上海市杨浦区2023年八年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

上海市杨浦区2023年八年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.要说明命题“若。＞b,贝！J向＞网”是假命题，能举的一个反例是（）

A.a=3,b=2B.a=4,b=—1

C.a=l,b=QD.a=l,b=-2

2.如图，在△A5C中，ZC=90°,ZB=30°,以A为圆心，任意长为半径画弧分别交45、AC于点M和N,再分

别以M、N为圆心，大于gMN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP,并廷长交5c于点O,则下列说法中正确

的个数是（）

①AO是NA4C的平分线

②NAZ＞C=60°

③点。在A3的垂直平分线上

④若AD=2dm,则点。到AB的距离是1dm

⑤SMAC：SAZ）AB=1S2

A

3.如图，已知添加下列条件还不能判定AA3cg△区4。的是（）

J1--------------------------------------------------------------------3

A.AC=BDB.ZCAB=ZDBAC.ZC=ZDD.BC=AD

4.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近

道而避开横平竖直的路的拐角ZABC,而走“捷径于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB=40米,

5c=30米，他们踩坏了一米的草坪，只为少走—米路（)

A.20、50B.50、20C.20、30D.30、20

5.一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有

（）

①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h；⑤A、

B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图，AB±BC,BE±AC,Z1=Z2,AD=AB,贝!!()

A.Z1=ZEFDB.BE=ECC.BF=DF=CDD.FD//BC

7.下图中为轴对称图形的是（）.

A诚B信友D善

人a-bx+35+ya+b1,.0八,、

8.下列各式：----，-----，-----,----一（x+y）中x，是分式的共有（）

2x7Ca-bm

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.一次函数y=2x-3的图象不经过的象限是（）

A.第一象限.B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，那么（）

A.k>O>b>0B.k>0,b<0C.k<0,b<0D.k<0,b>0

11.以下问题，不适合用普查的是（）

A.旅客上飞机前的安检B.为保证“神州9号”的成功发射，对其零部件进行检查

C.了解某班级学生的课外读书时间D.了解一批灯泡的使用寿命

12.已知一个等腰三角形的腰长是5,底边长是8,这个等腰三角形的面积是（）

A.24B.20C.15D.12

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，点A,C,D,E在R3MON的边上，ZMON=90°,AE_LAB且AE=AB,BCJ_CD且BC=CD,BH±ON

于点H,DF，ON于点F,OM=12,OE=6,BH=3,DF=4,FN=8,图中阴影部分的面积为

14.在一次对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解3（x+2）（x+8）；乙同学因看错了

常数项而将其分解为3（x+7）（x+1）,则将此多项式进行正确的因式分解为.

15.等腰三角形的两边长分别为2和7,则它的周长是

3x+y=b

16.已知直线L：y=-3x+b与直线U：y=kx+l在同一坐标系中的图象交于点（1,—2）,那么方程组y-kx=l的

解是.

17.如图，在AABC中，分别以点A和点C为圆心，大于LAC长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分

2

别交5C、AC于点。、点E,若AE=3加，AABZ）的周长为13cm,则AABC的周长为.

Y-I-4

18.当x时，分式，;有意义.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知在及AABC中，NACB=90°,AC=8,3c=16,。是AC上的一点，CD=3,点P从3

点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点尸的运动时间为九连结AP.

（1）当/=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；

（2）当AABP为等腰三角形时，求才的值；

（3）过点。做。石，AP于点E.在点P的运动过程中，当/为何值时，能使DE=CD?

20.（8分）如图，O是等边AABC的A3边上的一动点（不与端点4、5重合），以。为一边向上作等边AEOC,连

接AE.

（1）无论。点运动到什么位置，图中总有一对全等的三角形，请找出这一对三角形，并证明你得出的结论；

（2）。点在运动过程中，直线AE与始终保持怎样的位置关系?并说明理由.

21.（8分）如图，AADC中，DB是高,点E是DB上一点,AB=DB,EB=CB,M,N分别是AE,CD上的

点，且AM=DN.

（1）求证：AABENADBC.

（2）探索和BN的关系，并证明你的结论.

22.（10分）如图，在四边形A8CZ＞中，ZABC=ZADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点8的对应

点恰好与点A重合，得到AACE.

(2)若40=2,CD=3,试求四边形ABCZ)的对角线50的长.

23.(10分)⑴2%2-(%+2)(%-2)-(-1)°(%-2)-1.

(2)先化简，再求值：———J—X其中%=2.

x+1x—6x+9x—3

24.(10分)在等腰RtAABC中，AB^AC,N3AC=90。

(1)如图1,D,E是等腰RtAABC斜边5c上两动点，且NZME=45。，将"BE绕点A逆时针旋转90后，得到母4尸C,

连接DF

①求证：^AED^AAFD；

②当5E=3,CE=7时，求OE的长；

(2)如图2,点O是等腰R3A3C斜边5c所在直线上的一动点，连接AZ>,以点A为直角顶点作等腰RtAAOE,当

BD=3,BC=9时，求OE的长.

25.(12分)教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

1.线段垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线

是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结24、将线段沿直线

对折，我们发现E4与依完全重合.由此即有：

线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

已知：如图，肱7,43垂足为点。,人。=5。，点P是直线上的任意一点.

求证：PA=PB.

请写出完整

的证明过程

分析图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证得

PA=PB.

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.

定理应用：

(1)如图②，在ABC中，直线相、〃分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点。，过点。作

于点H.

求证：AH=BH.

(1)如图③，在ABC中，AB=BC,边A3的垂直平分线交AC于点。，边8C的垂直平分线交AC于点E.若

ZABC=120°,AC=18,则。石的长为.

M,

A

图①

26.问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1,AABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足NADE

=60°,DE交等边三角形外角平分线于点E.试探究AD与DE的数量关系.

操作发现：（1）小明同学过点D作DF〃AC交AB于F,通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按

照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明.

图1

类比探究：（2）如图2,当点D是线段BC上任意一点（除B、C外），其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关

系，并证明你的结论.

图2

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC,在图3中补全图形，直接判断AADE的形状（不要求

证明）.

CD

图3

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可.

【详解】解：A、a=3,b=2,满足a>b,且满足|a|>|b|,不能作为反例，故错误；

B、a=4,b=-l,满足a>b,且满足|a|>|b|,不能作为反例，故错误；

C、a-1,b=0；满足a>b,且满足不能作为反例，故错误；

D、a=-l,b=-2,满足a>b,但不满足|a|>|b|,...a=-l,b=-2能作为证明原命题是假命题的反例，

故选D.

【点睛】

本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以.

2、D

【分析】①根据作图的过程可以判定AD是NBAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知NCAD=30。，则由直角三角形的性质来求NADC的度数；

③利用等角对等边可以证得4ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线

上；

④作DH_LAB于H,由N1=N2,DC±AC,DH±AB,推出DC=DH即可解决问题；

⑤利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.

【详解】解：①根据作图的过程可知，4。是N3AC的平分线，故①正确；

②如图，•.,在△ABC中，NC=90°,ZB=30°,

：.ZCAB=60°.

又,：AD是N8AC的平分线，

/.Z1=Z2=—ZCAB=30°,

2

AZ3=90°-N2=60°,即NAOC=60。.故②正确；

③•.•/1=/5=30°,

：.AD=BD,

.,.点。在A8的中垂线上.故③正确;

④作DH±AB于H,

；N1=N2,DC±AC,DHLAB,

：.DC=DH,

在Rt2\AC。中，C0=—AO=1加，

2

/.点D到AB的距离是1dm；故④正确，

⑤在RtZkACB中，；NB=30°,

；.AB=2AC,

SADAC：SADAB=一AC,CD：一,AB,DH=1：2；故⑤正确.

22

综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质.

3、A

【分析】根据全等三角形的判定：SAS,AAS,ASA,可得答案.

【详解】解：由题意，得N45C=NR4O,AB=BA,

A、ZABC^ZBAD,AB=BA,AC^BD,(SSA)三角形不全等，故A错误；

ZABC=ABAD

B、在AABC与ABAO中，＜AB=BA,^ABC^ABAD(ASA),故5正确;

ZCAB=NDBA

ZC=ZD

C、在"5C与△840中，＜ZABC=ZBAD,AABC^ABAD(4AS),故C正确;

AB=BA

BC=AD

。、在AA3c与ABAO中，ZABC=ZBAD,AABC^ABAD(SAS),故。正确;

AB=BA

故选:A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA

不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹

角.

4、B

【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题.

［详解］在RtAABC中，VAB=40米，8c=30米，

：.AC=7302+402=50，30+40-50=20，

,他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路.

故选：B.

【点睛】

本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题.

5、B

【解析】根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答.

【详解】解：①两车在276km处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误.

②慢车0时出发，快车2时出发，故正确.

③快车4个小时走了276km,可求出速度为69km/h,错误.

④慢车6个小时走了276km,可求出速度为46km/h,正确.

⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h,可得A,B距离为828km,正确.

⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键.

6、D

【解析】由SAS易证4ADF丝△ABF,根据全等三角形的对应边相等得出NADF=NABF,又由同角的余角相等得出

NABF=NC,则NADF=NC,根据同位角相等，两直线平行，得出FD〃BC.

解：在AADF与4ABF中，

VAF=AF,Z1=Z2,AD=AB,

/.△ADF^AABF,

ZADF=ZABF,

又•.,/ABF=NC=90°-ZCBF,

・•・ZADF=ZC,

.•・FD〃BC.

故选B.

7、D

【分析】根据轴对称图形的定义可得.

【详解】根据轴对称图形定义可得ABC选项均不是轴对称图形，D选项为轴对称图形.

【点睛】

轴对称图形沿对称轴折叠，左右两边能够完全重合.

8、C

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.

【详解】—,工(x+y)分母中含有字母，因此是分式；

xa-bm

―,0的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式.

271

故分式有3个.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不

是分式.

9、B

【解析】先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答

,一次函数y=2x-3中，k=2>0,

,此函数图象经过一、三象限，

Vb=-3<0,

,此函数图象与y轴负半轴相交，

,此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限.

故选B.

10、C

【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k,b的取值范围，从而求解.

【详解】•.•直线y=kx+b经过第二、四象限，

Ak<0,

又•.•直线y=kx+b经过第三象限，即直线与y轴负半轴相交，

/.b<0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系：k>0时，直线必经过一、三象限；kVO时，直线必

经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.

11、D

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解

答.

【详解】解：旅客上飞机前的安检适合用普查；

为保证“神州9号”的成功发射，对其零部件进行检查适合用普查；

了解某班级学生的课外读书时间适合用普查；

了解一批灯泡的使用寿命不适合用普查.

故选D.

【点睛】

本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来

说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，

事关重大的调查往往选用普查.

12、D

【分析】根据题意画出图形，过点A作ADLBC于点D,根据勾股定理求出AD的长，进而可得出结论.

【详解】解：如图所示，

过点A作ADLBC于点D,

VAB=AC=5,BC=8,

1

.\BD=-BC=4,

2

•*-AD=7AB2-BDr=752-42=3，

/.SAABC=—BC»AD=—x8x3=l.

22

故选D.

【点睛】

本题考查的是勾股定理和等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

长的平方是解答此题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、50

【分析】易证△AEO也△BAH,△BCH也ZkCDF即可求得AO=BH,AH=EO,CH=DF,BH=CF,即可求得梯形DEOF

的面积和△AEO,AABH,ACGH,ZkCDF的面积，即可解题.

【详解】VZEAO+ZBAH=90°,ZEAO+ZAEO=90°,

.•.ZBAH=ZAEO,

NAEO=NBAH

.在aAEO和中<ZO=ZBHA=90°,

AE=AB

/.△AEO^ABAH(AAS),

同理△BCH丝ZkCDF(AAS),

，AO=BG=3,AH=EO=6,CH=DF=4,BH=CF=3,

•.•梯形DEOF的面积=▲(EF+DH)・FH=80,

2

1

SAAEO=SAABH=—AF«AE=9,

2

1

SABCH=SACDF=—CH*DH=6,

2

图中实线所围成的图形的面积S=80-2x9-2x6=50,

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEO丝△BAH,ABCH^ACDF

是解题的关键.

14、3(x+4)2

【分析】分别将3(x+2)(x+8)和3(x+7)(x+1)展开，然后取3(x+2)(x+8)展开后的二次项和常数项，取3(x+7)(x+1)展

开后的一次项，最后因式分解即可.

【详解】解：3(x+2)(x+8)=3x2+30x+48

3(x+7)(x+l)=3x2+24x+21

由题意可知：原二次三项式为3x?+24x+48

3x2+24x+48=3(x2+8x+16)=3(x+4)2

故答案为：3(x+4)2.

【点睛】

此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、提取公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键.

15、16

【分析】根据2和7可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解.

【详解】当7为腰时，周长=7+7+2=16；

当2为腰时，因为2+2V7,所以不能构成三角形.

故答案为16

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，也考查了等腰三角形的性质.关键是根据2,7,分别作为腰，由三边关系定理，分

类讨论.

(X=1

16、ly=-2

【分析】根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案.

【详解】解：直线L：y=-3x+b与直线*y=kx+l在同一坐标系中的图象交于点(L—2),

(3x+y=b(x=l

•••方程组彳y-kx=1的解是y=-2,

故答案为卜二’2.

【点睛】

此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式.

17、19cm

【分析】根据尺规作图得到是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到ZM=DC,

AC=2AE=6,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】解：由尺规作图可知，是线段AC的垂直平分线，

DA=DC,AC=2AE=6,

的周长为13,

AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13,

则AABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19(cm),

故答案为：19cm.

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

18、23

【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解.

【详解】根据题意得：x-IWO,

解得：xWL

故答案为：WL

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，是一个基础题目.

三、解答题(共78分)

19、(1)2匹；(2)46或16或2；(3)2或1.

【分析】(1)根据题意得3P=2。从而求出PC的长，然后利用勾股定理即可求出AP的长；

(2)先利用勾股定理求出AB的长，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别列出方程即可求出t的值；

(3)根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据勾股定理求出AE,分别利用角平分线的性质和判定求出

AP,利用勾股定理列出方程，即可求出t的值.

【详解】(D根据题意，得5P=2f,

PC=16-2/=16-2X3=10,

\'AC=8,

在RtaAPC中，根据勾股定理，得4尸=《^^^=&^=2同.

答：AP的长为2，石.

(2)在RtAlBC中，AC=8,5c=16,

根据勾股定理，得止[AC?+BC?==8后

若BA=BP,

则2t=8小,

解得：U4百；

若AB^AP,

,此时AC垂直平分BP

贝！IBP=32,

2t=32,

解得：t=16；

若丛=P5=2t,CP=16-2t

VPA2=CP2+AC2

则Qf)2=(16—2f)2+82,

解得：t=2.

答：当△A5P为等腰三角形时，，的值为4J?、16、2.

(3)若尸在C点的左侧，连接

CP=16~2t

VDE=DC=3,AC=8,DE±AP,DC±PC

；.PD平分NEPC,AD=AC-DC=2

根据勾股定理可得AE=7AD2-DE2=4，

/.ZEPD=ZCPD

ZEDP=90°-NEPD=90°-ZCPD=ZCDP

ADP平分NEDC

；.PE=CP=16-2t

/.AP=AE+EP=20-2t

VPA2=CP2+AC2

则(20-2t)2=(16-2f)2+82,

解得:t=2；

若尸在C点的右侧，连接ED

A

CP=2t-16

；DE=DC=3,AC=8,DELAP,DC±PC

/.PD平分ZEPC,AD=AC-DC=2

根据勾股定理可得AE=7AD2-DE2=4

/.ZEPD=ZCPD

/.ZEDP=90°-NEPD=90°-ZCPD=ZCDP

ADP平分NEDC

，PE=CP=2f-16

/.AP=AE+EP=2t-12

VPA2=CP2+AC2

则(2t-12)2=(2Z-16尸+82,

解得：UI;

答：当f为2或1时，能使OE=CZ>.

【点睛】

此题考查的是勾股定理的应用、等腰三角形的定义、角平分线的性质和判定，掌握利用勾股定理解直角三角形、根据

等腰三角形腰的情况分类讨论和角平分线的性质和判定是解决此题的关键.

20、(1)ABDC^AAEC,理由见解析；(2)AE//BC,理由见解析

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得N3CA=NOCE=60。，BC=AC,DC=EC,然后根据等式的基本性质可得

ZBCD=ZACE,再利用SAS即可证出结论；

(2)根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得NOBC=NEAC=60。，NACB=60。，然后利用平行线的判定即可

得出结论.

【详解】(1)ABDC^^AEC

理由如下：’.•△ABC和△EOC都是等边三角形，

ZBCA=ZDCE=60°,BC=AC,DC=EC.

:.ZBCA-ZACT)=ZDCE-ZACD

:.ZBCD^ZACE

在aBDC和4AEC中

BC=AC

</BCD=ZACE

DC=EC

:.ABDC义AAEC

(2)AE//BC

理由如下：'：/XBDC^/XAEC,△A5C是等边三角形

/.ZDBC=ZEAC=6Q°,ZACB=60°

，NEAC=NACB

故AE〃BC

【点睛】

此题考查的是全等三角形判定及性质、等边三角形的性质和平行线的判定，掌握全等三角形判定及性质、等边三角形

的性质和平行线的判定是解决此题的关键.

21、（1）证明见解析；（2）BM=BN,MB±BN；证明见解析.

【分析】（1）由已知的等量关系利用SAS即可证明△ABEgADBC；

（2）利用（1）的全等得到NBAM=NBDN.,再根据AB=D5,AM=DN,证明△ABM^^DBN得到BM=BN,

NABM=NDBN.再利用同角的余角相等即可得到MB±MN.

【详解】（1）证明：；DB是高，.*.ZABE=ZDBC=90o.

AB=DB

在4ABE和aDBC中，<NABE=ZDBC,

BE=BC

/.△ABE^ADBC.

(2)解：BM=BN,MB_LMN,证明如下：

VAABE^ADBC,/.ZBAM=ZBDN.

AB=DB

在aABM和aDEN中，＜ZBAM=NBDN

AM=DN

.,.△ABM^ADBN.

/.BM=BN,ZABM=ZDBN.

，NBDN+NDBM=NABM+NDBM=NABD=90°.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定及性质定理，熟记定理并运用解题是关键.

22、（1）见解析；（2）后

【分析】（1）由旋转的性质可得AC=BC,ZDBC=ZCAE,即可得NACB=90。，根据直角三角形的性质可得AELBD,

（2）由旋转的性质可得CD=CE=3,BD=AE,ZDCE=ZACB=90°,由勾股定理可求BD的长.

【详解】（1）如图，设AC与BD的交点为点M,BD与AE的交点为点N,

•••旋转

.\AC=BC,ZDBC=ZCAE

又•.,NABC=45°,

.\ZABC=ZBAC=45°,

二ZACB=90°,

VZDBC+ZBMC=90°

.•.ZAMN+ZCAE=90°

NAND=90°

AAE1BD,

(2)如图，连接DE,

A

•••旋转

/.CD=CE=3,BD=AE,ZDCE=ZACB=90°

•••DE=y/crP+CE2=3V2，ZCDE=45°

,:ZADC=45°

:.ZADE=90°

•*,EA=y/AD2+DE2=J22

•••BD=V22.

【点睛】

此题考查旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键.

11

23、（1）4；⑵一，不

x2

【分析】（1）本题按照先算乘方，再算多项式乘法，最后再算加减法的顺序即可完成；

⑵本小题是关于分式的化简求值，先计算除法，注意分式的分子分母能因式分解的先因式分解，以便进行约分，然后

进行分式的加减，在化成最简分式后，将％=2代入即可求得.

【详解】解：（1）原式=2%2一%2+4—尤2=4

1x—3x—3

⑵原式=

x+1(x-3)2x(x+l)

11

=---1-----

x+1x(x+l)

x+1

x(x+l)

X

当x=2时，—

x2

【点睛】

⑴本小题主要考查的是整式的混合运算，掌握非零的数的零次募、负整数指数塞的计算等解题的关键，去括号时符号

的变化是解题中的易错点；

(2)本小题主要考查的是分式的运算，掌握分式混合运算的顺序是解题的关键.

24、(1)①见解析；②DE=不；(2)OE的值为36或3，万

【分析】(1)①先证明NOAE=NZMF,结合AE=AF,即可证明；②如图1中，设Z>E=x,则CD=7-x.在

RtAOC尸中，由。〃=。2+。尸，C尸=5E=3,可得好=(7-x)2+32,解方程即可；

(2)分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接5E.由ZkEA。之△4DC,推出NA5E=NC=NA5C=

45°,EB=CD=5,推出NEBZ>=90°,推出即可解决问题；②当点。在CB的延长线

上时，如图3中，同法可得OE2=1.

【详解】⑴①如图1中，

\•将AABE绕点A逆时针旋转90°后，得到母4歹C,

：./\BAE^/\CAF,

：.AE=AF,ZBAE=ZCAF,

；NR4c=90。，NEAD=45。，

:.ZCAD+ZBAE=ZCAD+ZCAF=45°,

：.ZDAE=ZDAF,

'：DA=DA,AE=AF,

J.AAED^AAFD(SAS)；

②如图1中，设。E=x,则C0=7-x.

'：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZACB=45°,

■:NABE=NAC尸=45。，

:.NOCf=90。，

'：AAED^AAFD(SAS),

222

•・•在RtADCF中,DF=CD+CF,CF=BE=3f

Ax2=(7-x)2+32,

29

/.x=—,

7

9

(2)：BD=39BC=9f

.••分两种情况如下：

①当点E在线段5c上时，如图2中，连接5E.

,/NBAC=NEAD=90°,

：.ZEAB=ZDAC,

'：AE^AD,AB^AC,

：./\EAB^/\DAC(SAS),

二NABE=NC=NABC=45°,E5=CI>=9-3=6,

：.ZEBD=9Q°,

:.DE2=BE^+BD2=62+32=45,

:.DE=3小；

②当点。在C3的延长线上时，如图3中，连接BE.

同理可证AOBE是直角三角形，E3=CZ)=3+9=12,03=3,

:.DE2=EB2+BD2=144+9=1,

：♦DE=3J17,

综上所述，OE的值为3百或3折?.

【点睛】

本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的

关键.

25、证明见解析；（1）证明见解析；（1）2.

【分析】定理证明：根据垂直的定义可得NPAC=NPCB=90。，利用SAS可证明△PAC^^