热学4-6章复习教材

《热学》期末复习(2013.5-7)第四章分子动理论麦氏分布一、基本概念(熟练掌握)自由度1、三种速率、速率分布图(熟练掌握）二、计算类型和公式=8RTπμ=8kTπmv在计算分子平均动能时用它m=3RTMmol2v=3kTvp=2RTMmol=2kTm2、玻尔兹曼分布(熟练掌握）3、能量按自由度均分定理(熟练掌握）==kTEiiNmol02RT2在讨论速率分布，比较两种不同温度或不同分子质量的气体的分布曲线时用它在计算分子平均自由程、气体分子之间碰撞频率时则用它=MimolM2ERTiPV2=CP=CV+R=(i+2)R/2

=CP/CV=(i+2)/i4、布朗运动5、朗之万方程第四章、麦-玻分布律小结第五章气体输运过程一、基本概念三种输运现象的特点真空度二、计算类型和公式1、分子间平均碰撞频率、自由程(熟练掌握）πnd=122λz=vπkTP2=2d★平均速率和碰撞截面的变化

2、气体分子碰撞的概率分布(掌握）3、三种输运系数(熟练掌握）第五章、小结第六章、液体、固体第七章、相变1、请说明麦氏分布中，在方均根速率附近某一小的速率区间dv内的分子数随气体温度的升高而减少。麦氏分布：方均根速率：在方均根速率附近某一小的速率区间dv内的分子数：它随气体温度的升高而减少过冷蒸汽在时的状态由右图中相图上的点表示，它的熵为。而在点的液体状态的熵为。设已知该液体和蒸汽的比热容分别为和。在压强为时的饱和蒸汽（其状态在右图中以点表示）的温度为，它转变为液体时所释放的凝结热为。试问：（1）由熵来表示在，时的凝结热。（2）点的过冷蒸汽转变为相同温度、相同压强下的液体的熵变是多少?提示：您可以设想这样的变化路径：1，A点的气体改变为B点的气体；2，B点的气体变为B点的液体；3，B点的液体变为A点的液体。整个过程中的熵变应该等于上述三个过程中的熵变之和。2、过冷蒸汽在相图上表示时它处在液体区域中。已经知道在温度和压强分别为时的状态由右图中相图上的点表示,它的熵为。而在点的液体状态的熵为。设已知该液体和蒸汽的比热容分别为和。在压强为时的饱和蒸汽(其状态在右图中以点表示)的温度为,它转变为液体时所释放的凝结热为。试问：(1)由熵来表示在p,T0时的凝结热L(p,T0)。(2)A点的过冷蒸汽转变为相同温度、相同压强下的液体的熵变是多少?

提示:可设想这样的变化路径:1.A点的气体改变为B点气体;2.B点的气体变为B点液体;3.B点的液体变为A点液体。整个过程中的熵变应该等于上述三个过程中的熵变之和。解:（1）

（2）由于在等压过程中吸收的热量

其中L（T0，p）是正常沸点时的相变潜热。由于已假设它大于零，而从液体变为气体是放热的，所以加上一个负号，则即可求得整个过程中熵的改变

3、试证：若认为地球的大气是等温的,则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

〖解〗：若设在海平面处的气体分子数密度为n(0),在球壳体积dV(z)范围内的分子数令RT/Mmg=h称为大气标高,设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子数N为现在来估计kT/mgRE的数量级。设地球大气为平均温度T=273K的等温大气，而且利用(3)式可以看到,(2)式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级,第三项又比第二项小3个数量级。完全可忽略其中的第二项和第三项。显然,用近似方法进行计算要简便得多。这时其中H为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。表示速率在va

vb

之间的速率总和。(1)例4-3：试说明下列各表达式的物理意义。表示速率在v

v+dv

之间的粒子数。(2)表示速率在va

vb

之间的粒子数。(3)例4-4：用总分子数

N,气体分子速率

v和速率分布函数

f(v)

来表示下列各物理量。(1)速率大于v0

的分子数(2)速率大于v0

的那些分子的平均速率(3)速率大于

v0的概率例4-5、试计算分子热运动速率的大小介于vp-vp/100和vp+vp/100之间的分子数占总数的百分数。解:按题意,v=vp-vp/100=99vp/100,v=vp/50引入W=v/vp,把麦克斯韦速率分布律改为如下形式现在W=v/vp=99/100,W=v/vp=1/50,代入上式得

例4-6：气缸有单原子理想气体，若绝热压缩使容器减少一半，问气体分子的平均速率变为原来的几倍？解：绝热过程单原子分子γ=5/3例4-7:设N个粒子的系统的速率分布函数为：>0，NVvKd()=vdv>k为常量()Nd=v0>Vv(1)

画出分布函数图；(2)

用N

和V

定出常量K；(3)

用V

表示出算术平均速率和方均根速率。KNdvvdVvO解：(1)

分布函数如图=ò0ò0VNdvNkvd=v2ò0ò0VNdNkvdv221=13V==ò0ò0VNdNkvdvv2V(3)k=Ndvvd(2)k=NVk=NV∴kNVvOf（v)例4-8:试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能分布，并求出最概然动能，它是否等于mvp2/2

？为什么？解：对于理想气体而言，麦克斯韦速率分布和按平动动能ε的分布是完全等价。即F(ε)dε=f(v)dv中的v以平动动能ε来表示,就得到平动动能的分布。麦克斯韦速率分布:因为ε=mv2/2,dε=mvdv,将之代入上式,可得:要求出最大概然动能只要对上式两边取导数,并且令其等于0.即最大概然速率所表示的动能为:结论：最大概然动能与mvp2/2不相等。麦克斯韦速率分布和按平动动能ε的分布是完全等价的，为什么最概然动能和由最概然速率所表示的动能不相等？实际上，其差异不是来自物理，而是来自数学上。既然F(ε)dε=f(v)dv；而dε不等于dv，则函数形式F(ε)不等于f(v)，它们的导数形式也不相等，所以4-9设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)A;(2)最可几速率,平均速率和方均根;(3)速率介于0-v0/3间分子数;(4)速率介于0-v0/3间的气体分子的平均速率。

解：(1)由归一化条件(2)最可几速率:平均速率:方均根速率:(3)速率0-v0/3间分子数(4)速率介于0-v0/3间的气体分子的平均速率§4-4

麦克斯韦速度分布一、速度空间以速度矢量的三个分量为轴组成的直角坐标系所确定的空间为速度空间。vxvyvzOPvvxvyvz...................................................................................................................................................................................................速度空间的代表点

在vx

vx+dvx

，vy

vy+dvy，vz

vz+dvz区间内划出一个体积为

dvxdvydvz

微分元。微分元中的代表点数目：

代表点：在速度空间，仅以速度矢量的端点来表示这一矢量的点。vzvxvyOdvzdvydvx

dN(vx,vy,vz)速度分布函数：

f(vx,vy,vz)vzvxvyOdvydvx

在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无穷大平板,不管速度

y、z

分量如何,只要速度的x分量在vx

vx+dvx范围内,则所有这些分子代表点都落在此平板中。

f(vx)dvx

为分子x

方向速度的概率分布函数。由相互独立的同时事件概率相乘法则可知：二、麦克斯韦速度分布其中vxf(vx)o麦克斯韦速度分布(velocitydistribution)图线(1)分子按速度分量

vx

的分布图线是一条关于vx=0

值对称的曲线;(2)在相等的速率间隔dvx中，|

vx|

越小的分子所占比率越大。在vx=0

附近的比率最大。三、麦氏速度分布导出速率分布在速度空间中，所有分子速率介于v

v+dv

范围内的分子代表点应落在以原点o为球心，v为半径，厚度为

dv

的一薄层球壳中。球壳的体积为

4πv2dvvyvxvZv+dvOdv麦克斯韦速度分布不考虑气体分子间的相互作用，只适用处于平衡态的理想气体。代表点的数密度

根据分子各向同性的假设，球壳内代表点数为§4-5麦氏速率分布律的应用一、由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数

气体分子碰壁总数等于单位体积内速度在v

v+dv

范围的分子数与体积元体积之积。xOdAvxdtvydtvzdtzy单位时间内碰在单位面积上总分子数为二、气体压强公式气体分子由于碰撞而给予面元dA的总冲量为xOdAvxdtvydtvzdtzyvx＜

0

的分子碰不到面元

dA§4-6

玻尔兹曼分布一、玻尔兹曼分布

麦克斯韦速度分布率麦克斯韦速度分布推广到处于保守力场中的气体。在平衡态，速度在(vx,vy,vz

)

到(vx+dvx,vy+dvy,vz+dvz)，而位置在(x,y,z)到

(x+dx,y+dy,z+dz)范围内的分子数为：

式中:no是在气体分子的势能为零处，单位体积中所包含的各种速度的分子总数;

E=Eｋ

+Ep

为分子的总能量。二、气体分子按势能分布

在坐标区间x

x+dx,y

y+dy,z

z+dz

内具有所有各种速度的分子数为：根据归一化条件，上式积分项的数值为1。

此式即分子按势能的分布规律，是玻尔兹曼分布律的一种常用形式。

①表示分子处于势能较高的位置的概率较小，即分子将优先占据势能较低的状态；

②若在重力场中

P=mgz，则任意高度z

处单位体积内的分子数为：

在势能

P

处，单位体积中具有各种速度的分子数

n

为：

此式即重力场中微粒按高度的分布规律。

大气标高H是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。

在重力场中气体的分子数密度n随高度的增大按指数减小。

n(v)n0

Z/kmO0.20.40.60.81.020406080H2O2

玻尔兹曼分布是普遍的规律。对于处于平衡态气体中的原子、分子、布朗粒子及液体、固体中的很多粒子,一般都可用玻尔兹曼分布(粒子之间相互作用很小可予忽略)。③在温度一定时，大气压强随高度按指数规律减小。

它表示处于平衡态的系统，在两个不同能量状态上的粒子数的比值与系统的温度及能量之差之间有确定的关系。

玻尔兹曼因子表示在一定温度时，分子或粒子处于能量差为E1－E2

两种不同状态上的粒子数密度之比。例4.10：求上升到什么高度时大气压减为地面的75%

？设空气温度为0

C，空气的摩尔质量为2.89×10-2Kg.mol-1。解：例4.11：星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃逸速率与方均根速率之比。其中：大气温度T=290K，地球质量Me=6.0×1024Kg,地球半径Re=6.4×106m。解：设离地球中心无穷远处引力势能为零，则分子逃逸条件：而对于气体分子，其方均根速率为：故两速率之比：气体种类氢气氦气氮气氧气CO2速率之比5.98.322.123.627.7①气体的两速率比愈小表明分子愈容易逃脱地球引力场作用空间;这是大气层中氢气和氦气成份远小于氮气和氧气的原因之一。②由K的表达式知：由臭氧层破坏形成温室效应及植被破坏因素引起的温度升高就会降低地球周围大气K值，从而改变大气结构并影响其稳定性，直接威胁人类生存环境。

例10.用绝热材料制成的容器，体积为

2Vo

，被绝热板隔开A、B两部分，A

内储存1

mol

单原子理想气体，B

内储存2mol

双原子理想气体。A、B

两部分压强相等，均为

Po，两部分体积均为Vo

，试求：(1)

各自的内能UA

、UB

；(2)

抽出绝热板，两种气体混合后处于平衡时，温度为多少？

Po,Vo

TA

Po,Vo

TBP

,2Vo

T解：设两种气体混合前的温度分别为TA、TB气体

A：单原子分子，i=3

，UA=3PoVo/2气体

B：双原子分子，i=5，UB=5PoVo/2

设混合平衡后温度为T

，绝热自由混合过程总内能不变，即：混合前内能=混合后内能

3PoVo/2+5PoVo/2=3RT/2+2

5RT/2所以混合平衡后温度为:

T=8PoVo/13R

例11：有

2

10-3m3

刚性双原子分子理想气体，其内能为

6.75

102J

，试求：(1)

气体的压强

P

；(2)

设分子总数为

5.4

1022

个，求分子的平均平动动能

以及气体的温度

T。解：(1)

设分子数为N，双原子分子i=

5

气体内能：

E=NikT/2

气体压强：P=nkT=NkT/V

P=2E/iV=2

6.75

102/5

2

10-3=1.35

105Pa

=3kT/2=3E/Ni

E=NikT/2

kT/2=E/Ni

气体内能：T=2E/iNk=362K

26.75

1025

5.4

1022

1.38

10-23=(2)

五、经典理论的缺陷和量子理论的定性解释

单原子理论与实际值符合得很好,双原子理论与实际值有明显的差别。低温平动、常温转动、高温振动，经典理论无法解释。量子理论：平动连续，但分子转动、振动量子化。1、振动能量的量子化在一定温度下，系统的N个分子可处在各个不同的振动状态或分布在各个能级上。在低温下，即kT>>hv=∆U时，n1/n0<<1,即n0>>n1，分布在基态。

在温度升高，当kT=hv，T=hv/k=θv时，分子振动自由度被解冻，称之为振动特征温度。2、转动能量的量子化同样可定义转动特征温度：3、实验及量子理论可知双原子分子系统的CV,m(1)0-101K,分子只有平动,

CV,m=3R/2;(2)300K,分子只有平动+转动,

CV,m=5R/2;(3)750K以上,分子只有平动+转动+振动,

CV,m=7R/2;对于多原子分子构成的气体，应根据实验事实和量子理论作相应地修正。振动转动平动T/KCV,m/R03/25/27/22510050010005000氢气CV,m---T曲线§4-8.布朗运动

统计规律特点：稳定性；涨落现象。涨落分为两类：围绕平均值的涨落、布朗运动。布朗运动为分子动理论的基本假设提供了明显的实验证据。爱因斯坦：分子热运动论所要求的静止液体中悬浮粒子的运动。斯莫路乔夫斯大林基、朗之万等。1、爱因斯坦对布朗运动的理论解释（1）布朗运动是持续不断的运动着的液体分子频繁地撞击布朗粒子（花粉）所引起的；（2）这些分子运动是如此复杂，以至只能对它们给布朗粒子（花粉）的影响作概率上描述，而把布朗粒子受它们的撞击看作是统计独立的。

著名的扩散方程：t=0时，N个布朗粒子都集中在x=0的位置，其解：

表示一个粒子处于位移为Δ处单位位移间隔内的概率。设n（x，t）为时刻t、位于坐标x处单位体积内的粒子数，则在t+τ时刻，位于x处单位体积内的粒子数为2、朗之万方程f(t):粘滞阻力-αv;随机作用力F(t)

(1)描述布朗运动当不存在其它外力时F’(t)=0，朗之万方程为

与t成正比是随机过程的典型结果如果假设所有的粒子在t=0时都处在x=0，即x描述颗粒的位移，便得C2=0涨落耗散定理是接近平衡态的非平衡理论的重要内容：接近平衡但又处于不平衡的系统中有三种最基本的过程，这就是趋向平衡、线性输运和涨落。三种过程本质上密切相关：

（1）假定液体中某处的溶质浓度忽然比附近增高，因而局部偏离平衡，那下一时刻就会产生粒子流使得多余的溶质向浓度低的方向扩散。

（2）扩散流比例于浓度梯度；扩散引起耗散，不过耗散是比例于扩散流平方的二阶效应。

（3）无论局部的浓度增加是由于从外界注入溶质，还是来自内部涨落，随后发生的扩散过程是一样的。这是涨落耗散定理的物理基础。

解:速率分布函数f（v）表示气体分子的速率在v~v+dv

范围内单位速率区间的分子数占总分子数的百分数;即气体分子的速率在v~

v+dv

范围内单位速率区间的概率——概率密度函数。

例1:试述速率分布函数f（v）的物理意义，并说明下列各式的物理意义。

表示气体分子的速率在v~v+dv

范围内的分子数占总分子数的百分率。或气体中任一分子具有的速率恰在v~v+dv

范围内的概率。

表示速率在0~vp

范围内的分子数占总分子数的百分率。

表示气体分子在v~v+dv

速率范围内的分子数表示分子的平均平动动能（m是分子的质量）表示速率大于v

的分子速率平方的平均值

表示分子速率在v1~v2范围内的分子对速率平均值的贡献。

例2：容积为20l

的瓶子以速率V=200ms-1匀速运动，瓶子中充有质量为100g的氦气。设瓶子突然停止，且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能，瓶子与外界没有热量的交换。

求：热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？解：定向运动动能为气体内能增量为按能量守恒应有：i=3（1）（2）（3）（4）

例3：水蒸气分解为同温度T的氢气和氧气，即1摩尔的水蒸气可分解为同温度的1摩尔氢气和1/2摩尔的氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。解：（1）当不计振动自由度时，H2O

分子、H2分子、O2分子的自由度分别为6、5、5

∴1molH2O

内能E1=3RT

1molH2

内能或O2内能E2=5RT/2

△E=（1+1/2）5RT/2－3RT=（3/4）RT

例4：有N个质量为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围的面积的含义（2）由N和v0求a的值；Nf（v）v02v0vOa（3）求在速率v0/2到3v0/2间隔内的分子数（4）求分子的平均平动动能。Nf（v）v02v0vOa解：

表示处于速率v附近单位速率区间内的分子数。（1）曲线下的面积表示系统的分子总数N（2）在0~V0区间在V0~2V0区间得（3）速率在v0/2到3v0/2间隔内的分子数（4）分子速率平方的平均值为分子的平均平动动能为

例5：做布朗运动的微粒系统可看成是在考虑浮力的重力场中达到平衡态的巨分子系统，其数密度n应遵守玻尔兹曼分布律设粒子的密度为ρ，布朗粒子所处的液体密度为ρ0，粒子为半径为r的小球体，证明：粒子所受的合力为

（n1

n2

为高度相距为l的两层中布朗粒子的数密度）根据玻尔兹曼分布律取垂直向上坐标z=0处势能为

高度相距为l

的两层中布朗粒子的数密度n1

n2之间满足下列关系：利用Nak=R

可用实验求出阿伏伽德罗常数

例6：当氢气和氦气的压强、体积和温度都相等时，求它们的质量比和内能比。（将氢气视为刚性双原子分子气体）得由和得解（1）由和

（P、V、T均相同）∴∵

例7：绝热容器中有一定量的气体，初始压强和体积分别为P0和V0

。用一根通有电流的电阻丝对它加热（设电阻不随温度改变）。在加热的电流和时间都相同的条件下，第一次保持体积V0不变，压强变为P1；第二次保持压强P0不变，而体积变为V1，试证明该气体的比热容比证明：电阻丝的电阻不变，且两次加热的电流和时间都相同，据Q=I2Rt

气体两次状态变化过程中从电阻丝吸收的热是相等的，即有

QV=QP

设气体初始温度为T0，第一次加热温度变为

T1，第二次加热后温度变为T2

，则

QV=(M/Mmol)CV(T1-T0)QP=(M/Mmol)CP(T2-T0)

所以(M/Mmol)CV(T1-T0)=(M/Mmol)CP(T2-T0)故§5-1黏性现象的宏观规律；§5-2扩散现象的宏观规律；§5-3热传导现象的宏观规律；§5-4对流传热现象的宏观规律；§5-5

气体分子碰撞及自由程；§5-6

气体分子碰撞的概率分布；§5-7气体输运系数的导出；§5-8稀薄气体的输运过程第五章、分子动理学非平衡态理论§5-1黏性现象的宏观规律？输运过程：当系统各部分的宏观物理性质如流速、温度或密度不均匀时,系统就处于非平衡态,在不受外界干预时,系统总要从非平衡态自发地向平衡态过渡,这种过渡为输运过程。一、层流与牛顿黏性定律？层流：在流动过程中,相邻质点的轨迹彼此稍有差别,不同流体质点的轨迹不相互混杂,这样的流动为层流(层流发生在流速较小时)。u0u=0xdf´dfdAu=u(z)zAB？黏性力：流体作层流时,通过任一平行流速的截面两侧的相邻两层流体上作用有一对阻止它们相对滑动切向作用力与反作用力,使流动快的一层流体减速,这种力为黏性力(内摩擦力)。河流河岸河岸u上层对下层的作用力fu2u1下层对上层的阻力f

对于面积为dA的相邻流体层来说，作用在上一层流体的阻力df´必等于作用于下一层流体df的加速力。?牛顿黏性(viscosity)定律

在相邻两层流体中，相对速度较大的流体总是受到阻力，即速度较大一层流体受到的黏性力的方向总与速度梯度方向相反，故速度梯度即流速在薄层单位间距上的增量。

扭丝悬吊了一只外径为R、长为L的内圆筒,筒外同心套上一只长亦为L、内径为R+δ的外圆筒,内外筒的隔层内装有被测气体,夹层内的空气对B

筒施予黏性力。

A筒保持一恒定的转速ω,B筒相应地偏转一定的角度,偏转角度的大小由附在扭丝上的小镜

M

所反射的光线测得。

从偏转角的大小可计算出黏性力。旋转黏度计:测定气体的黏度而设计仪器ωBAM气体的黏度内圆筒所受到的气体黏性力产生的力矩被扭丝的扭转力矩G所平衡。外桶的线速度：夹层流体的速度梯度：MBAR+δωLR黏性力对扭丝作用的合力矩：所以气体的黏度为：

在单位时间内，相邻流体层之间所转移的沿流体层的定向动量为动量流

dp/dt，在单位横截面积上转移的动量流为动量流密度JP：η

为流体的黏度，1P=1Pa.s：(1)黏度与流体的流动性质有关；流体性好的流体的黏度相对小。(2)气体的黏度小于液体；气体的黏度随温度升高而增加；液体的黏度随温度的升高而减小。？切向动量流密度：二、气体黏性微观机理

长为L，半径为r

的水平直圆管中，单位时间流过管道截面上的流体的体积dV/dt

为体积流率：

常压下气体的黏性就是由流速不同的流体层之间的定向动量的迁移产生的。因此，气体的黏性现象是由于气体内大量分子无规则运动输运定向动量的结果。三、泊肃叶定律四、斯托克斯定律如云雾中的水滴五、非牛顿流体

(1)速度梯度和黏性力间不呈线性关系；

(2)其黏性系数会随时间而变或与流体以前的历史过程有关；

(3)对形变有部分弹性恢复作用。

球体在黏性流体中运动时，物体表面黏附着一层流体，这一流体层与相邻的流体层之间存在黏性力，在运动中需克服这一阻力：§5-2

扩散现象的宏观规律

一、自扩散与互扩散

?扩散:当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象为扩散。

互扩散是发生在混合气体中，自扩散是互扩散的一种特例。它是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过程。ρ大ρ小MΔ

一维粒子流密度JN（单位时间内在单位截面上扩散的粒子数）与粒子数密度梯度成正比。dndz

D为扩散系数，单位为

m2/s；负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散；

若在与扩散方向垂直的流体截面上

JN

处处相等。上式表示单位时间内气体扩散的总质量与密度梯度的关系。二、菲克定律

则通过整个球罐壁单位时间泄漏的氧气量为其中c1和c2分别为氧分子在球罐内、外壁的溶解度。根据Sievert定律，双原子分子气体在固体中的溶解度通常与压力的平方根成正比，即c=Kp1/2因此，单位时间内氧气泄漏量为一个内外径分别为r1和r2的球罐中储存有高压氧气,罐内气压为p1,罐外大气中氧分压为p2。由于氧气泄漏非常缓慢,所以假设p1不随时间变化,达到稳态后,氧气将以一恒定速率泄漏。由菲克第一定律,氧气在球罐壁内的扩散通量为对上式积分，有树叶的水分散失菲克定律在物理学中,且在化学、生物学中重要的应用:每一个生命系统都可分成许多组织,组织由细胞组成,细胞之间及细胞与外界之间都由细胞壁和细胞膜分隔开,较高组织有循环、呼吸和消化等系统,这些系统常常是通过扩散来交换物质的,如在肺细胞中氧移到毛细血管中,毛细血管中CO2进入肺胞,也是通过扩散来进行的.水从植物叶向大气中散发:图为树叶的局部横断面,由图可知,在叶的中层有很多细胞,细胞间有相互联通的空气隙,空气隙通过位于叶背面的气孔与大气相通。互扩散公式表示为：D12为“1”分子在“2”分子中作一维互扩散时的系数。△M

为输运的“1”质量数。(1)扩散系数的大小表示了扩散过程的快慢;(2)若在压强很低时的气体的扩散与常压下的扩散完全不同,为克努曾扩散(分子扩散),如气体透过小孔的泻流就属于分子扩散。

扩散也向相反方向进行，因为在较高密度层的分子数较多，向较低密度层迁移的分子数就较相反方向多。它与流体由于空间压强不均匀所产生的流体流动不同,后者是由成团粒子整体定向运动产生。扩散是在存在同种粒子的粒子数密度空间不均匀的情况下,由于分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量迁移。三、气体扩散(diffusion)的微观机理例5-1:两容器的体积为V,用长为L

,截面积为A

很小的水平管将两容器相联通.开始时左边充有分压为P0的CO和分压为P-P0

的N2所组成的混合气体,右边充有压强为P

的N2

,求:左边容器中分压随时间变化的函数关系。解：

解：

n1,n2

为左右两容器中CO

的数密度从左边流向右边的粒子流率为CO

粒子数守恒，即两边积分，t=0

时，n1(0)=n0

当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度差时就有热量的传输,这称为热传递。

热传递有热传导、对流与辐射。§5-3

热传导现象的宏观规律？热传导：当气体分子各处温度不同时,由于分子无规运动和分子间碰撞,使热量由高温向低温处输运。

单位时间内通过的热量即热流

Q与温度梯度

dT/dZ

及横截面积

A

成正比。.一、傅里叶定律比例系数κ为热导系数，单位为W/(m.K)。

κ由材料性质所决定。负号表示热流方向与温度梯度方向相反，即热量总是从高温处流向低温处。

若引入热流密度JT（单位时间内在单位截面积上流过的热量），则热传导是由于分子热运动强弱程度（温度）不同所产生的能量传递；

在空间交换分子对的同时交换了具有不同热运动平均能量的分子，因而发生能量的迁移。

固体和液体中分子的热运动形式为振动；

温度高处分子振动幅度大，一个分子的振动导致整个分子的振动。

热运动能量就借助于相互联接的分子频繁的振动逐层地传递开去。

二、热传导的微观机理

？对流传热：指借助流动来达到传热的过程。在对流发生时也伴随有热量的传递。分类：对流传热有自然对流和强迫对流。

自然对流中驱动流体流动的是重力。

当流体内部存在温度梯度,出现密度梯度时,较高温处流体的密度一般小于较低处流体的密度。

若密度由小到大对应的空间位置是由低到高，则受重力作用流体会发生流动。§5-4

对流传热的宏观规律强迫对流是非重力驱动下传输热量的过程。牛顿冷却定律：对于固体热源，当它与周围媒质的温度差不太大时，单位时间内热源向周围传递的热量

Q

是与温度差成正比。.式中T0为环境温度，T为热源温度，A为热源表面积，h是一个与传热方式有关的常数，称为热适应系数。(1)宏观上，各种输运现象的产生都是由于气体内部存在某种物理量的不均匀性，各种物理量的梯度表示了这种不均匀的程度。

各种相应的物理量的输运方向都是倾向于消除物理量的不均匀性,直到这种不均匀性消除,即梯度(gradient

)为零,输运过程才停止,系统才由非平衡态到达平衡态。小结：三种输运(transport)现象的共性(2)微观上,在物理量不均匀的外部条件下,所以能发生输运过程的内在原因：

(A)分子的无规则运动，使原来存在的不均匀性质趋于均匀一致；

(B)输运过程的快慢还决定于分子间碰撞的频繁程度。

(C)在分子平均速度相同的情况下，碰撞越频繁，输运过程进行的越缓慢。

(D)输运过程之所以具有一定的速率，就是分子运动和分子碰撞这两方面矛盾统一的结果。不均匀物理量交换的物理量现象黏性流速分子的定向动量热传导温度分子无规则运动的平均能量扩散密度分子数输运的宏观量及其规律黏性动量热传导热量质量扩散三种输运现象的比较ABCD2dvdA

凡是球心位于管内的分子（如B、C分子）都将在一秒钟内与A分子进行碰撞。其中，分子碰撞截面的面积为πd2。以1s内A分子球心运动路径（折线）为轴线，作一半径为d

，总长度为v圆柱体。1

？平均碰撞频率

Z(collision

frequency)：1s内一个分子与其它分子碰撞的平均次数。

1s内分子将与分子中心位于管内的所有分子进行碰撞，所以平均碰撞次数为：π=2Zv12nd

A分子以相对速度v12运动，

v12=

v，v为气体分子的平均速率。2ndZ=2π2v

平均自由程λ为分子在连续两次碰撞之间所自由走过的路程的平均值：三、气体分子平均自由程(meanfreepath)（1）对于同种气体，λ与

n

成反比，而与

v

无关；（2）在温度一定时，λ仅与压强成反比。

例2：设原子有效直径d=10–10m

求（1）氮气在标准状态下的平均碰撞次数（2）若温度不变气体压强降到1.33

10–4Pa

平均碰撞次数又为多少？解：例3：设混合气体由分子半径分别为rA和rB

，分子质量分别为mA

和mB的两种刚性分子A和B组成。这两种分子的数密度分别为nA、nB,混合气体的温度为T。求：两分子总的平均碰撞频率和两分子各自的平均自由程。

解：

A分子总的平均碰撞频率是A分子和A分子以及A分子和B分子平均碰撞频率之和AB

分子间的平均相对运动速率为μ为折合质量刚性异种分子间的碰撞截面为A分子平均碰撞频率为同理，B

分子平均碰撞频率为§5-6

气体分子碰撞的概率分布制备

N0

个分子所组成分子束,分子束中的分子恰在同一地点

x=0

处刚被碰过一次,以后都向

x

方向运动。分子束在行进过程中不断受到背景气体分子的碰撞，使分子数逐渐减少。xyZON0NN+dNxx+dxtt+dt00一、气体分子的自由程分布

假设在t

时刻，x

处剩下N个分子，经过dt

时间，分子束运动到x+dx

处又被碰撞掉|dN|个分子。即自由程为x

到x+dx

的分子数为dN。在

x—x+dx

距离内，减少的分子数|dN|与

x

处的分子数N

成正比，与

dx

的大小成正比，其比例系数为K，则xyZON0NN+dNxx+dxtt+dt00KNdxdN=-KdxNdN-=)exp(0KxNN-=ò-=xKdxNNln00上式表示：从

x=0

处射出的刚碰撞过的N0个分子，它们行进到x处所残存的分子数N

按指数衰减。

－dN

表示

N0个分子中自由程为x—x+dx

的平均分子数。上式表示：分子束行进到x

处残存的概率；也是自由程从

x

到无穷大范围的概率。是分子自由程在x—x+dx

范围的概率。平均自由程分子在

x—x+dx

距离内受到碰撞的概率为P（x）x+dxxxO

水平线条的面积为自由程在x—x+dx

的概率

斜线条的面积为分子束行进到

x

处残存概率解：

例4：已知气体分子的平均自由程为λ

求：在

N0个分子中，（1）自由程大于λ的分子数与自由程小于λ的分子数之比。（2）自由程介于λ到3λ之间的分子数与总分子数之比。（1）N0个分子中自由程大于λ的分子数N0个分子中自由程大于x

的分子数为故所求之比为（2）故所求之比为N0个分子中自由程大于3λ的分子数自由程小于λ的分子数例5：显像管的灯丝到荧光屏的距离为0.2m,要使灯丝发射的电子有90%

在途中不与空气分子相碰而直接打到荧光屏上,设空气分子有效直径为3.0×10-10m,气体温度为320K。问显像管至少要保持怎样的真空度？解：灯丝发出的电子数目按平均自由程分布的规律为

因电子运动速率远大于空气分子的热运动速率，将空气分子看作是静止的，电子的有效直径比起气体分子的可忽略不计。碰撞截面为碰撞频率为例6：由电子枪发出一束电子，射入压强为P

的气体中，在电子枪前与其相距x

处放置一收集电极，用来测定能够自由通过这段距离（即不与分子相碰）的电子数。

已知电子枪发射的电子流强度为100μA,当气压P=100Pa,

x=0.1m

时到达收集极的电子流强度为

37μA,求：(1)电子的平均自由程是多大？(2)当气压降至50Pa时，到达收集极的电子流强度为多少？解：

（1）电子流强度正比于电子数密度，则有

I/I0=n/n0

，参考点取在处

x=0，又故（2）等温条件下，平均自由程反比于压强：§5-7

气体输运系数的导出

输运过程都是较简单的近平衡非平衡过程，空间宏观不均匀性都不大；

分子经过一次碰撞后就具有在新碰撞地点的平均动能、平均定向动量和平均粒子数密度；由于气体分子间平均距离足够小，气体是足够的稀薄，但又不是太稀薄。一、气体的黏性系数的导出

从动量定理来看，是两层流间发生了宏观上的动量迁移。

单位时间内越过z0平面向上（向下）输运的总动量分别为：所有从上向下经过一次碰撞就越过

z0平面的分子都可看作来自于z0±λ面.单位时间内从下方越过z0平面向上输运的净动量为：引入速度梯度:

单位时间内从下方越过z0面向上输运的净动量为：为气体的密度气体的黏性系数(1)在温度一定时，η与n

无关；

(2)η是温度的函数。若气体分子为刚球,其有效碰撞截面δ为常数,则η与T1/2成正比;(3)利用上式可测定气体分子碰撞截面及气体分子有效直径的数量级。（4）黏性系数公式的适用条件为：二、气体的热传导系数

即平均自由程比分子有效直径大得多，而比容器的线度小得多。

单位时间内从下方越过z0面向上输运的净能量为：能量梯度热传导系数

刚性分子气体的导热率与数密度n

无关，仅与

T1/2

有关。并且只适用于温度梯度较小满足

的理想气体。

三、气体的扩散系数

单位时间内单位面积从下方越过z0平面向上净输运的平均分子数（粒子流密度）为:数密度梯度:

刚性分子气体的扩散系数与η、κ不同，它在压强一定时与T3/2成正比。在温度一定时，又与压强成反比。四、与实验结果的比较在一定的压强与温度下，扩散系数与分子质量的平方根成反比。1,=mvmCMhkrη11==nmD

输运系数的初级理论虽有成功之处，但它只是一种近似的理论。例7：由实验测定在标准状况下，氧气的扩散系数为0.19cm2.S-1,试求氧气分子的平均自由程和分子的有效直径。

解：例8：在标准状态下，氦气的黏度为η1、氩气的黏度为η2

，它们的摩尔质量分别为μ1、μ2，求

（1）氦原子与氩原子碰撞截面σ之比;

（2）氦气与氩气的导热系数κ之比;

（3）氦气与氩气的扩散系数D之比。解：（1）（2）导热系数:

氦气与氩气都是单原子分子，定容摩尔热容相等。（3）扩散系数:因氦气与氩气所处状态相同，故§5-8

稀薄气体的输运过程

一、稀薄气体的特征

考虑到输运现象中分子与器壁碰撞时也会发生动量、能量和质量的传输。一般情况下，分子在单位时间内所经历的平均碰撞总次数应是分子与分子及分子与器壁碰撞的平均次数之和。即

m-m

表示分子与分子之间碰撞的诸物理量，m-w表示分子与器壁碰撞的诸物理量，t

表示这两种同类物理量之和。Lt111+=ll

λm-w由容器的形状决定，为容器的特征尺寸。λm-m

为分子与分子间碰撞平均自由程，上式需满足λ>>

L

的限制条件。只有低真空时的输运特性才与上式符合通常把不满足输运规律的理想气体称为克努曾气体即稀薄气体。?真空的定义:工程技术上的真空指气体压强低于地面上人类环境气压。

在两块温度不同的平行板之间充有极稀薄气体,气体分子在两壁往返的过程中很少与其他分子相碰,同时把热量从高温传到低温。量子场论中真空指量子场系统能量最低状态。？真空度：气体稀薄的程度。极高真空与超真空λ＞＞L低真空λ＜＜L（极稀薄气体）高真空λ＞L;中真空λ≤L;二、稀薄气体中的热传导现象极稀薄气体分子主要在器壁之间碰撞。

单位时间从单位面积平行板上所传递的能量即热流密度等于单位时间内碰撞在单位面积器壁上的分子数与一个分子在不同温度器壁间来回碰撞一次所传递的能量之积。即

超高真空下气体的传热系数κ´

κ与κ´的差别在平均自由程上：超高真空气体的分子碰撞主要与器壁发生碰撞，平均自由程由λm-w

决定，而常压下气体的碰撞主要发生于分子之间，平均自由程为λ。在一定温度下，极稀薄气体传递的热量与压强成正比;真空度越高，绝热性能越好;利用这种热传导性质可制成热导式真空计。例9：圆柱状杜瓦瓶高为0.24m，瓶胆内层外直径为0.15m,外层的内直径为0.156m,瓶内装有冰水混合物，瓶外温度保持在25℃

,试估算：（1）若夹层内充有1atm氮气，则单位时间内由于氮气热传导而流入杜瓦瓶的热量是多少？取氮分子有效直径d=3.1×10-10m；（2）要想把由于热传导而流入的热量减少到上述情况的1/10，夹层中的氮气的压强应降至多少？解:（1）氮气的导热系数为：设单位时间内由外层通过氮气传到内层的热量为积分之有

（2）当温度不变时，欲使传导的热量与压强有关，应使夹层的自由程小于夹层间距，当自由程等于夹层间距时，

当夹层压强低于p0时,热传导将随分子数密度减少而减弱,即随压强的降低而降低,当热流量为

Q/10=1.21W

时,小结与基本要求一、黏性现象的宏观规律

气体的黏性现象是由于气体内大量分子无规则运动输运定向动量的结果。1、牛顿黏性定律2、泊肃叶定律3、斯托克斯定律二、扩散现象的宏观规律

扩散是存在在同种粒子的粒子数密度空间不均匀的情况下，由于分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量迁移。菲克定律三、热传导现象的宏观规律

热传导是由于分子热运动强弱程度(温度)不同所产生的能量传递。傅里叶定律四、三种输运现象的共性

宏观上，各种输运现象的产生都由于气体内部存在某种物理量的不均匀性。各种相应物理量的输运方向都倾向于消除不均匀性，直到这种不均匀性消除（梯度为零），输运过程才停止，系统由非平衡态到达平衡态。

微观上，发生输运过程的内在原因：首先是分子的无规则运动。其次是输运过程的快慢还决定于分子间碰撞的频繁程度。五、气体分子碰撞及自由程2、气体分子平均自由程

六、气体分子碰撞的概率分布πnd=122λz=vπkTP2=2d1、分子间平均碰撞频率的计算七、气体输运系数的导出1、气体的黏性系数2、气体的热传导系数3、气体的扩散系数八、稀薄气体的输运过程1、稀薄气体的特征2、稀薄气体中的热传导现象总结图黏性现象热传导现象扩散现象宏观规律微观机理分子模型现代科学已证实,在这千姿百态、变化多端的物质世界中,一切物质都是由大量微观粒子组成的。它们在特定温度和压力下相互集聚,构成一定的稳定结构,这就是物质的一种状态,简称物态。任何一种物质在不同温度、压力以及外场(如引力场、电场、磁场等)影响下将呈现不同的物态;一种物质在某种温度、压力下可能有几种不同状态同时存在;在一定条件下,物质的各种聚集态可相互转化。物质中具有相同化学成分和晶体结构的部分被称为相(气、液、固、等离子体）。相与相之间的转变叫相变。热学？几个概念

以系统状态参量为变量建立坐标系，其中的点代表系统的一个平衡状态，叫做相点，这样图叫相图。

常用的与热现象有关的

p-T

相图。图中曲线相平衡点连接而成：OA是气固平衡线，AB是液固平衡线，AC是气液平衡线。这些相平衡线将

p-T

图划分为不同区域，每个区域代表一种相。

三条相平衡线的交点（A）叫做三相点，在这一点，气、液、固三相可以共存。图中C为气液相变的临界点，在这一点汽化热为0，超过这一点，气态和液态的差别不复存在，物质可由P点的液相沿虚线连续地转变为Q点的气相，而不需要经过一个两相共存的不连续阶段。§6-1

固态一、晶体与非晶体1、晶体：具有规则的周期性排列;各向异性特征；有固定的熔点和溶解热（宏观特性）。2、非晶体：无规则的周期性排列;3、准晶的固体：具有准周期性。二、晶体的微观结构与对称性表示晶体粒子所在位置的点为结点，结点的总体称为空间点阵。图1图3图4

有的物质能够生成种类不同的几种晶体，是因为它们的物质微粒能够形成不同的空间点阵。热学离子键相结合的单位是离子。

离子晶体是正负离子构成的一个整体，是由正、负离子排列形成的空间点阵，这样的结合是最紧密的。2、共价键

共价键为原子键，具有定向性及饱和性，共价键组成的晶体为原子晶体。原子晶体强度大熔点高、升华热高、导电性低、挥发性低。3、范德瓦尔斯键

范德瓦尔斯键为分子键，由范德瓦尔斯键组成的晶体为分子晶体。分子之间范德瓦尔斯键很弱，故分子晶体硬度小、熔点低、易挥发。三、晶体的结合键热学1、离子键金属键无方向性，金属中各粒子在排列上无严格要求，使金属易于延展；

金属键的作用可以很强，因此金属具有高熔点、高硬度和低挥发性。四、晶体的热学性质1、升华热把一摩尔固态物质变为气态所吸收的热量。

对于分子晶体，其摩尔升华热就等于晶体的摩尔结合能。即)(0,rUlmms-=热学4、金属键

晶体的热振动在形式上与多原子分子的振动十分类同，所不同的是组成晶体的粒子数取宏观数量级；

由于晶体处于静止状态，它的平动、转动运动不必考虑，故3NA个自由度都是振动自由度。

晶体的摩尔内能为

晶体的热膨胀系数很小，定压热容与定体热容相差很小，以表示晶体的摩尔热容。上式称为杜隆—珀替定律，仅适用于高温范围。2、固体的热容（1）经典能量均分定理应用于晶体热容的失败，不仅反映在自由度的冻结上，也反映在它不能解释在常温下金属中自由电子对热容不作贡献上。

（2）对于此反常现象，量子统计能给予很好的解释。3、固体的热传导

当晶体的温度不均匀时，由于振动的相互关联，在温度高处振幅较大的粒子的能量要传递给邻近的温度较低的、振幅较小的粒子，使振幅发生变化，能量就从高温向低温传递。热学两点说明：通常固体线度及体积均随温度升高而增加这就是热膨胀现象。

当温度不大改变时，晶体单位长度的改变量近似地和温度改变量成正比。α为线胀系数,在低于德拜温度时,α随温度显著变化；远高于德拜温度时,α是常数。在摄氏温度t时的长度为

固体的体积也随温度的改变而变化,其性质由体膨胀系数β决定。4、固体的热膨胀晶体热膨胀现象由晶格振动的非简谐性产生的。格临爱森定律指出:膨胀系数与固体比热容成正比的关系;在低温下小振幅振动,膨胀系数趋于零,而固体热容也趋于零。宏观上所看到的晶体线度由粒子振动的平衡位置所决定,粒子振动的平衡位置总是随温度的升高而逐渐偏向势能曲线的右边,因此粒子间的平均距离随温度的升高而增大。非晶体：非晶态固体,也称为玻璃体,不能形成结晶固体。

非晶体在熔解过程中,随着温度的升高变软,稠变稀,软化过程。非晶态固体:组成原子或离子不是作有规律排列固态物质。非晶体是粘滞性很大的液体。无固定的熔点，随着温度升高，物质首先变软，然后由稠逐渐变稀，成为流体。四、非晶体热学区别：不存在平移周期性(长程无序和短程有序),空间分布无规。

除液晶外，液态与非晶态固体一样均呈各向同性，这是液态的主要宏观特性。§6-2

液体一、微观结构

1、液体的短程有序结构液体分子不是具有严格周期性的密堆积，而是一种较为疏松的长程无序、短程有序的堆积。2、液体分子的热运动

液体分子也在平衡位置附近作振动，但这种状况仅能保持一短暂时间。由于涨落等因素，单元会被破坏，并重建新单元。热学二、液体的彻体性质

非晶态固体可认为是一种没有流动性的液体或是单元居留时间趋于无穷的液体。

当外力作用时间远小于居留时间时，液体也会发生弹性形变、范性形变与断裂。1、热传导

与非晶态固体相似，液体的热传导主要借助于分子间的振动，与非金属固体一样，导热系数很低。3、非晶态固体与液体

液体的体膨胀系数比固体大得多,所以它的定压热容与定容热容之差要比固体大,并且液体的热容与温度有关。

液体的扩散系数介于固体与气体之间,它的运动形式与气体不同。

与固体一样,液体中的分子越过势垒