2024年高考数学第一轮复习 单调性问题（原卷版）

单调性问题

【题型归纳目录】

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

题型二：求单调区间

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

题型四：不含参数单调性讨论

题型五：含参数单调性讨论

【考点预测】

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果尸(x)>0,则y=/(x)为增函数；如

果/''(x)<0,则为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若/(幻在某个区间上单调递增，则在该区间上有尸(x)20恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

f'(x)>0,才能得出了(x)在某个区间上单调递增；

②若/(X)在某个区间上单调递减，则在该区间上有((x)40恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

f'(x)<0,才能得出了(无)在某个区间上单调递减.

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：己知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数

正负区间段已知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导);

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连

续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：己知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间；

【方法技巧与总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数，(x)的定义域；

(2)求f'(x),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

(3)把函数“X)的间断点(即/(元)的无定义点)的横坐标和/■'(》)=0的各实根按由小到大的顺序排

列起来，然后用这些点把函数/(无)的定义域分成若干个小区间；

(4)确定广⑺在各小区间内的符号，根据f'kx｝的符号判断函数/(%)在每个相应小区间内的增减性.

注①使(。)=0的离散点不影响函数的单调性，即当了'(X)在某个区间内离散点处为零，在其余点处均

为正(或负)时，/(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如，在(-oo,+oo)上，/(元)=三，当x=0

时，f\x)=0；当xwO时，f'(x)>0,而显然/(x)=d在(-00,+QO)上是单调递增函数.

②若函数y=f(x)在区间33上单调递增，则/'(尤)20(广⑺不恒为0),反之不成立.因为尸(x)20,

即尸(x)>0或尸(x)=0,当_f(x)>0时,函数y=/(x)在区间(凡6)上单调递增.当/'(x)=0时，f(x)在这个

区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间(a,3上单调递减，贝Uf(x)WO(尸(x)不恒为0),反之不

成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如

下结论：

■(尤)>0n/(x)单调递增；/(%)单调递增nf\x)>0；

f'(x)<0=/(x)单调递减；/(x)单调递减nf\x)<0.

【典例例题】

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【方法技巧与总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/(x)单调递增。导函数/'(尤)20(导函数等

于0,只在离散点成立，其余点满足/'(无)>0);原函数单调递减。导函数((x)40(导函数等于0,只在

离散点成立，其余点满足/(%)<0).

例1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数y=在定义域(一1"内可导，其图象如图所示.记y=

的导函数为y=T(x),则不等式矿(x)WO的解集为()

例2.（2023.全国.高三专题练习）设广⑺是函数“X）的导函数，y=r（x）的图像如图所示，则y=的

图像最有可能的是（）

例3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数f（x）的导函数/'（X）图像如图所示，则/⑺的图像是图四个图像

中的（）.

变式1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数＞=/（无）在定义域［T4］内可导，其图象如下图，记＞=/（尤）的

导函数为y=/'（x）,则不等式f\x）＜0的解集为.

题型二：求单调区间

【方法技巧与总结】

求函数的单调区间的步骤如下：

（1）求/（无）的定义域

（2）求出尸（x）.

（3）令尸（x）=O,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线.

（4）在定义域内，令（（尤）＞0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令（（x）＜0,解出x的

取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用

”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.

例4.（2023•全国•高三专题练习）函数y=-1+31n尤的单调递增区间为.

例5.（2023•全国•高三专题练习）函数/（尤）=gd-lnx的单调减区间为.

例6.（2023•全国•高三专题练习）函数/。）=（2-*心的单调递增区间是.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）函数，（x）=x+2cosx,的增区间为.

变式3.（2023•全国•高三专题练习）函数八无）=2——9/+12x+l的单调减区间是.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）函数〃尤）=丁-5尤+21n（2”的单调递增区间是.

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

【方法技巧与总结】

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析

导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛

物线最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

例7.（2023・全国•高三专题练习）已知函数"xHlnx+Y+Gx的单调递减区间为，力,则（）.

A.ciE.（—oo,-3]B.a——3

C.a=3D.3]

例8.（2023•全国•高三专题练习）若函数g（x）=lnx+gx2-（6_i）x存在单调递减区间，则实数人的取值范

围是（）

A.[3,+oo）B.（3,+oo）

C.（—0,3）D.（—0,3]

例9.（2023•全国•高三专题练习）若函数"彳户％2-依+lnx在区间（l,e）上单调递增，则实数a的取值范围

是（）

A.[3,+co)B.(-oo,3]C.[3,e2+l]D.(-«),e2+l]

变式5.（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=lnx+ox2_2在区间,1内存在单调递增区间，则实数〃

的取值范围是（）

1

A.(-oo,-2)B.——,+00C.(-2,+oo)D.(-8,+oo)

8

变式6.（2023•全国•高三专题练习）若函数＞=丁+/+g+1是氏上的单调函数，则实数加的取值范围是

（）.

A.（一8,1B.1，+81C.D.（士+8]

变式7.（2023•全国•高三专题练习）若/。）=-；/+。皿龙+2）在[-1,长0）上是减函数，则实数a的取值范

围是•

变式8.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=Y-2区2+x-3在R上不单调，则左的取值范围是.

变式9.（2023•全国•高三专题练习）函数/（力=加-3》在区间上为单调减函数，则。的取值范围是

题型四：不含参数单调性讨论

例10.（2023秋•河北•高三校联考阶段练习）设/'（X）为函数/⑴的导函数，已知

f（x）=x+f'（0）cos2x+a（aeR）,且/（x）的图像经过点（0,2）.

（D求曲线y=/（x）在点（0J（0））处的切线方程；

⑵求函数在。泪上的单调区间.

例11.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=l—xsinx.

（1）求函数〃x）=Isinx的图象在点名/图处切线的方程;

(2)证明：函数g(x)=lnx+cosx在区间10。上单调递增.

例12.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(x)=[+lnx(x>0),求-3的单调区间.

变式10.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xem-e\当。=1时，讨论/'⑴的单调性.

题型五：含参数单调性讨论

【方法技巧与总结】

1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论,

从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.(注意定义域的间断情况).

2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处

的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

3、利用草稿图像辅助说明.

例13.(2023•全国•高三专题练习)已知函数"x)=gx2-2尤+alnx(a>0),讨论的单调性.

例14.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=aln(x-a)-gx2+x(fl<0),求的单调区间;

例15.(2023.全国.高三专题练习)已知函数/(%)=2尤3+3(1+〃?卜2+6〃比(％€1i),讨论函数的单调性;

变式IL（2023・全国•高三专题练习）己知函数〃力=。厂+彳-2,讨论〃尤）的单调性;

变式12.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=V-3or+a（awR）.讨论函数〃尤）的单调性.

变式13.（2023•全国•高三专题练习）己知函数〃月=葭+依.讨论“X）的单调性;

变式14.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=4x-1）靖,其中左GR.当％W2时，求函数/（a）的

单调区间;

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）若函数/⑺=-%3+依2+4x在区间（0,2）上单调递增，则实数。的取值范围为

（）

A.[2,-Ko）B.（2,+co）

C.（f2]D.（-oo,2）

2.（2023•全国•高三专题练习）函数2（x）=（x—3）7,则〃尤）的单调增区间是（）

A.（-co,2）B.（2,+oo）C.（^»,3）D.（3,+oo）

3.（2023•全国•高三专题练习）函数〃尤）=；丁2一3片彳一4在（3,y）上是增函数，则实数。的取值范围

是（）

A.6i>0B.a>\C.。<-3或D.-3<tz<1

4.（2023•全国•高三专题练习）若函数区+1在区间（1,+⑹上单调递增，则实数上的取值范围是

（）

A.（YO,1）B.（-00,1]C.[-1,-KO）D.[1,+co）

5.（2023•全国•高三专题练习）函数/（尤）=：尤2-In元的单调递减区间为（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.（1,-KO）D.（0,2）

6.（2023・全国•高三专题练习）若函数/（无）=（炉-6-山，在区间（-2,0）内单调递减，则实数。的取值范围

是（）

A.[1,+co）B.[0,+oo）

C.（-«>,0]D.（-℃,!]

7.（2023•全国•高三专题练习）函数〃x）=x2+g+2）x+alnx在区间[1,2]上不单调，则实数。的取值范围为

（）

A.（T—2）B.[<—2]C.（2,4）D.[2,4]

8.（2023・全国•高三专题练习）已知函数f（尤）的导函数为尸（x）,/（x）=lnx+r（l）^）则函数〃尤）的单调

递增区间为（）

B.1,-用，性+8

儿[工?

rv2]

D.—

二、多选题

9.（2023•全国•高三专题练习）下列函数中,既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是（）

XX

A.y=2^+4xB.y=:v+sin（-x）C.y=log2|x|D.y=-2+2-

10.（2023•全国•高三专题练习）已知函数了⑺的定义域为R且导函数为尸（无）,如图是函数y=4'（X）的图像,

则下列说法正确的是

A.函数/（x）的增区间是（-2,0）,（2,+8）

B.函数/（X）的增区间是（-8,-2）,（2,+8）

C.犬=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

三、填空题

11.（2023秋・广东深圳•高校考期末）已知定义在（-3,3）上的奇函数y=/（元）的导函数是

f\x）,当尤20时，＞=/（尤）的图象如图所示，则关于x的不等式△包＞0的解集为.

X

12.（2023・上海•高三专题练习）已知〃xbzY-ox+lnx在区间（1,+向上单调递增，则实数。的取值范围是

13.（2023・全国•高三专题练习）已知”＜0,函数/（x）=x3+ax2-a2x+2的单调递减区间是

已知=e'-履对任意不相等的正数芭,马都有＞恒成立,

14.（2023•全国•高三专题练习）/（%）-/小）2

玉-x2

则实数%的取值范围为.

15.（2023•全国•高三专题练习）函数f（x）的图象如图所示,记A=/G）、B=f'®）、C=f\x^,则A、B、

C最大的是.

16.（2023・全国•高三专题练习）函数/（X）=+1的单调增区间为

X

四、解答题

17.（20