高考数学复习 第八章 立体几何

第八章立体几何

第1节空间几何体的结构、三视图和直观图

对应学生用书P179

考试要求

1.了解各种空间几何体的结构特性.

2.能根据三视图还原出空间几何体.

3.理解斜二测画法，掌握直观图与实际图形的比例变化.

知识结构基础全通关

一、空间几何体的结构特征

1.简单多面体的结构特征

相交于延长线交于

侧棱

但不一定相等一点

侧面

____

形状

2.旋转体的结构特征

名称图形母线轴截面侧面展开图

互相平行

且相等，

圆柱矩形矩形

______于

底面

相交于

圆锥

延长线

圆台交于

三视图画法规则:长对正、高平齐、宽相等

斜二测画法：

(1)原图形中x轴/轴N轴两两垂直，直观图中x轴j轴的夹角为45°(或135°),z轴与x轴和y轴所在平面

直观图--------

(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍，平行于X轴和N轴的线段在直观图中保持原长度_

_，平行于y轴的线段在直观图中的长度为_____________.___________________________

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系:S直观图4s原图形,S原图形=2或S直观图•

自我诊断

1.判断下列结论是否正确.(对的打4”,错的打“?)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)用斜二测画法画水平放置的工力时，若/力的两边分别平行于x轴和y轴，且/4=90°,则在直观图中,/4=90°.()

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()

(5)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.()

(1)*(2)*(3)*(4)*(5)*

2.(教材改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为.(填写所有正确的序号)

自住面。0

①②③④⑤

由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.

3.如图所示，已知长方体被截去了一部分，截去的几何体是三棱柱，其中日||力。则剩下的几何体是().

A.棱台

B.四棱柱

C.五棱柱

D.简单组合体

C

由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.

4.正的边长为3,建立如图所示的平面直角坐标系X。则它的直观图的面积是

解析

（对平面图形的直观图与原图面积之间的关系不清楚致错）画出坐标系xO”作出以048的直观图。为夕［如图），。为。均的中点.

易知D叫D凤D为04的中点）,

..S-O'A8苫>^S-OAB=^洋岸专岸.

5.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为（）.

A.8B.12C.16D.20

B

解析

dC,

由多面体的三视图得该多面体是一直四棱柱如图,48102,441=2,4411平面力庆》,

•:该多面体的体积1/§人4+2）或或=12.故选B.

突:n考点题型命题全研透

考点一空间几何体

命题角度1结构特征

有下列说法：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱;

③存在每个面都是直角三角形的四面体；

④棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确的说法是一..（填序号）

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等;②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧

棱，又垂直于底面;③正确，如图，正方体43Goi中的三棱锥G-49G四个面都是直角三角形;0正确,由棱台的概念可知.

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧:（1）熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下，变换

模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，依据题意判定.（2）通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一

个反例即可.

感悟实践

有以下结论：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确结论的个数为（）.

A.OB.1C.2D.3

B

①错误，若这条边是直角三角形的斜边，则得不到圆锥;②错误，只有以垂直于两底的腰为轴旋转一周所得的旋转体才是圆

台;③正确;❷错误，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.

命题角度2直观图

【例2】

Z

有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）/28。=45。,48J。=1,。28。,则这块菜地的

面积是.

24

过点£作4E18C于点日图略），

在RVM8E•中，£8=1.££■¥.

而四边形力EC。为矩形

.\EC=AD=A.

,：BC=BE+EC4+r

由此可还原直观图如图所示.

在原图形中,/4。士1,23'2夕，考*,且4。||8。4815。

.:这块菜地的面积S^A"D'+B'CYAB'^A*号）或=2哆

（1）画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”（两坐标轴成45。或135。）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平

行于x轴和z轴的线段长度不变）来掌握.对直观图的考查有两个方向,一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形

中的相关量.

（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系:S直观图4s原图形.

感悟实践

若&48G是边长为a的正三角形，且"li&C是的直观图，则△工8c的面积为

如图，在Tq。中，由正弦定理得二5。）：20。，得x言a,.SAB*xax瓜a丹卓.

命题角度3展开图

（2018年全国倦）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点〃在正视图上的对应点为A

圆柱表面上的点AZ在左视图上的对应点为民则在此圆柱侧

面上，从点用到/V的路径中，最短路径的长度为（）.

A.2V17B.2V5C.3D.2

B

先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M/V的位置如图。所示.

介、、.

o4NP

图①图②

圆柱的侧面展开图及点例/V的位置（/V为的四等分点）如图②所示,连接例V,则图中例/V即点例到点/V的最短路

径.：ON=K6R,OM=2,.:MNZOM2+ON2022+42=2隗.故选B.

4

通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题:（1）求几何体的表面积或侧面积;（2）求几何体表面上任意两个点的最短表面距

离.

感悟实践

如图,已知正三棱柱/8C-48&的侧棱长为方,底面边长为。一只蚂蚁从点工出发沿每个侧面爬到点4,路线为4>%心4,则蚂

蚁爬行的最短路程是（）.

C,

A.Va2+9b2

B.V9a2+b2

C.V4a2+9b2

D.Va2+b2

A

由题意知,正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3。宽为a则其对角线44的长为最短路程，因此蚂蚁爬

行的最短路程为、。2+9b2.故选A.

考点二三视图及其应用

已知一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥最长的棱长为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.V5B.V6C.2V2D.x/10

答案C

由三视图可知，该几何体如图所示,84±底面48。。,24=2,底面是一个直角梯形，其中BQiAD,AB±AD,BC=AB=1tAD=Q.^

知其最长的棱长为尸。=722+22=2%.故选c.

由三视图还原几何体的步骤

定底面彳西蔽函函标由赢拓决

定棱及侧J根据正（主）、侧（左）视图确定几何体

泄侧棱与侧面的特征

匪痣视酉而鹿皮前买甄的天花:福.

定吆状:定几何体的形状

感悟实践

1.（2023•安徽合肥三模）如图，已知网格纸中小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为

A.4V3B.4V2C.8V2D.8

A

由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图中的四棱锥P-ABCD,

因为

28N,8C=V42+42=4V2,CD=4,AD=^/42+42=472,4-(4g2H®PB7平+磨工gPg®+42N9尸DN,所以该

几何体最长棱的长度为4V3.

2.（2023•陕西西安模拟）已知某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图①所示，它的俯视图的直观图是&£目。如图②所示，其中

。3'=。&。'。'^^则该几何体的表面积为（）.

A.36+12V5B.24用V5

C.24+12V5D.36*8x/3

C

由俯视图的直观图,可得几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是4b，由正（主）视图和侧（左）视图知，该几何体是三棱锥,

如图所示，其中SAL平面48C,54=6,△08,△弘。都是直角三角形，所以S⑹8=S3cgs4X8弓*6MK2,又ASCB是腰长为2g,

底边长为4的等腰三角形，其面积为而扃^邙百，所以该三棱锥的表面积为24+12V1故选C.

训练逐点排查素养快提升

对应《高效训练》P70

叶基础过关

1.下列说法中正确的是（）.

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有几何体的表面都能展开成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

B

棱柱的侧面都是四边形,A不正确;正方体和长方体都是特殊的四棱柱,B正确;不是所有几何体的表面都能展开成平面图

形，例如，球不能展开成平面图形,C不正确;棱柱的各条棱并不是都相等，但棱柱的侧棱都相等,D不正确.

2.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在耳。》平面上，则圆柱的高应画成（）.

A.平行于z轴且长度为10cm

B.平行于n轴且长度为5cm

C.与z轴成45。且长度为10cm

D.与z轴成45。且长度为5cm

A

平行于Z轴（或在Z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.

3.

如图所示，这个正方体（从正前方看到数字4,从右边看到数字6,从上方看到数字8）的展开图可能是下面四个展开图中的（）.

ABCD

A

由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点,而选项B,C,D中，经过折叠后，含有4,6,8的数字的

三个面不相交于一点.故选A.

4.如图，这个三视图对应的几何体是（）.

A.六棱台

B.六棱柱

C.六棱锥

D.六边形

C

根据三视图的特征可知C正确.

5.等腰三角形力8c的直观图可能是（）.

A.①②B.②③C.②⑷D.③。

D

由直观图的画法可知，当NXOV'95。时，等腰三角形48c的直观图是④;当35°时，等腰三角形28。的直观图是

③.综上，等腰三角形的直观图可能是③@故选D.

能力提升

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（

A.2nB.4nC.6nD.等

B

根据几何体的三视图可得，该几何体的直观图是底面边长为1的正方形，高为企的四棱锥，如图所示.设外接球的半径为/?,

则（2Q2F2X2式迎）2,.：阳,故S球N1TX12NTT.故选B.

rTo7)A7

水平放置的A/8C的直观图如图所示，已知厕48边上的中线的实际长度为.

2.5

根据斜二测画法的规则及直观图可知，原平面图形为直角三角形，且RC=4C'=3,HC=2夕CN,所以

所以4后5,故48边上的中线长为手g=25

俯视图

高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三

棱柱的体积的.

1

由侧视图、俯视图知该几何体是高为2,底面积为"或N2M）=6的四棱锥，其体积为g或4=4.易知直三棱柱的体积为8,则

该几何体的体积是原直三棱柱的体积的宏

g思维拓展

9.一个多面体的直观图及三视图如图所示，例/V分别是268C的中点.请把下面几种正确说法的序号填在横线上.

俯视图

①平面CDEF,

②BELAO,

③该几何体的表面积为12*472;

④该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在球面上）的体积等于48m

由题意可知几何体是放倒的直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为2,三棱柱的高为2,该直三棱柱可以看成是正

方体被对角面截成的两个三棱柱之一.

：〃,/V分别是458C的中点，.:用MEG

又£8平面CDEF,MM平面CDEF、

■:例M平面。£沱£故。正确.

易知8E与平面力8c不垂直,8E18G

.££"不能垂直2G故②不正确.

:该几何体的表面积S=2或+2或+2或或卓2或&=12-2故3正确.

:该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在球面上）的体积，就是棱长为2的正方体的外接球的体积，.:外接球的半径

/?弓或百国^,.：外接球的体积吟口*（75）3=4611,故@正确.

第2节空间几何体的表面积与体积

对应学生用书P182

考试要求

1.理解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式,并能用公式解决实际问题.

2.会用公式计算旋转体的表面积与体积.

知识结构基础全通关

一、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

二、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何体

柱体(棱柱和圆柱)S表面积=SUJ+2S底片6底力

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底修衿亡八

5麦面产畤S上+S"

台体(棱台和

圆台)SM+SH+S、Js上S下）/?

4

球S=JJ片£

9招展

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

2.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a球的半径为R

①若球为正方体的外接球，则

②若球为正方体的内切球，则2R=a,

③若球与正方体的各棱相切，则2R』a.

(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为外接球的半径为一则2/?=Va2+b2+c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3.1.

自我诊断

1.判断下列结论是否正确.(对的打错的打“*)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()

(2)球的体积之比等于半径比的平方.()

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()

(4)已知球。的半径为尺其内接正方体的棱长为a则/?岑a()

（D*（2）*（3W（4），

2.（教材改编）在八/8C中18c=150°,若将，38c绕直线8c旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）.

旋转

体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，作出简图，如图所示，则3=2,所以旋转体的体积为grr或2NOC-OS）哼.

3.（2023・湖北模报）已知一个直三棱柱的高为2,如图,其底面48c水平放置的直观图（斜二测画法）为A48'C：其中ON'=O'8'=O'C'=1,

则此三棱柱的表面积为（）.

B'/O'

A.4MV2

B.8MV2

C.8MV5

D.8电后

C

由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中04X08-200=2,所以45F。=花,所以此三

棱柱的表面积5=2与或*2*2+2通）或左乂的.故选C.

0Cx

4.（2023•湖南模拟）已知平面。截球。所得截面圆的半径为1,球心。到平面。的距离为四，则此球的体积为（）.

A.V6TTB.4V3TTC.4V6TTD.6X/3TT

B

设球的半径为/?,由球的截面性质得

/?=J(而二工印用所以球的体积Y11■用

突因考点题型命题全研透

考点一几何体的表面积

(2021年全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30TT,则该圆锥的侧面积为.

39TT

如图，

.圆锥的体积IZ^TT-6277=30TT,

.3,.:A/PR=j€)z+62考,

：S®=TT/7=n-*6*y=39TT.

部同源改编“

若将条件“其体积为30TT”改为“过该圆锥的顶点的圆锥的截面面积的最大值为粤”，则该圆锥的侧面积为

o----------------

39TT

若该圆锥的轴截面的顶角为锐角，则过该圆锥的顶点的圆锥的截面面积的最大值为轴截面的面积，所以或/喈.因为

/所以力塔.因为尹1,所以此时该圆锥的轴截面的顶角为钝角，这与该圆锥的轴截面的顶角为锐角矛盾，所以该圆锥的轴截面的顶

角为直角或钝角.所以过该圆锥的顶点的圆锥的截面面积的最大值为次i吟《，即［普，所以片,故该圆锥的侧面积为

S=TT〃=391T.

空间几何体表面积的求法

(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.

(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.

(3)简单组合体:应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补.

(4)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表

面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积.

感悟实践

已知圆锥的顶点为S,母线S4,S8所成角的余弦值为与圆锥底面所成的角为45。.若&S48的面积为5S后,则该圆锥的侧面积

为

40\/2n

因为母线SZ与圆锥底面所成的角为45°,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半径为。则母线长/Rin在

△S48中,cos"S8q所以sin〃S8岑.

因为△斗台的面积为5V15,^SA-SBsinzASB^-*V2r*V2r*^=5x<15,

2Zo

所以"NO,故圆锥的侧面积为TT/Z=TZTT/2=4OV2TT.

考点二几何体的体积

命题角度1直接法求体积

（2022年全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2TT,侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为1/

$甲”

甲和/乙.若［=2,则厂）.

乙乙

A.V5B.2V2C.V10D邛

4

C

如

图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为乃理，高分别

为/M也,

则2TmNTT,2TT〃=2TT,解得乃=2,々=1,

由勾股定理可得力^疗1=2鱼，

.襄聿生诉.故选C.

v乙扣物

计算柱体、锥体、台体的体积,关键是根据条件求出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面,将空间

问题转化为平面问题求解.

感悟实践

正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为（）.

A.蜉B.56V2C.28&D.竿

D

如图,设上、下底面的中心分别为。。过点自作81ML08于点例则口岳=2或所以该棱台的高

N22M2H22x42）考与故选D.

命题角度2割补法求体积

如图所示，已知多面体尸G中,28,4G4?两两互相垂直，平面49al平面'G,平面5"）|平面

4?GC,Z8=4?=0G=2dC=E7M，则该多面体的体积为.

4

图①

（法一:补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图。所示，将多面体补成棱长为2的正方体，所以所求多面体的体积

即该正方体体积的一半.又正方体的体积1/正方体邙，故所求几何体的体积为1/多面体48CO£FGg*8=4.

（法二:分割法）由题意知，几何体有两对相对面互相平行，如图②所示，过点。作CH177G于点H连接即把多面体分割成一个

直三棱柱和一个斜三棱柱BEF-CHG.

图②

由题意知，1/三棱柱DEH-ABC=S--DEH-AD=x2x1）或=2.故所求几何体的体积1/多面体

ABCDEFG=Q.-^2=A.

若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.

“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时,把不完整几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或将一个复杂的几何

体置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形和还原补形.对于还原补

形，主要涉及台体中“还台为锥”.

感悟实践

（改编）《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》

卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面

是铅垂面，下宽工4=3m,上宽BDNm,深3m,平面89EC是水平面,末端宽CE=5m,无深，长6m（直线CE到BD的距离），则

该羡除的体积为（）.

A.24nrPB.30m3C.36m3D.42m3

C

如图，在8。,Cf上分别

取点夕C使得BB工CC'3m,连接8c则三棱柱48cde'C是直三棱柱,该羡除的体积片/三梭柱的wm+l/四梭键上

3'0fC'=｛必的)*3+^*竽*6)叼=36(m3),故选C.

命题角度3等体积转换法求体积

（2023・江西联考）

如图,正方体43CO-43IGQ的棱长为1,E尸分别为线段44,3C上的点，则三棱锥Q-EOF的体积为

6

因为点£在线段/Wi上，所以SDED1^xi叼§又因为点尸在线段5c上,所以点尸到平面DEDy的距离为1,即加1,所

以力，。”，."力片切4.

利用“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借

助体积的不变性解决问题.

感悟实践

（2023•广西柳州联考）如图所示，已知三棱柱48C-48cl的所有棱长均为1,且底面为8C,则三棱锥8-26G的体积为（）.

A虫B-C—D—

%2D,4U,12U'4

A

三棱锥By-ABC,的体积等于三棱锥438G的体积，三棱锥A-BxBCy的高为今底面积为宏故其体积为躬衅吟故选A.

训练素养快提升

对应《高效训练》P71

回基础过关

1.（2023•肥城调研）

FC

在《九章算术》中，将两底面为直角三角形的直棱柱，即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状（48=8。容器，给其

装满水，当水量使用了一半时，水面高度占28的（）.

A.jB.iC.竿D.y

C

水的体积就是堑堵体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高,高没变，底面积变为原来的一半，因为底面是等腰直角三角形,

所以边长变为48的苧，所以水面高度占08的蜉，故选C.

2.棱长为2的正方体的内切球的体积为（）.

A.4TTB.167TC.yD.等

c

由正方体的性质可得，正方体的内切球的半径/?与引

二球的体积l/gn舟号，故选C.

3.（2023•淮安模拟）用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（）.

A.1B.V3C.2D.6

B

半圆的弧长2TT等于圆锥的底面圆的周长，故底面圆的半径为1,圆锥母线为2,故高为企寸W5.

4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为Oi,Q,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

（）.

A.12V2TTB.12TT

C.8企TTD.10TT

B

根据题意，可得截面是边长为2e的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的高为2及，且底面是半径为企的圆，所以其表面

积S=2TT*（V2）2*2TT*V2*2V2=12TT.

阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家，其墓碑上刻着一个“圆柱容球”

的几何图形，如图所示.在该图形中，圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积的比值和球的

表面积与圆柱的表面积的比值分别为（）.

A翔1B翔1

C翔?

D

由题意知,圆柱底面半径等于球的半径/?,圆柱的高加2尺

v

:I/球净仃斤，I/圆柱=TT肝・2/?=211斤,.土专

Z柱3

又S球二4111,5圆柱=211尸+211/?2/?=611不，

$球2

二44故选口.

圆柱

6.（2023・厦门模拟）如图,这是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，如果一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点2

处，沿着长方体的表面到达与2相对的顶点8处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长度为（）.

A.V97cm

B.V85cm

C.9cm

D.（3+2V13）cm

B

第一种情况:把看到的前面和上面组成一个长方形,如图①所示,

_______B

3

A4

图①

则这个长方形的长和宽分别为9和4,所以所走的最短路径为，92+42M由(cm).

第二种情况:把看到的左面与上面组成一个长方形，如图②所示，

则这个长方形的长和宽分别为7和6,所以所走的最短路径为V72+62f旗(cm).

第三种情况:把看到的前面与右面组成一个长方形,如图③所示,

则这个长方形的长和宽分别为10和3,

所以所走的最短路径为、1。2+3271丽(cm).

故选B.

7.(2023•昆明模拟)2021年5月15日7时18分，我国首个自主研发的火星探测器“天问一号”，携带着“祝融号”火星车及其着陆组合体,

成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破.已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的两倍，地

球自转一周为24小时,而火星自转一周约为25小时.地球与火星均视为球体，则火星的表面积约为地球表面积的().

A.27%B.37%

C.47%D.57%

A

令地球、火星半径分别为凡则誓=2嘤，故则写=27%,

N4NSA41rA

所以火星的表面积约为地球表面积的27%.故选A.

8.一个正方体挖去一个多面体后，剩余几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则挖去的

多面体的体积为().

A.8B.2C.4D.1

D

解析

将三视图还原可得右图,挖去的多面体为正四棱锥,

..其体积14=1x2*2-*2

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5

cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.

1275T

螺帽的底面正六边形的面积5与甘或2咫m60°=6百(cm2),正六棱柱的体积口与遮或』2魂(cm3),圆柱的体积

%=nQ52或苫(cm3),所以此六角螺帽毛坯的体积%无以二(I27ljcm3.

10.(2023•广州模拟)已知一个圆台的母线长为5,且它的内切球的表面积为16TT,则该圆台的体积为.

28TT

圆台内切球的轴截面如图所示，由题意易知四边形28CZ7为等腰梯形，且入。=5,

取48。。的中点连接OQ,则易知球心。为。。的中点，

因为圆台的内切球的表面积为16n,所以圆台的内切球的半径为2,即OIO2=4,

过点。作OELAD,交AD于E,

设。力用;则由圆的切线性质可知AE=Aa=R,DE=DOi=r>

所以R+r=AE+ED=ADW其息。作CF1A8，交48于E

则CF46AFB;R"、CB=AD=R+f

由C尸#力=婚得42彳/?-/)2YN“2,解得R0,

由露之解畔:。

所以圆台的体积V=^nh(F^+R-r+r^)*4*(42*4*12)=28n.

回能力提升

11.已知三棱锥尸48。的四个顶点在球。的球面上,Q4二尸8二户C△48C是边长为2的正三角形,E尸分别是以,28的中

点/CE•户=90。,则球。的体积为().

A.8V6nB.4V6nC.2V6TTD.V1^TT

D

P

£

「PA=PB=PC,△ABC为边长为2的等边三角形，.户-28C为正三棱锥，.户

又：E尸分别为24dH的中点，

..EF^PB,.\EFrAC.

X:EF±CE,CEhAC=Ct.PAC,

••户以平面PAC,

./APB帮°:PA=PB=PCE、

■:尸48。为正方体一部分,.:2/?力2+2+2M后，即用WTT岑W^TT,故选D.

Li5o

12.如图1,这是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）,当这种酒杯内壁的表

面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米,半球的半径为/?厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则/?的取

值可能为（）.

图1

A.扁B.JC.篇D册

C

设圆柱的高为力,酒杯的容积为忆则S3R+2vRh,所以fRh0nR,

所以看口冲+口不力争加（如用）;?=次用号写TT1，解得他底，又小0,所以乃X）,解得月出•所以扁.唔.

故选C.

13.在三棱锥尸Y8C中,尸如底面ABGBCiPCFA=AC4,BC=a、动氤O从点8出发，沿外表面经过棱QC上一点到达点2的最短

距离为VI，则该棱锥的外接球的表面积为（）.

A.5ITB.8TTC.10nD.20TT

B

将侧面PBC沿PC翻折到与侧面外。共面的位置，如图所示.

则动点。从点8出发，沿外表面经过棱尸C上一点到达点力的最短距离为AB,

:公底面/8C23平面ABC,..PAiAC,

又BC±PC,PA=ACt

.:〃有

.-PB^PC2+BC2=^PA2+AC2+BC2=272.

—

取尸8的中点。连接40,CO,如图所示，

.・P4AB、P6BC,.A0=C0WPB,.^、。为该棱锥的外接球的球心，其半径吟PB/、

，,球。的表面积S=4n不=8n.故选B.

14.（2023•长春模拟）半径为/?的球面上有48,C。四点,且直线力民/G47两两垂直，若△48£“1。2乂。8的面积之和为72,则此

球体积的最小值为.

288TT

设AB=x,AC=y,AD=z,

因为直线28,4。,/。两两垂直,的面积之和为72,所以号以＞%=!44,

以为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，

所以4尽次旷必.

因为A2+yi^.2xy,xi+^2xzy+zL^2yz,

所以xy+xz+yz^）^+/+落

所以4乃N144,解得成6,当且仅当F/N时，等号成立，

所以此球体积的最小值为*63=288”.

叶思维拓展

15.在一个棱长为3+2四的正方体内有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切,小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑

动，则小球表面积的最大值是.

组合体的中截面如图所示，易知，当小球的表面积最大时，大球半径/?和小球半径r满足&/?=/?*"V？z;2/?=3+2注,解得

耳，故小球表面积的最大值为n.

16.

如图，四棱台4