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文档简介

单调性问题

【题型归纳目录】

题型一:利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

题型二:求单调区间

题型三:已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围

题型四:不含参数单调性讨论

题型五:含参数单调性讨论

【考点预测】

知识点一:单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法:设函数y=/(x)在某个区间内可导,如果尸(x)>0,则y=/(x)为增函数;如

果/''(x)<0,则为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若/(幻在某个区间上单调递增,则在该区间上有尸(x)20恒成立(但不恒等于0);反之,要满足

f'(x)>0,才能得出了(x)在某个区间上单调递增;

②若/(X)在某个区间上单调递减,则在该区间上有((x)40恒成立(但不恒等于0);反之,要满足

f'(x)<0,才能得出了(无)在某个区间上单调递减.

知识点二:讨论单调区间问题

类型一:不含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间);

(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:己知恒正或恒

负,无需单独讨论的部分);

(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与x轴位置关系图,则导函数

正负区间段已知,可直接得出结论);

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正负);

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断,则观察导函数零点);

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零点,则求二阶导);

求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段);

类型二:含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连

续的区间);

(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:己知恒正或恒

负,无需单独讨论的部分);

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负);然后再求有效根;

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系);

(5)导数图像定区间;

【方法技巧与总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数,(x)的定义域;

(2)求f'(x),令/'(x)=0,解此方程,求出它在定义域内的一切实数;

(3)把函数“X)的间断点(即/(元)的无定义点)的横坐标和/■'(》)=0的各实根按由小到大的顺序排

列起来,然后用这些点把函数/(无)的定义域分成若干个小区间;

(4)确定广⑺在各小区间内的符号,根据f'kx}的符号判断函数/(%)在每个相应小区间内的增减性.

注①使(。)=0的离散点不影响函数的单调性,即当了'(X)在某个区间内离散点处为零,在其余点处均

为正(或负)时,/(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如,在(-oo,+oo)上,/(元)=三,当x=0

时,f\x)=0;当xwO时,f'(x)>0,而显然/(x)=d在(-00,+QO)上是单调递增函数.

②若函数y=f(x)在区间33上单调递增,则/'(尤)20(广⑺不恒为0),反之不成立.因为尸(x)20,

即尸(x)>0或尸(x)=0,当_f(x)>0时,函数y=/(x)在区间(凡6)上单调递增.当/'(x)=0时,f(x)在这个

区间为常值函数;同理,若函数y=/(x)在区间(a,3上单调递减,贝Uf(x)WO(尸(x)不恒为0),反之不

成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零,是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如

下结论:

■(尤)>0n/(x)单调递增;/(%)单调递增nf\x)>0;

f'(x)<0=/(x)单调递减;/(x)单调递减nf\x)<0.

【典例例题】

题型一:利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【方法技巧与总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系,原函数/(x)单调递增。导函数/'(尤)20(导函数等

于0,只在离散点成立,其余点满足/'(无)>0);原函数单调递减。导函数((x)40(导函数等于0,只在

离散点成立,其余点满足/(%)<0).

例1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数y=在定义域(一1"内可导,其图象如图所示.记y=

的导函数为y=T(x),则不等式矿(x)WO的解集为()

例2.(2023.全国.高三专题练习)设广⑺是函数“X)的导函数,y=r(x)的图像如图所示,则y=的

图像最有可能的是()

例3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)的导函数/'(X)图像如图所示,则/⑺的图像是图四个图像

中的().

变式1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数>=/(无)在定义域[T4]内可导,其图象如下图,记>=/(尤)的

导函数为y=/'(x),则不等式f\x)<0的解集为.

题型二:求单调区间

【方法技巧与总结】

求函数的单调区间的步骤如下:

(1)求/(无)的定义域

(2)求出尸(x).

(3)令尸(x)=O,求出其全部根,把全部的根在x轴上标出,穿针引线.

(4)在定义域内,令((尤)>0,解出x的取值范围,得函数的单调递增区间;令((x)<0,解出x的

取值范围,得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个,则这些单调区间不能用

”、“或”连接,而应用“和”、“,”隔开.

例4.(2023•全国•高三专题练习)函数y=-1+31n尤的单调递增区间为.

例5.(2023•全国•高三专题练习)函数/(尤)=gd-lnx的单调减区间为.

例6.(2023•全国•高三专题练习)函数/。)=(2-*心的单调递增区间是.

变式2.(2023•全国•高三专题练习)函数,(x)=x+2cosx,的增区间为.

变式3.(2023•全国•高三专题练习)函数八无)=2——9/+12x+l的单调减区间是.

变式4.(2023・全国•高三专题练习)函数〃尤)=丁-5尤+21n(2”的单调递增区间是.

题型三:已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围

【方法技巧与总结】

(1)已知函数在区间上单调递增或单调递减,转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解,先分析

导函数的形式及图像特点,如一次函数最值落在端点,开口向上的抛物线最大值落在端点,开口向下的抛

物线最小值落在端点等.

(2)已知区间上函数不单调,转化为导数在区间内存在变号零点,通常用分离变量法求解参变量范围.

(3)已知函数在区间上存在单调递增或递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

例7.(2023・全国•高三专题练习)已知函数"xHlnx+Y+Gx的单调递减区间为,力,则().

A.ciE.(—oo,-3]B.a——3

C.a=3D.3]

例8.(2023•全国•高三专题练习)若函数g(x)=lnx+gx2-(6_i)x存在单调递减区间,则实数人的取值范

围是()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)

C.(—0,3)D.(—0,3]

例9.(2023•全国•高三专题练习)若函数"彳户%2-依+lnx在区间(l,e)上单调递增,则实数a的取值范围

是()

A.[3,+co)B.(-oo,3]C.[3,e2+l]D.(-«),e2+l]

变式5.(2023•全国•高三专题练习)若函数/(x)=lnx+ox2_2在区间,1内存在单调递增区间,则实数〃

的取值范围是()

1

A.(-oo,-2)B.——,+00C.(-2,+oo)D.(-8,+oo)

8

变式6.(2023•全国•高三专题练习)若函数>=丁+/+g+1是氏上的单调函数,则实数加的取值范围是

().

A.(一8,1B.1,+81C.D.(士+8]

变式7.(2023•全国•高三专题练习)若/。)=-;/+。皿龙+2)在[-1,长0)上是减函数,则实数a的取值范

围是•

变式8.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Y-2区2+x-3在R上不单调,则左的取值范围是.

变式9.(2023•全国•高三专题练习)函数/(力=加-3》在区间上为单调减函数,则。的取值范围是

题型四:不含参数单调性讨论

例10.(2023秋•河北•高三校联考阶段练习)设/'(X)为函数/⑴的导函数,已知

f(x)=x+f'(0)cos2x+a(aeR),且/(x)的图像经过点(0,2).

(D求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程;

⑵求函数在。泪上的单调区间.

例11.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=l—xsinx.

(1)求函数〃x)=Isinx的图象在点名/图处切线的方程;

(2)证明:函数g(x)=lnx+cosx在区间10。上单调递增.

例12.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(x)=[+lnx(x>0),求-3的单调区间.

变式10.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xem-e\当。=1时,讨论/'⑴的单调性.

题型五:含参数单调性讨论

【方法技巧与总结】

1、关于含参函数单调性的讨论问题,要根据导函数的情况来作出选择,通过对新函数零点个数的讨论,

从而得到原函数对应导数的正负,最终判断原函数的增减.(注意定义域的间断情况).

2、需要求二阶导的题目,往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性,结合一阶导函数端点处

的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

3、利用草稿图像辅助说明.

例13.(2023•全国•高三专题练习)已知函数"x)=gx2-2尤+alnx(a>0),讨论的单调性.

例14.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=aln(x-a)-gx2+x(fl<0),求的单调区间;

例15.(2023.全国.高三专题练习)已知函数/(%)=2尤3+3(1+〃?卜2+6〃比(%€1i),讨论函数的单调性;

变式IL(2023・全国•高三专题练习)己知函数〃力=。厂+彳-2,讨论〃尤)的单调性;

变式12.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=V-3or+a(awR).讨论函数〃尤)的单调性.

变式13.(2023•全国•高三专题练习)己知函数〃月=葭+依.讨论“X)的单调性;

变式14.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=4x-1)靖,其中左GR.当%W2时,求函数/(a)的

单调区间;

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•全国•高三专题练习)若函数/⑺=-%3+依2+4x在区间(0,2)上单调递增,则实数。的取值范围为

()

A.[2,-Ko)B.(2,+co)

C.(f2]D.(-oo,2)

2.(2023•全国•高三专题练习)函数2(x)=(x—3)7,则〃尤)的单调增区间是()

A.(-co,2)B.(2,+oo)C.(^»,3)D.(3,+oo)

3.(2023•全国•高三专题练习)函数〃尤)=;丁2一3片彳一4在(3,y)上是增函数,则实数。的取值范围

是()

A.6i>0B.a>\C.。<-3或D.-3<tz<1

4.(2023•全国•高三专题练习)若函数区+1在区间(1,+⑹上单调递增,则实数上的取值范围是

()

A.(YO,1)B.(-00,1]C.[-1,-KO)D.[1,+co)

5.(2023•全国•高三专题练习)函数/(尤)=:尤2-In元的单调递减区间为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,-KO)D.(0,2)

6.(2023・全国•高三专题练习)若函数/(无)=(炉-6-山,在区间(-2,0)内单调递减,则实数。的取值范围

是()

A.[1,+co)B.[0,+oo)

C.(-«>,0]D.(-℃,!]

7.(2023•全国•高三专题练习)函数〃x)=x2+g+2)x+alnx在区间[1,2]上不单调,则实数。的取值范围为

()

A.(T—2)B.[<—2]C.(2,4)D.[2,4]

8.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(尤)的导函数为尸(x),/(x)=lnx+r(l)^)则函数〃尤)的单调

递增区间为()

B.1,-用,性+8

儿[工?

rv2]

D.—

二、多选题

9.(2023•全国•高三专题练习)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()

XX

A.y=2^+4xB.y=:v+sin(-x)C.y=log2|x|D.y=-2+2-

10.(2023•全国•高三专题练习)已知函数了⑺的定义域为R且导函数为尸(无),如图是函数y=4'(X)的图像,

则下列说法正确的是

A.函数/(x)的增区间是(-2,0),(2,+8)

B.函数/(X)的增区间是(-8,-2),(2,+8)

C.犬=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

三、填空题

11.(2023秋・广东深圳•高校考期末)已知定义在(-3,3)上的奇函数y=/(元)的导函数是

f\x),当尤20时,>=/(尤)的图象如图所示,则关于x的不等式△包>0的解集为.

X

12.(2023・上海•高三专题练习)已知〃xbzY-ox+lnx在区间(1,+向上单调递增,则实数。的取值范围是

13.(2023・全国•高三专题练习)已知”<0,函数/(x)=x3+ax2-a2x+2的单调递减区间是

已知=e'-履对任意不相等的正数芭,马都有>恒成立,

14.(2023•全国•高三专题练习)/(%)-/小)2

玉-x2

则实数%的取值范围为.

15.(2023•全国•高三专题练习)函数f(x)的图象如图所示,记A=/G)、B=f'®)、C=f\x^,则A、B、

C最大的是.

16.(2023・全国•高三专题练习)函数/(X)=+1的单调增区间为

X

四、解答题

17.(20

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