2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试

(新高考全国n卷)数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={—1』,2,4},8=卜卜—1区1},则/口8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB,-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，44',A8',CC',£»£)’是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称

为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中">1，。。]，8片,24是举，是相等的

步，相邻桁的举步之比分别为帚=05'=%,”£=内，皆=与.已知心白，质成公差为0」的等

(JD]JL/CJCZ)]nAl

差数列，且直线的斜率为0.725,则左3二()

A.0.75C.0.85

4.已知向量a=(3,4),方=(l,O),c=°+用，若<a,c〉=<b,c>，则”()

A.-6B.-5C.5D.6

5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端,丙和丁相邻，则不同排列方

式共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

若sin(tz+尸)+cos(tz+4)=272cosa+—sin/?,则()

6.[4

A.tan(cr-y5)=1B.tan(a+p)=l

C.tan(cr-/?)=-1D.tan(cr+/?)=-1

7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3G和4石，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积

为()

A.10071B.128兀C.144兀D.192兀

22

8.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+y)+/(x—>)=/(x)/(〉),/(l)=l,则£/(左)=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sin(2x+0)(0<°<7i)的图像关于点中心对称，则(

/(X)在区间［。，工)单调递减

A.

兀1171

B./(%)在区间有两个极值点

n'~L2

7兀

C.直线x二——是曲线>=/(x)的对称轴

6

D.直线y=W—x是曲线V=/(x)的切线

2

10.已知。为坐标原点，过抛物线二2"(2>0)焦点方的直线与。交于48两点，其中4在第一

象限，点M(p,0),若歹则()

A.直线48的斜率为B.\OB\=\OF\

C.\AB\>^\OF\D.ZOAM+ZOBM<\S00

11.如图，四边形48co为正方形，ED±ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,

F-ABC,尸—ZC£的体积分别为匕，匕，匕，则（）

B,匕=匕

D,2匕=3匕

12.若X,y满足X?+y2一町=],则()

A.x+V<1B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布NR,。?)，且p(2<XW2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

14.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

15.设点/(—2,3),5(0,a),若直线关于V=。对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则。

的取值范围是.

16.已知直线/与椭圆工+且=1在第一象限交于48两点，/与x轴，y轴分别交于M,N两点，且

63

\MA^NB\,\MN^243,贝h的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知｛%,｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且4-打=%-.

(1)证明：aA=4；

(2)求集合｛左也=am+a1,l<w<500｝中元素个数.

18.记A/BC的内角B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次

1

为s3s2,S3,已知E—S2+S3=］,sin5=g.

(1)求4/台。的面积；

6

(2)若sin/sinC=——，求人

3

19.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布

直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的16%.

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的

年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

20.如图，PO是三棱锥P—48。的高，PA=PB,£是尸8的中点.

p

(1)证明：。£//平面P/C；

(2)若N48O=NCSO=30。，P0=3,PA=5,求二面角C—/£—5的正弦值.

22

21.已知双曲线C:号-3=1("0)>0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=±瓜.

(1)求。的方程；

(2)过尸的直线与。的两条渐近线分别交于4,8两点，点P(M，%),。(乙,%)在C上，且

天〉%>0,%〉0.过尸且斜率为一0的直线与过。且斜率为G的直线交于点M从下面①②③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A8上；②PQ〃AB；③.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.已知函数/(x)=xe*—e".

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x〉0时，/(x)<-1,求°的取值范围；

111,/,、

(3)设〃eN*，证明：/2+/2+…+c~~->ln("+1).

2022年普通高等学校招生全国统一考试

(新高考全国n卷)数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={—1』,2,4},8=卜卜—则/口8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合B后可求ZCB.

【详解】5={x|0<x<2},故/口8={1,2},

故选：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A,-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【详解】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为

步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中"\,。4,8片,/4是举,

ODi，DCi，CBi，BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

DD,“CG,BB,,AA,,

====已知配上2,占成公差为。-1的等差数列，且直

（JU】TJCjC/jjnA1

线04的斜率为0.725,则左3二（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】设OD、=DC1=CB[=BA[=1,则可得关于左3的方程，求出其解后可得正确的选

项.

【详解】设OD、=DC\=CB]=呢=1,则CCX-kx,BB[=左2,—左3，

DD.+CC+BB、+AA八…

依题意，有左a-0.2=左，左q-0.1=Q,且----------------------=0.725,

3132

ODX+DCX+CBX+BAX

匕厂0.5+3^—0.3

所以------r--------=0.725,故左3=09,

4

故选：D

4.已知向量〃=(3,4),否=(1,0),c=°+4,若贝()

A.—6B.—5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

/、9+3%+163+/

【详解】解：c=(3+Z,4),cosa,c=cosb,c,即一祠一=百，解得/=5,

故选：C

5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端,丙和丁相邻,

则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,

有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个

位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5

名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

6.若sin(a+万)+cos(tz+A)=20cos[a+:'n^,则()

A.tan(a-0=lB.tan(a+0=l

C.tan(a-尸)=一1D,tan(a+万)=-1

【答案】c

【解析】

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】由已知得：sinacos/?+cosarsin^5+cosacos/?-sin«sinP=\cos«-sin(^sin/,

即：sinacos/?-cosasin/?+cosacos〃+sinasin/?=0,

即：sin(a-〃)+cos(a-尸)=0,

所以tan(a—0=-l,

故选：c

7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3次和4百，其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为（）

A.IOOTTB.128兀C.1447rD.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径自马，再根据球心距，圆面半

径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径生弓，所以24=任一,2r,=*—，即

sin60°sin60°

A1=3,r2=4,设球心到上下底面的距离分别为4,出，球的半径为R，所以d=JA？—9，

/=g2-16,故|4_出|=1或4+〃2=1，即9—JT?2—161=1或

，区2-9+，R2-16=1,解得氏2=25符合题意，所以球的表面积为5=4兀霜=100Tl.

故选：A.

8.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+V)+/(x—y)=/(x)/O)J(l)T，则

22

£f(k)=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

/⑴,/(2),…，/⑹的值，即可解出.

【详解】因为/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),令x=i,y=o可得，2/(1)=/⑴〃0),

所以/(0)=2,令x=o可得，/3+/(-力=2/(田，即/(■)=/(—用，所以函数/(X)

为偶函数，令了=1得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有

/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知/(x+2)=-/(x-l),/(x—1)=—/(x—4),

故/(x+2)=/(x—4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.

因为/⑵=/⑴—"0)=1—2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,〃6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/。)+/(2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£/(左)=/。)+/(2)+/(3)+/(4)=1—1—2-1=—3.

k=\

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(*)=5M(2%+。)(0＜。＜兀)的图像关于点］1,0)中心对称，则()

A.〃x)在区间［0,卫J单调递减

B.7(%)在区间1-二有两个极值点

I1212J

C.直线x二7,兀是曲线y=/(x)的对称轴

6

D.直线y=—x是曲线＞=/(x)的切线

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

(2兀\(47iA4兀

【详解】由题意得：/I—l=sinl—+I=0,所以7+0=阮，kuZ,

47T

即。=--1+尿卡eZ，

2兀

又0＜夕＜兀，所以左=2时,(p=一故/(%)=sin

3

当小用时,

对A,由正弦函数y=sinM图象知y=/(x)在

5兀)

0,——上是单调递减;

12J

对B,当xe由正弦函数y=sini/图象知y=/(无)只

有1个极值点，由2x+?解得变，即x=2为函数的唯一极值点;

321212

7兀2717兀7

对C,当x="时，2x+」=3兀，/(—)=0,直线x=一不是对称轴;

6366

2兀=一1得：cosf2%+^

对D,由y'=2cos|2x+

2

2兀2兀2兀4兀

解得2x+'='+2标或2X+'="+2E#£Z,

3333

兀

从而得：X=析或》=—+析，左eZ,

(也、

所以函数V=〃x)在点0,3处的切线斜率为左=yL°=2cosg=-1,

I2)

切线方程为：y—[=—（X—0）即y=1—X.

故选：AD.

10.已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2.（P〉0）焦点歹的直线与C交于4,8两点,

其中/在第一象限，点M（p,0）,若|/尸|=|/"|,则（）

A.直线的斜率为26B.\OB\=\OF\

C.M5|＞4|（2F|D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【解析】

迎），再由斜率公式即可判断A选项;

【分析】

2

表示出直线48的方程，联立抛物线求得，即可求出目判断B选项；由抛

物线的定义求出|48]=书即可判断C选项；由。7历＜0，疝.砺＜0求得乙408,

ZAMB为钝角即可判断D选项.

【详解】

对于A,易得尸（弓,0）,由厂|=可得点人在同心的垂直平分线上，则A点横坐标

P

为]+夕=32，

2-T

代入抛物线可得/=20・子=|02,则z（子，浮），则直线48的斜率为

瓜p

-------=2^/6，A正确；

3£_£

42

对于B,由斜率为26可得直线的方程为,联立抛物线方程得

2后2

户京勿一/=0,

2

设3（再,弘），则+则乃=一翅，代入抛物线得娓P、

-2p-x,

263x

对于C,由抛物线定义知：|/理=与+《+'=答＞22=4|。产|,C正确;

对于D,3•丽=（芳，季）•耳，—字）=彳（+冬・［等＞一斗＜0,则

44QB为钝角，

则乙4MB为钝角,

又4O8+Z^Affi+NG!^/+NOBM=360°，则/04^+/03"<180°，D正确.

故选：ACD.

11.如图，四边形4BCD为正方形，助_L平面4BCD,FB//ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E—NCZ）,F-ABC,尸-4CE的体积分别为、,%,乙,贝U（）

E,

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=匕+匕D,2匕=3匕

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由体积公式计算匕,右,连接助交力C于点连接EA/,R0,由

匕=叱一皿+七一皿计算出匕，依次判断选项即可.

设AB=ED=2FB=2a,因为EZ>_L平面48CD,FB||ED,则

VX^EDS^ACD=：2。。（2。）2=：/,

23

V2^-FBS^c-|a|（2o）=|a,连接助交幺C于点M,连接易得

BDLAC,

又E0_L平面4BCD,/Cu平面48CD,则即INC,又EDCBD=D,ED,BDu平

面BDEF,则4C_L平面出历尸，

又BM=DM=LBD=4ia,过尸作尸G_LD£于G,易得四边形BDG尸为矩形，贝！|

2

FG=BD=2>/2a,EG=a,

则EM=J（2a,+（缶/=&FM=,?+（.j=瓦，EF=.+Q扬）『=%,

22

EM'+FM=EF^则S^EFM=^EM-FM=^a,AC=2®a，

EFM+-C—EFM=^AC-S^=2a3,贝IJ2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B

则匕=%.FM

错误；C、D正确.

故选：CD.

12.若x,>满足必+/-孙=1,则（）

A.x+v<lB.x+y>-2

C.x2+/<2D.x2+/>1

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为券]（a]fR）,由必+/一町=i可变形为,

（》+了）2—1=3盯<3[^1^），解得—24》+了42,当且仅当》=了=—1时，》+了=—2,

当且仅当x=y=l时，x+v=2,所以A错误，B正确；

22

由3+/一个=i可变形为（4+/）—1=中4苫，解得/+/42,当且仅当

X=y=±l时取等号，所以C正确；

因为1+/—町=1变形可得卜—s+|y=i,设x-上=cos6,@y=sin©，所以

22-

12

x=cossin0,y=-j=sinO,因此

x2+y2=cos20+—sin23+sin3cos0=\+sin23--cos20+—

"3百V333

=y+-sin^20--je-,2,所以当》=—_,^=——g■时满足等式，但是V+VNI不

成立，所以D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布NQ,。?)，且尸(2<XK2.5)=0.36,贝ij

P(X>2.5)=.

7

【答案】0.14##—.

50

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为X〜N(2,〃)，所以尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

14.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【解析】

【分析】分x〉0和x<0两种情况，当x〉0时设切点为(x(),lnxo),求出函数的导函数，

即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线

方程，当x<0时同理可得；

【详解】解：因为y=ln|x|,

当x〉0时y=lnx,设切点为(毛，拈叫))，由_/=,，所以"仁演=工，所以切线方程为

j-tax0=—(x-x0),

又切线过坐标原点，所以一如玉)=—(-x0),解得/=e，所以切线方程为y-l=L(x-e),

/e

1

即nny=­x；

e

当x<0时y=ln(-x),设切点为(Xi，ln(—xj),由_/=',所以所以切线

X

方程为y—ln(—xJ=L(x—xJ,

X1

又切线过坐标原点，所以-ln(-=xj,解得再=-e,所以切线方程为

y—1——(x+e),Bpjv——x；

-ee

故答案为：y=­x；y=--x

ee

15.设点4(—2,3),3(0,。)，若直线ZB关于丁二a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1

有公共点，则Q的取值范围是.

【答案】

[32J

【解析】

【分析】首先求出点A关于对称点4的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直

线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：4(—2,3)关于y=。对称的点的坐标为/'(—2,2a—3),3(0,。)在直线歹=。

上，

所以H8所在直线即为直线/,所以直线/为了=区二口》+。，即(a—3)x+2y—2a=0；

-2

圆C:(x+3『+(y+2)2=1,圆心C(—3,—2),半径「=1,

依题意圆心到直线/的距离d=JI~—3(ci—3)—4—2QI«1，

"3622

,,13「13一

即(5—5。)一<(a—3)~+22,解得^三。4万,即ae；

故答案为：~,~

16.已知直线/与椭圆,+：=1在第一象限交于/,3两点，/与x轴，y轴分别交于

N两点，且九W|=26,贝I/的方程为.

【答案】x+V2v-2V2=0

【解析】

【分析】令48的中点为E,设2(芭,弘)，B(x2,y2),利用点差法得到《E•e,

设直线/3：丁=履+加，k<0,m>0,求出M、N的坐标，再根据W〃V|求出女、加，

即可得解;

【详解】解：令43的中点为瓦因为所以=

丫2222

设幺（X1,必），3（X2，%）,则工+"=1，2+匕=1,

6363

所以江一江+五一这=0,即—+X2）।（乃+%）（1「%）=o

663363

（必+必）（必一%）11

所以:;=一:;,即自七次.:一，设直线数二=布+加，左<0,m>0,

OEM

（x1-x2）（x1+x2）22

令x=0得y=〃?，令y=0得X=—即"J?,o],N（0,m）,所以

k\k）\2k2）

m

即左x」一=一1,解得后=-也或无=也（舍去），

m222

2l

又=即|加|=小/7（"»）2=2若，解得m=2或机=—2（舍去）,

所以直线48:y=-在x+2,即x+岳一2夜=0；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.已知｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且的-d=。3-.

（1）证明：%=4；

（2）求集合｛1也=%,+佝,1«加<500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）9.

【解析】

【分析】（1）设数列｛%｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;

（2）根据题意化简可得加=2"2,即可解出.

【小问1详解】

%+d_24=a1+2d-4bl,即可解得，b[=ag,

设数列｛4｝的公差为d,所以,】=

q+d—2b、=8b]—(%+3d)

所以原命题得证.

【小问2详解】

由（1）知，b1=%=g

所以为=%,+%o2X2*T=%+(加—1"+aA,即2"1=2m，

亦即加=2^6[1,500],解得2<k<10,所以满足等式的解k=2,3,4,…,10,故集合

{k\bk=am+«1,l<m<500}中的元素个数为10—2+1=9.

18.记△48。的内角B,C的对边分别为Q,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角

形的面积依次为S„s2,s3,已知S1—邑+邑=乎,sinB=；.

（1）求A/BC的面积；

（2）若sin/sinC=注，求江

3

【答案】（1）—

8

⑵I

【解析】

【分析】（1）先表示出E，$2,$3,再由S「邑+^=g求得/+°2—尸=2,结合余弦定

理及平方关系求得因，再由面积公式求解即可;

（2）由正弦定理得一£—=—即可求解.

sinBsin4sinC

【小问1详解】

由题意得H=--a2.32ss/冷,则

12242434

„„„C2也g出2拒

S,—S,+SR——a---bH---------c——，

1234442

22_r2

即/+02—尸=2,由余弦定理得cos5="+C—”,整理得accos8=l,则cosB>0,

2ac

Xsin5=-

3

同MR_i口丫_2后_1_3V2_1.R_V2

贝IIcos5—（1———------,uc----------,贝」SADC=—acsinB-;

4[⑴3cos54-28

【小问2详解】

3V2

由正弦定理得：上-ac„,b1acac

_____则-----=----------=---------则

sin5sin/sin。'sin2Bsin4sinCsinsinCV24

3

---——,b=-sinB=—.

sin5222

19.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本

数据的频率分布直方图：

频率/组距

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区

总人口的16%.从该地区中任选一•人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病

的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，

精确至1)0.0001).

【答案】(1)47.9岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设2={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式

P(Z)=1-P(1)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【小问1详解】

平均年龄%=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

【小问2详解】

设Z=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)),所以

尸(Z)=1-P(J)=1-(0.001+0.002+0.006+0,002)x10=1-0.11=0.89.

【小问3详解】

设3="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病

则由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,尸(51C)=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

P(C\B)=®:P©P(BIC)=0Q01X023=°°。］4375・0.0014.

P(B)P(B)0.16

20.如图，P。是三棱锥P—48。的高，PA=PB,£是的中点.

(1)证明：。£//平面P/C；

(2)若N48O=NCSO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—/£—5的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵U

13

【解析】

【分析】(1)连接8。并延长交AC于点。，连接CM、尸。，根据三角形全等得到OA=OB,

再根据直角三角形的性质得到AO=DO,即可得到O为AD的中点从而得到OEHPD,即

可得证；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同

角三角函数的基本关系计算可得.

【小问1详解】

证明：连接8。并延长交/C于点。，连接。4、PD,

因为P。是三棱锥P—45。的高，所以平面45C,/。,B。u平面48C,

所以P。，/。、POA.BO,

又PA=PB,所以2。4=APOB,即。4=08,所以NO/5=NOA4,

又A5L/C,即Z8/C=90°,所以/。/8+/04。=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以N0£U=NCM。

所以Z0=£>0,即/。=。。=。8,所以。为3。的中点，又E为PB的中点，所以

0EHPD,

又。£</平面R4C,PZ)u平面上4C,

所以。£〃平面上4C

【小问2详解】

解：过点A作出〃OP,如图建立平面直角坐标系，

因为PO=3,AP=5,所以0/=飞AP?-PC2=4，

又/OBA=/OBC=3。。,所以5。=2。/=8,则/D=4,AB=46，

（4a0,0）,尸（2①2,3）,0（0,12,0）,

贝ijAE—,AB=卜力,0,0）,*=（0,12,0）,

n-AE=3百x+y+—z=0

设平面/E8的法向量为〃=(x,y,z),贝卜2，令z=2,则

n-AB=4gx=0

y=-3fx=0,所以〃=（0,-3,2）；

m-AE=3V3(2+Z?+—c=0

设平面AEC的法向量为m=（。,仇。），则_2

玩・X=126=0

令〃=百，则c=—6,b=0,所以浣二（百,0,一6卜

/一-\n-m-124也

所以3色加）=丽二;B^T-万.

设二面角C-AE-B的大小为，,则|cosq=cos(〃,〃“=—^

所以sind=Jl—cos2e=—,即二面角C—/£—5的正弦值为

1313

22

21.已知双曲线C:二-4=l（a>0,6>0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y=±Jix.

ab

（1）求C的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于4,2两点，点？（国,%）,0（%2，>2）在C上，

且西〉马〉0,%〉0.过尸且斜率为-百的直线与过。且斜率为V3的直线交于点M从下

面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A8上；②PQ〃AB：③13|=|A©

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2

【答案】（1）——2L=i

3

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用焦点坐标求得C的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用c

的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线N8的斜率存在且不为零，设直线的斜率为出”（%,%）,由

只小2

③=1团团等价分析得到％+00=4；由直线和Q0的斜率得到直线方程，结

k-3

合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线P。的斜率加=£,由②尸。//48等价转化为

@o=3x°,由①M在直线N8上等价于仇=左2（毛-2）,然后选择两个作为已知条件一个作

为结论，进行证明即可.

【小问1详解】

右焦点为/（2,0）,.\。=2,：渐近线方程为3；=±6》，，2=百，，6=64，

a

2

c=a2+62=4a2=4,「・Q=1,b—y/3•

；.C的方程为：/—二=1；

3

【小问2详解】

由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线N6的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段N8的中点，假若直线48的斜率不存在，则由双曲线的对称

性可知”在x轴上，即为焦点此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而西=々，

己知不符；

总之，直线46的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为七直线48方程为>=左（X—2）,

则条件①M在Z3上，等价于%=左（七-2）=Ay。=/（％-2）；

两渐近线的方程合并为3——/=o,

联立消去口并化简整理得:伊-3卜2-4/尤+4公=0

设/（%3，%）,3（三,居），线段中点为N（即,yN\则

设Mix。,%）,

则条件③等价于（/_%）2+（%-%）2=卜。-乙）2+（%-%）2,

移项并利用平方差公式整理得：

(X3-X4)[2X0-(X3+%)]+(%-=)[2%-(乃+刈=0,

[2X0-(X3+1)]+%%[2y0-(y,+>4)]=C,艮|]尤0-XN+左(了。一NN)=0,

了3—%

即/+纵=正；

由题意知直线PM的斜率为-G，直线QM的斜率为