2＞－1一定成立吗？－1是不是函数f(x)＝x2的最小值？提示：不等式x2＞－1一定成立．－1不是函数f(x)＝x2的最小值，因为不存在实数x使x2＝－1.一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作fmax＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作fmin＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．eq\a\vs4\al([点睛])最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的所有元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立．三、核心例题题型1利用函数图像确定单调区间1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．是函数的增区间 B．是函数的减区间C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数2．函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（

）A． B． C． D．3．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．题型2用定义法证明(判断)函数的单调性4．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是（

）A． B．C． D．5．下列函数在上单调递减的是（

）A． B． C． D．6．下列函数在上为增函数的是（

）A． B． C． D．题型3函数单调性的应用7．若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．9．设函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型4图像法求函数的最值10．函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（

）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．，211．函数在上的图象如图所示，则此函数的最大值和最小值分别为（

）A．3，0 B．3，1C．3，无最小值 D．3，212．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，题型5利用单调性求函数的最值13．已知函数，则在上的最大值为（

）A．9 B．8 C．3 D．14．已知函数，则在区间上的最大值为（

）A． B．3 C．4 D．515．关于函数的结论正确的是（

）A．值域是 B．单调递增区间是C．值域是 D．单调递增区间是当堂达标一、单选题1．下列函数在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．2．函数的值域是（）A．R B．C． D．3．函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．4．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．6．对于反比例函数，如果当时有最大值，则当时，有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值7．函数的值域为（

）A．[0,1） B． C． D．8．已知不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值之和为（

）A． B． C．4 D．8二、多选题9．已知函数，，则函数的最小值可能为（

）A． B． C． D．10．已知，则（

）A．最小值 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值三、填空题11．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为.12．函数的值域为